teorema de Pitágoras

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32 2.2. Demonstrações mais Geométricas
segmentos partindo do vértice A aos vértices D e E e ao ponto L, este é a in-
tersecção da reta da altura do △ABC relativa ao lado BC com o lado DE do
quadrado BCED. Euclides também considerou a união dos vértices F com C,
formando o triângulo △FBC e B com K formando triângulo △BCK.
Figura 2.13: Diagrama de Euclides
Os triângulos △FBC e △ABD são congruentes, uma vez que FB = AB,
BC = BD e tanto o ângulo FB̂C como o ângulo AB̂D são iguais à soma de um
ângulo reto com o ângulo AB̂C. Logo, as suas áreas são iguais, bem como são
iguais os respectivos dobros ou seja, as áreas do quadrado ABFG e do retângulo
BDLM .
Analogamente, os triângulos △KCB e △ACE são congruentes e, portanto, a
área do quadrado ACKH é igual à do retângulo CELM .
Portanto, a soma das áreas dos dois quadrados é igual à soma das áreas dos
dois retângulos, ou seja, a área do quadrado BDEC.
Curiosamente, esta figura apresentada acima é conhecida às vezes como capelo
franciscano ou cadeira da noiva.
33 2.3. Demonstrações Contemporâneas
2.3 Demonstrações Contemporâneas
2.3.1 De Gaetano Speranza
Recentemente o italiano Gaetano Speranza fez uma demonstração dinâmica
do Teorema de Pitágoras, disponível em:
http://w3.romascuola.net/gspes/geogebra/pitagora2.html
A seguir apresentamos o diagrama em que se baseia a sua prova.
Figura 2.14: Diagrama de Gaetano Speranza
A demonstração de Gaetano é feita da seguinte maneira:
• Passo 1: No triângulo △ABC, estende-se o lado BC até B′, de modo que
BB′ = AB, que é a hipotenusa do triângulo △ABC.
• Passo 2: Observamos que o triângulo △ABB′ é isósceles, assim a altura
BH, relativa ao lado AB′, é também a mediana e H é o ponto médio de
AB′.
• Passo 3: O triângulo △BHB′ retângulo em H, logo o quadrado da sua
altura a partir de H, denotada por h, é igual ao produto do número de
segmentos da hipotenusa que são iguais a a+m e m, onde m =
BB′ −BC
2
=
c− a
2
.