II - Escalas e Cálculos de Área

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Topografia
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi
Revisão Técnica:
Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Escalas e Cálculos de Área
• Unidades de Medida
• Algarismos Significativos
• Cálculos de Área
 · Familiarizar-se com as várias unidades de medidas utilizadas na 
topografia.
 · Desenvolver habilidades para evitar erros grosseiros em levantamentos.
 · Conhecer os conceitos de escala numérica e cartográfica.
 · Transitar entre os tamanhos real e em escala sem dificuldades.
 · Conhecer os métodos para os cálculos de área de poligonais e de 
terrenos com formas irregulares.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Escalas e Cálculos de Área
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
Unidades de Medida
As unidades de medida mais utilizadas na topografia são o metro e seus múltiplos 
e graus e suas frações. Apesar disso, outras unidades de comprimento e área são 
importantes, tais como acres, hectares e alqueires.
Importante!
Que no Brasil existe uma grande confusão com a medida de alqueires? O alqueire era 
o nome dado ao cesto que os animais carregavam no dorso para transportar cereais. 
Com o tempo, surgiu a medida alqueire, que era a área de plantio necessária para que 
se pudesse colher uma quantidade de grãos suficientes para encher os cestos. Você 
pode imaginar a confusão que se cria se o tamanho do cesto não for padronizado, ou 
se considerarmos a quantidade total de cestos trasportados por um animal ao invés 
de um único cesto? Pois é, foi exatamente isso que aconteceu no Brasil colonial, dan-
do origem a diferentes tipos de alqueires. O alqueire paulista (24.200 m²), o alqueire 
mineiro (48.400 m²), o alqueire do Norte (27.225 m²), o alqueire baiano (96.800 m²) 
e o alqueire goiano (193.600 m²).
Você Sabia?
A unidade de medida de área no sistema internacional é o metro quadrado 
(m²), mas em topografia é comum utilizarmos algumas medidas agrárias. Além do 
alqueire, uma medida muito utilizada é o hectare. Um are é a área equivalente a 
um quadrado de lado 10 m, ou seja, 100 m², logo, um hectare é equivalente a 100 
ares, então temos: 100 x 100 m² = 10000 m². O acre é uma unidade de medida 
de área muito antiga, utilizada desde os tempos medievais, principalmente nos 
países de língua inglesa e equivale a 4.046,86 m².
Algarismos Significativos
Algarismos significativos são os números que trazem informações sobre a medida 
em questão. Zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos se 
aparecem antes de qualquer número. Por exemplo, os números a seguir possuem 
três algarismos significativos – em cada caso:
• 845;
• 0,0127;
• 0,650;
• 100.
Importante!
Zeros à direita são algarismos significativos pois trazem informações sobre a gran- 
deza medida.
Importante!
8
9
Em topografia devemos utilizar todos os algarismos significativos disponíveis 
para a leitura nos instrumentos e no final arredondar o resultado para o número de 
algarismos significativos designados previamente.
Escalas
Inconsciente quando desenhamos o mapa de uma cidade ou de ruas para 
explicar o caminho de casa para um amigo, estamos criando uma escala imaginária 
em nosso pensamento, onde cada traço no papel corresponde a uma distância. 
A escala pode ser maior ou menor dependendo do meio de locomoção. Quando 
pensamos em um trajeto realizado de carro – envolvendo distâncias maiores –, o 
valor real correspondente a cada traço é maior do que o valor real correspondente 
ao tamanho do traço em um trajeto feito a pé – envolvendo distâncias menores.
Uma escala é definida pela razão desenho sobre real:
Escala=
Desenho
Real
Então, uma escala traz sempre a relação entre o desenho no mapa e o tamanho 
real, ou seja, quantas vezes o tamanho real foi reduzido ou aumentado. Quando a 
escala é de redução, é sempre precedida pelo número 1, por exemplo, 1:1000 (lê-
se um para mil), significa que 1 unidade no desenho corresponde a 1.000 unidades 
no real. Lembre-se que as unidades utilizadas para os números da escala devem 
sempre ser as mesmas. Assim, na escala 1:200 para cada 1 cm no desenho, temos 
200 cm no real, isto é, cada 1 cm do desenho equivale a 2 m no real. Quando a 
escala é de ampliação, temos o número 1 após os dois pontos, por exemplo, 5:1, 
onde cada 5 unidades do desenho equivalem a 1 unidade real.
Em topografia as escalas mais utilizadas são de redução, podendo aparecer 
indicadas de diversas maneiras, entre as mais utilizadas, temos:
• Escala numérica: é a escala que utilizamos no exemplo acima, 1:1000;
• Escala gráfica: é a escala onde a unidade aparece estampada no mapa:
0 5 10 15 20 25 30 35
1 : 500 000 (1cm = 5km)
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5
1 : 250 000 (1cm = 2,5km)
Figura 1 – Exemplos de escalas gráfi cas
Fonte: 
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UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
Importante!
Que as escalas são sempre indicadas nos mapas? Estas podem ser apontadas de diver-
sas maneiras. Procure alguns mapas na internet, livros e revistas e observe as escalas 
utilizadas. Você acha a escala em que esses mapas foram desenhados adequada? Re-
flita a esse respeito.
Você Sabia?
Exemplo:
Em um mapa com escala 1:50000 a distância em linha reta entre duas cidades 
é medida com uma régua e o seu valor é de 8,2 cm. Qual é a distância real entre 
as cidades em quilômetros?
Para resolver este exercício devemos lembrar da fórmula vista anteriormente:
Escala=
Desenho
Real
Então, substituímos os valores, lembrando que o valor medido no desenho – 
mapa – está em centímetros, logo, o valor real encontrado também estará em 
centímetros, de modo que será necessária uma conversão:
1
50000
8 2
=
( ), cm
Real
Assim, o valor real será:
Real = 8,2 × 50000 = 410000 cm
Realizando a conversão, temos que 410.000 cm equivalem a 4.100 m, que são 
equivalentes a 4,1 km.
Exemplo:
Uma equipe está desenhando um mapa rural de uma região. Sabendo que o 
tamanho real de uma estrada de terra retilínea é de 15 km, qual deve ser a escala 
utilizada no mapa para que, no desenho, possua um tamanho de 20 cm?
Neste caso, devemos fazer a operação contrária, mas sempre lembrando de 
utilizar as mesmas unidades:
EscalaDesenho cm
km
cm
m
= =
( )
( )
=
( )
( )Real
20
15
0 2
15000
,
Para simplificar, transformamos as duas unidades em metros, então teríamos uma 
escala de 0,2:15000, mas vimos que as escalas de redução, em geral, iniciam-se 
com o número 1. Então, para que isso aconteça, retornaremos a forma fracionária 
a fim de simplificar a fração para encontrar o número 1 no numerador.
10
11
Escala
m
m
=
( )
( )
0 2
15000
, �
�
, para tanto, devemos dividir o numerador e o denominador 
por 0,2, ou seja, o valor que está presente no numerador:
0 2 0 2
15000 0 2
1
7500
, � ,
� ,
m
m
( ) ÷
( ) ÷
=
Então, para que a estrada de 15 km tenha um comprimento de 20 cm no mapa, 
devemos utilizar uma escala de 1:7500.
Para que você se ambiente, temos a seguir um Quadro com escalas comumente 
utilizadas na topografia, mas lembre-se que estas não devem, por força, seguir tal 
padrão, pois cada topógrafo pode optar livremente pela escala que desejar utilizar, 
dependendo de suas necessidades.
Quadro 1
Plantas e mapas Escalas
Casas e terrenos urbanos 1:50
Edifícios e condomínios 1:100 - 1:200
Bairros 1:500 - 1:1000
Plantas rurais 1:1000 - 1:5000
Cidades pequenas 1:10000 - 1:25000
Cidades grandes 1:50000 - 1:100000
Estados, regiões e países 1:200000 - 1:10000000
Fonte: elaborado pela professora conteudista
Erros nas Observações
Quando realizamos qualquer medição estamos sujeitos a várias fontes de erros. 
Na topografia não poderia ser diferente. Assim, existem três tipos de fontes de 
erros padrão:
• Ambientais: são causados pelo ambiente onde as medidas são realizadas. Tem-
peratura, umidade, vento, chuva, por exemplo, podem interferir nas observa-
ções realizadas pelo topógrafo (como dificuldade de observação), como também 
podem interferir nas condições físicas do instrumento (dilatação de materiais);
• Pessoais: são erros causados pelo observador, conhecidos como falhas 
humanas. Podem ser desde simples erros de leitura ou falta de atenção, até 
incapacidade de operar instrumentos ou mau posicionamento dos mesmos;
• Instrumentais: são causados por mau funcionamento dos instrumentos. 
Podem existir vários fatores que contribuam para esses erros: instrumentos 
mau calibrados, falhas técnicas, imperfeições e defeitos de fabricação. Supondo 
que os instrumentos não possuam nenhum defeito de fábrica e estejam em 
bom funcionamento, boa parte dos erros instrumentais podem ser evitados ou 
contornados com técnicas e verificações cuidadosas.
11
UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
Os erros causados pelas fontes citadas acima podem ser classificados em três 
categorias:
• Grosseiros: erros causados, em geral, pela desatenção do observador ou pelo 
mau funcionamento do instrumento. Uma boa maneira de evitar este tipo de 
erro é sempre refazer as medidas e, se possível, com observadores diferentes. 
Exemplos: anotar medidas em linhas ou colunas erradas, anotar 125 ao invés 
de 1,25, confundir a ordem dos piquetes, errar a contagem de traços etc.;
• Sistemáticos: são erros que afetam os dados da mesma maneira ou de 
forma linear, de modo que seja possível a sua correção através de fórmulas 
matemáticas. Exemplos: erro de calibração inicial, erro de zero da escala, 
dilatação térmica da trena, defeitos óticos no instrumento etc.;
• Aleatórios: são erros que podem ocorrer por acidente, não possuem nenhum 
padrão ou ocorrem após a eliminação de todas as fontes anteriores de erro 
e possuem causas desconhecidas. Os efeitos dos erros aleatórios tendem a 
diminuir quando um grande número de observações é realizado. Exemplos: 
erro de pontaria na mira, efeitos do vento na baliza etc.
Cálculos de Área
Uma das atribuições do topógrafo é o cálculo de áreas de terrenos e áreas 
construídas. Quando os terrenos possuem formas conhecidas, podemos calcular 
sua área com fórmulas prontas. Relembremos alguns conceitos:
Área do Paralelogramo
Qualquer figura geométrica composta por quatro retas paralelas duas a duas é 
considerada um paralelogramo. Ou seja, a área de um paralelogramo é sempre 
igual ao produto da sua base pela sua altura:
A = b . h
b
h
b
h
Figura 2 – Exemplos de paralelogramo
No caso do quadrado, a base e a altura são iguais e podemos simplesmente 
utilizar área = lado².
12
13
Exemplo:
O terreno de uma casa possui 7 metros de frente por 19 de profundidade. Qual 
é a área do terreno supondo que os lados sejam paralelos?
A = b . h = 7 x 19 = 133 m²
Área do Círculo
O círculo pode ser descrito através do raio ou de seu diâmetro, basta se lembrar 
que essas duas grandezas estão relacionadas entre si através da equação diâmetro 
= 2 x raio.
A área do círculo pode ser calculada através do diâmetro ou do raio:
A r ou A
d
= =π
π2
2
4
,
d =2r
Diâmentro (d)
Raio (r)
Figura 3 – Representação do diâmetro e raio do círculo
Exemplo:
Calcule a área de um açude circular de diâmetro igual a 35 m.
A
d
m=
×
=
×
=
π 2 2
2
4
3 14 35
4
961 62
,
,
Área do Triângulo
Existem algumas formas de calcular a área de um triângulo, dependendo das 
informações disponíveis. Tradicionalmente, para calcular a área de um triângulo 
utilizamos a seguinte fórmula:
A
b h
=
×
�
��
2
Onde b é a base e h é a altura. Essa fórmula é muito útil para triângulos retângulos, 
onde a altura é coincidente com um dos lados do triângulo.
13
UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
b
b
ac
ca
A = b . h
2
Figura 4 – Base e altura do triângulo
Mas e se não conhecermos a altura do triângulo? Podemos sempre utilizar as 
regras da trigonometria para calcular a altura do triângulo se conhecermos todos 
os lados. Dessa forma, podemos escrever:
A p p a p b p c= −( ) −( ) −( )
Onde p é o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro do triângulo:
p
a b c
=
+ +
2
Exemplo:
Calcule a área de um terreno triangular que possui lados iguais a 20 x 25 x 30 m.
Primeiramente, devemos calcular o semiperímetro:
p m=
+ +
=
20 25 30
2
37 5, �
E, então, para calcular a área do triângulo, podemos utilizar a seguinte fórmula:
A p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) = × −( )× −( )× −(37 5 37 5 20 37 5 25 37 5 30, �� , �� , �� , ))
= =A m� , , � ²61523 44 248 04
Cálculo de Área pelo Método da Triangulação
Em geral, quando realizamos as medidas de um terreno aparentemente retangular, 
notamos que os lados não são paralelos. Assim, imaginemos um terreno com as 
seguintes dimensões:
40m
42m
30m29m
Figura 5
14
15
Poderíamos medir a diagonal do terreno e dividi-lo em dois triângulos que apa-
rentemente seriam iguais – mas não são –, pois os lados possuem valores distintos:
42m
40m
30m
I
29m
II
Figura 6
Se a diagonal do terreno for igual a 50 m, qual será o valor da área?
Para calcular a área total, devemos calcular a área do triângulo I e a área do 
triângulo II. Comecemos pelo triângulo I:
p m
A p p a p b p c
1
42 30 50
2
61
1 61 61 42 61 30
=
+ +
=
= −( ) −( ) −( ) = × −( )× −(
�
�� �� ))× −( )
= × × × = =
��
� �� �� �� , � ²
61 50
1 61 19 31 11 395219 628 66A m
E para o triângulo II temos:
p m
A p p a p b p c
2
29 40 50
2
59 5
2 59 5 59 5 29
=
+ +
=
= −( ) −( ) −( ) = × −( )×
, �
, �� , ��559 5 40 59 5 50
2 59 5 30 5 19 5 9 5 336182
, �� ,
� , �� , �� , ��, ,
−( )× −( )
= × × × =A 444 579 81= , � ²m
Então, a área total do terreno será 628,66 + 579,81 = 1208,47 m².
Dessa forma, podemos calcular a área de qualquer terreno onde sua forma 
possa ser dividida em vários triângulos.
Exemplo de triangulação realizada para medir a área de partes do Brasil:
https://goo.gl/dO9tecEx
pl
or
Método das Áreas Irregulares
Quando a área é irregular e a triangulação não é possível, podemos utilizar o 
método dos trapézios, chamado também de método das áreas irregulares.
Imagine calcular a área de um terreno onde um dos lados é delimitado por um 
rio tortuoso. Para utilizar esse método, seria ideal que você dividisse o lado oposto 
ao rio em partes iguais para formar trapézios – veja a seguinte Figura:
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UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
3m 3m 3m 3m 3m
24m
Terreno
Rio
12
m3m 3m 3m
Figura 7 – Exemplo de divisão de área para um terreno irregular. 
Primeira etapa: dividir o lado oposto à aérea irregular em partes iguais
14
m
12
m 14
m
13
m
10
m
9m
6m 4m 5m
Figura 8 – Realizar a medição das distâncias entre as extremidades 
e a borda irregular, traçando pequenos trapézios
Fonte: elaborada pela professora conteudista.
A fórmula para o cálculo da área irregular é dada por:
A
l
hi hf hm= + + ∑2
2
Onde l é o espaçamento entre as medidas, neste exemplo, l = 3 m; hi é a 
altura inicial e hf, a altura final, que seriam, neste caso, hi = 12 m e hf = 5 m e 
hm corresponde às alturas intermediárias, de modo que, em nosso exemplo, a 
somatória – simbolizada por Σ – das alturas intermediárias é Σhm = 14 + 14 + 13 
+ 10 + 9 + 6 + 4 = 70 m.
Então, substituindo na fórmula, temos:
A
A m
= + + ×[ ]
=
×
=
3
2
12 5 2 70
3 157
2
235 5
��
��
, � ²
16
17
É claro que para o cálculo da área podemos nos deparar com vários tipos de 
terreno e a maioria não será constituída de forma simples, de modo que para 
muitos será necessário subdividir o terreno em diversas áreas para calcular a área 
total. Assim, resolveremos mais um exercício:
Considere o terreno a seguir e calcule a sua área:
5m
4m
4m
A3
A3
A2
36m
30m
24m
45m
A1
4,8m
5m
3m
2m
4m
4m
4m
4m
Figura 9 – Exemplo de um terreno misto para o cálculo da área
Como pode ser visto no desenho, o terreno já está dividido em quatro áreas.
Comecemos pela área 1, que é um triângulo de lados a = 36 m, b = 24 m e c = 45 
m. Podemos calcular esta área utilizando a fórmula para o cálculo da área do triângulo:
p
a b c
p m
A p p a p b p c
A
=
+ +
=
+ +
=
= −( ) −( ) −( )
= ×
2
1
36 24 45
2
52 5
1 52 5 52
, �
, �� ,55 36 52 5 24 52 5 45
1 52 5 16 5 28 5 7
−( )× −( )× −( )
= × × ×
�� , �� ,
� , �� , �� , ��,A 55 185160 94 430 30= =, , � ²m
O mesmo procedimento deve ser realizado para a área 2, já que esta também é 
um triângulo de lados a = 45 m, b = 30 m e c = 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 25 m:
p m
A p p a p b p c
A
2
45 30 25
2
50
2 50 50 45 50 30
=
+ +
=
= −( ) −( ) −( )
= × −( )× −
�
�� ��(( )× −( )
= × × × = =
��
� ���� �� , � ²
50 25
2 50 5 20 25 125000 353 55A m
A área 3 é um pequeno triângulo retângulo. Note que este não foi incluso na área 
irregular, pois sua base tem valor igual a 5 m, que é diferente da base dos trapézios 
– iguais a 4 m. Para o cálculo da área do triângulo, basta utilizar a seguinte fórmula:
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UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
A
b h
A m
=
×
=
×
=
��
��
� ²
2
3
5 4
2
10
Finalmente, a área 4 será calculada utilizando o método das áreas irregulares. 
Note que a área irregular – parte mais escura – se inicia somente quando as bases 
são iguais l = 4 m. Temos, então:
A
l
hi hf hm= + + ∑2
2
Onde l = 4 m, altura inicial é igual a 4 m e altura final é igual a 0 m (a curva toca 
a base da área irregular).
A
A
A m
4
4
2
4 0 2 4 8 5 3 2
4 2 4 29 6
4 67 2
= + + + + +( ) 
= +( )
=
,
,
, � ²
Então, a área total do terreno é igual a soma das áreas 1, 2, 3 e 4.
Atotal A A A A
Atotal
Atotal
= + + +
= + + +
=
1 2 3 4
430 30 353 55 10 67 2
861 0
, , ,
, 55� ²m
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Introdução à Cartografia: Fundamentos e Aplicações
ESTÊVEZ, L. F. Introdução à Cartografia: fundamentos e aplicações. Curitiba, PR: 
Intersaberes, 2015.
 Vídeos
Cálculo de Área Irregular
https://youtu.be/EYW9eibiP9I
 Leitura
Escalas: Estudos de Conceitos e Aplicações
MENEZES, P. M. L.; COELHO NETO, A. L. Escalas: estudos de conceitos e aplica-
ções. [20--].
https://goo.gl/rjgo8W
Escala Geográfica e Escala Cartográfica: Distinção Necessária
MARQUES, A. J.; GALO, M. L. B. T. Escala geográfica e escala cartográfica: dis-
tinção necessária. Boletim de Geografia, Maringá, PR, v. 26-27, n. 1, p. 47-55, 
2008-2009.
https://goo.gl/oDnq0j
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UNIDADE Escalas e Cálculos de Área
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133 – execução 
de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
BORGES, A. C. Exercícios de topografia. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
________. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1-2. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1992.
GHILANI, C. D.; WOLF, P. R. Geomática. São Paulo: Pearson, 2014.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION P. L. Fundamentos de topografia. 
Curitiba, PR: UFPR, 2012.
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