Transformação de Tensão em Materiais

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Resistência dos 
Materiais
Prof. PhD. Bruno Agostinho Hernandez
✓ Nas últimas aulas, trabalhamos
com a transformação de tensão
no plano para um ponto
qualquer.
✓ Mas sabemos que as tensões,
muitas vezes, se desenvolvem
de maneira tridimensional.
Transformação de Tensão
✓ Mas e se?
2 maneiras
Transformação de Tensão
✓ 1º Modo: 
Estado Triaxial
de Tensão.
Transformação de Tensão
✓ 1º Modo:
Transformação de Tensão
A força resultante no plano inclinado, expressa 
pelas suas componentes nas direções x, y e z, 
pode ser determinada por:
✓ 1º Modo:
Transformação de Tensão
Onde ρ é o estado de tensão no ponto analisado e os ângulos entre 
o plano considerado e os eixos x; y e z, são θx, θy e θz, 
respectivamente.
✓ 1º Modo:
Transformação de Tensão
Rearranjando, temos:
T
✓ 1º Modo: Para Tensões Principais, temos:
Transformação de Tensão
𝜎𝑧
✓ 2º Modo: 
Círculo de Mohr.
Transformação de Tensão
Cada Plano
✓ 2º Modo: Círculo de Mohr.
Antes de entrar no método, 
vale ressaltar que ele é 
apenas válido se houver 
apenas tensões de 
cisalhamento em um plano!
Transformação de Tensão
𝜎𝑧
✓ 2º Modo: Círculo de Mohr.
1. Identificar as tensões
em cada plano:
(𝜎𝑥, 𝜏𝑥𝑦)
(𝜎𝑦, 𝜏𝑦𝑥)
(𝜎𝑧, 𝜏𝑧𝑦)
Transformação de Tensão
𝜎𝑧
✓ 2º Modo: Círculo de Mohr.
2. Observar o sentido positivo do
cisalhamento (Horário Positivo);
3. Traçar os Círculos de Mohr a partir das
coordenadas.
Transformação de Tensão
Exercícios
Exercícios
Eixo y-z
40 MPa
90 MPa
80 MPa
Gira em sentido anti-horário
Gira em sentido horário
𝑦: (90,+40)
z: (-80,-40)
y
z
1.Identificar os pontos:
X ou A (𝜎𝑥, 𝜏𝑥𝑦)
Y ou G (𝜎𝑦, −𝜏𝑥𝑦)
2.Traçar uma reta entre os
pontos;
3.Traçar um círculo, tendo a reta
como diâmetro.
x: (-100, 0)
Exercícios
X
Y
40 MPa
90 MPa
80 MPa
Exercícios
(𝜎𝑥, 𝜏𝑥𝑦) = (-100, 0) ?E
Coloca no gráfico...
Como pode-se ver, o -100 
está fora do círculo azul, 
portanto, fora do plano.
Então haverá um círculo de 
-100 até -88.94.
E um outro circundando tudo. 
Este possuirá o estado de 
cisalhamento máximo absoluto.
Aplicação do Círculo de Mohr para Análise 
Tridimensional de Tensões
✓ Transformação de tensões 
para um elemento girado em 
torno de um eixo 
principal pode ser 
representado pelo círculo de 
Mohr.
Transformação de Tensão
Aplicação do Círculo de Mohr para Análise Tridimensional de 
Tensões
✓ Pontos A, B e C representam as tensões 
principais nos planos principais (tensão de 
cisalhamento é zero)
minmaxmax
2
1
 −=
✓ Raio do círculo maior produz a tensão de 
cisalhamento máxima (absoluta).
✓ Os três círculos representam as tensões 
normais e cisalhamento para rotação em torno de 
cada eixo principal.
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
Exercícios
✓ 2º Modo: Círculo de Mohr.
Mas se é só aplicado se há 
apenas um plano com tensão 
de cisalhamento, qual a 
vantagem desse método?
Transformação de Tensão
𝜎𝑧
✓ Voltando ao Estado Plano: Se as tensões principais
têm o mesmo sinal e uma é nula…
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
✓ Voltando ao Estado Plano: Se as tensões principais
têm o mesmo sinal e uma é nula…
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
✓ Voltando ao Estado Plano: Se as tensões principais
têm sinais opostos e uma é nula…
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
✓ Voltando ao Estado Plano: Se as
tensões principais têm sinais opostos e
uma é nula…
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
Exercícios
Determine círculo de Mohr completo para o estado 
abaixo.
Exercícios
Determine círculo de Mohr completo para o estado 
abaixo.
✓ Na próxima aula falaremos vasos de pressão.
Próxima Aula...
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