Resistência dos Materiais

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16/02/2010
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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf-Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS- R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS - Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS - Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
6 Análise e Projeto de 
Vigas em Flexão
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
1 - 2
• Vigas– membro estrutural suportando cargasao
longodo seu comprimento.
• Objetivo–Análisee projeto de vigas.
• Cargas transversalemvigas são classificadasem
cargas concentradasoucargas distribuídas.
• As cargas aplicadas resultamemforças internas,
consistindo de esforço cortante e momento
fletor, gerando tensõesde cisalhamento e
tensões normais, respectivamente.
• A tensão normal é, comumente, o critério crítico
usado parao projeto:
WII
McMMy
mx ==-= ss
Requer a determinaçãoda localização eda
magnitudedomomento máximo.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tipos de Vigas
1 - 3
Classificação das vigas quanto aos apoios:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Esforço Cortante e Momento Fletor
1 - 4
• A determinaçãoda tensão normal ede
cisalhamento máximas, requer a
identificação do esforço cortante edo
momento fletor máximos atuantesnaviga.
• O esforço cortante e o momento fletoremum
determinado pontodeuma viga é encontrado,
passando-se uma seção atravésdo ponto
desejado e aplicando-se as equaçõesde
equilíbriodaestática para o trecho cortado.
• Convenção de sinais paraosesforços Ve V’
e paraosmomentos Me M’
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 5
Para a viga e o carregamento mostradona figura, construa o diagramade
esforço cortante ede momento fletor e determine a tensão normal máxima
devido à flexão.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 6
SOLUÇÃO:
• Aplique as equações de equilíbriodaestáticae 
determine as reações de apoio paraa viga:  ==== kN14kN40:0 DBBy RRMF
• Seccionea viga e aplique as condições de 
equilíbrio para cada parte:
   00m0kN200
kN200kN200
111
11
== =
-==-- =
MMM
VVFy
   mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
-== =
-==-- =
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
=-=
=-=
==
-==
MV
MV
MV
MV
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 7
• Construa o diagramade esforço cortante e
de momento fletor, identificandoos valores
máximos (emmódulo).
mkN50kN26 === Bmm MMV
• Aplique a equação para tensão normal
máxima, encontrando o valor desejado
datensão máxima.
  
36
3
36
2
6
12
6
1
m1033.833
mN1050
m1033.833
m250.0m080.0
-
-

==
=
==
S
M
hbW
B
ms
60MPaPa100.60 6 ==ms
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Relações: Carga, Esforço Cortante e Momento Fletor
1 - 8
 
xwV
xwVVVFy
-=
=--= 0:0
-=-
-=
D
C
x
x
CD dxwVV
w
dx
dV
• Relação entre carga e esforço cortante:
 
 2
2
1
0
2
:0
xwxVM
x
xwxVMMMMC
-=
=--= 
=-
=
D
C
x
x
CD dxVMM
dx
dM
0
• Relação entre esforço cortante e
momento fletor:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.2
1 - 9
SOLUÇÃO:
• Determine as reações de apoio:


 --=

 -==
=-==
33
0
0
02
1
02
1
02
1
02
1
a
LawMM
a
LawM
awRRawF
CCC
CCy
awV
a
x
xwdx
a
x
wVV
B
aa
AB
02
1
0
2
0
0
0 2
1
-=


 

 --=

 --=- 
Construa o diagrama de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga da figura.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.2
1 - 10
• Momento Fletor:
2
03
1
0
32
0
0
2
0 622
awM
a
xx
wdx
a
x
xwMM
B
a
a
AB
-=







 --= 






 --=-
   
  

 -=--=
--= -=-
32
3 0
06
1
02
1
02
1
a
L
wa
aLawM
aLawdxawMM
C
L
a
CB
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Projeto de Vigas Prismáticas
1 - 11
• Entreasseçõesde viga que satisfazem esta condição, será
escolhida aquela mais econômica,ou seja, aquela que
apresenta o menor pesopor unidadede comprimentoou
menor áreadaseção transversal.
• A tensão normal máxima ocorreno ponto onde o momento
fletor é máximo.
W
M
I
cM
m
maxmax ==s
• O projeto de vigas requer que a tensão normal máxima não
ultrapasse o valorda tensão admissíveldo materialdaqual ela
será construída. Este critério nos leva a determinar o módulo
deresistência minimo aceitavel para a seçãodaviga.
adm
admm
M
W s
ss
max
min =

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PROJETO DE VIGAS PARA FLEXÃO
1 - 12
COEFICIENTE DE SEGURANÇA ( CS)
Fator de correção com a finalidadede aumentaras dimensõesda estrutura
garantindo, desse modo, maior segurançaaoprojeto.
TENSÃO ADMISSÍVEL
A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensãode escoamentodo material
utilizado no projeto pelo coeficientede segurança empregado, pode ser calculada
doseguinte modo:
EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO
A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforçode flexão
é dadapor:
MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
Representaem termos numéricos como determinado tipode seção reageao
esforço,ou seja, representa a resistênciadaseçãoemrelaçãoaoesforçodeflexão.
Para cada tipodeseção transversal estudada tem-seuma equação diferente parase
calcular o valordeW.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
1 - 13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 14
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o
dimensionamentoda seção transversalde alguns tiposde vigas mais utilizadasna
construçãodeestruturas mecânicas.
TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
Osprincipais tiposdeseção transversal estudadasnapresente seção são: quadrada,
circular, retangular, tubular e caixão, também são estudadosos perfis industriais
tipo WF, I,U, L (abas iguais) e L (abas desiguais).
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
Pode-sechegar a uma equação geral que fornece como resultado o valor numérico
do comprimento l que representa a dimensãodo lado da seção transversal
quadrada.
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 15
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
A partir das Equações (1.4), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numéricoos valoresde b e h, que representamasdimensõesde base e
alturadaviga deseção retangular.
Note-seque existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante assumir uma
relação entre b e h. Assim, define-sea variável x como a relação entre h e b,ou
seja, h =xb.
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 16
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR
A partir daEquação (1.5), pode-sechegar a uma equação geral que fornece como
resultado o valor numéricododiâmetrod.
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR
A partir da Equação(1.6), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numéricoos valores de D e d, que representamas dimensõesde
diâmetro externo e diâmetro internodeuma vigadeseção transversal tubular.
Novamente percebe-se que se tem
duas incógnitas D e d. Fazendo: d=yD
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 17
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO
A partir da Equação (1.7), chegamos a uma equação geral que fornece como
resultado numéricoos valoresde a e b, que representamasdimensõesdoslados,
externo e interno,deuma vigadeseção transversal caixão.
Percebe-se,novamente quese
tem duas incógnitas a e b.
Fazendo:b= za
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE PERFIS INDUSTRIAIS
Ao contráriodo sepossa parecer, a soluçãodeproblemasdedimensionamentode
vigas com seção transversal formadapor perfis industriais é mais simples que a
solução apresentada paraos casos anteriores. Determina-seo valor do módulode
resistênciaemrelaçãoaoeixo x (Wx), resultandoem:
Com o valor encontrado, recorre-se a tabelasde perfis
industriais, selecionando aquele que ofereceWd≥Wx e que
apresenta o menor pesoporunidadedecomprimento.
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Propriedades dos Materiais
1 - 18
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Exemplo 6.3
1 - 19
• Determine as reações de apoio:
       
kN0.52
kN50kN60kN0.580
kN0.58
m4kN50m5.1kN60m50
=
--==
=
--==
y
yy
A
A
AF
D
DM
A viga simplesmente apoiadada
figura deve suportar o carregamento
indicado. Sabendo-se que atensão
admissível do material usado éde
160MPa, selecione o perfilde abas
largas a ser utilizado.
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.3
1 - 20
• Determine o módulode resistência minimo
aceitável.
3336
max
min
mm105.422m105.422
MPa160
mkN6.67
==
==
-
adm
M
W s
• Escolhanatabela o perfil mais economico e que
atenda a este critério.
4481.46W200
5358.44W250
5497.38W310
4749.32W360
63738.8W410
mm, 3





WPerfil
9.32360W
• Construa o diagramade esforço cortante e
determine o momento fletor máximo:==
kN8
kN0.52
-=
kN60-=-=-
B
AB
yA
V
VV
AV
área sob a curva, carregamento
kN6.67
max =
=M área sob a curva, no trecho AE