UNIDADE IV-Grandezas e Medidas(Medidas de Comprimento e Superfície)

Prévia do material em texto

Metodologia de 
Ensino de Matemática: 
Números, Operações, 
Grandezas e Medidas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Conceição Aparecida Cruz Longo
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Kelciane da Rocha Campos
Prof.ª Me. Fátima Furlan
Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Grandezas e Medidas: Medidas 
de Comprimento e Superfície
 
• Identificar a medida como um número que representa o resultado da comparação entre 
duas grandezas de mesma natureza, por meio da divisão (quantas vezes cabe);
• Identificar a importância social da escolha de unidades padronizadas e de seu uso;
• Construir o conceito de medida levando em conta o número que descreve a comparação de 
duas grandezas e sua importância social;
• Explorar a ideia de medida de comprimento e efetuar as transformações entre as unidades. 
Resolver e elaborar problemas envolvendo as ideias de perímetro e área (sem e com o em-
prego de fórmulas). Utilizar instrumentos de medidas para realizar medições.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• O que é Medir? Por que Medimos?
• A Medida em Nossas Vidas;
• Medidas de Comprimento e Superfície;
• Construindo o Conceito de Perímetro;
• Construindo o Conceito de Comprimento com Unidades Padronizadas;
• Medida de Comprimento: Metro, seus Múltiplos e Submúltiplos;
• Medidas de Superfície: Metro Quadrado, seus Múltiplos e Submúltiplos.
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Contextualização
As medidas incríveis do corpo humano
Vocês já pensaram quanto mede a nossa pele? Ou quantos litros de sangue são 
bombeados pelo coração em uma hora? Ou quantos músculos tem o corpo humano? 
Ou quantas células tem o corpo humano? 
São as medidas interagindo com o corpo humano!
Mas atenção! Essas medidas variam de pessoa para pessoa e serão apresentadas 
com seus valores médios. Afinal, não existem dois indivíduos completamente iguais! 
Divirtam-se.
Quantas vezes trocamos de pele?
As células da pele se renovam a cada 20 ou 30 dias. Ao longo da vida, “troca-
mos” de pele mais ou menos mil vezes!
Qual a capacidade de ar dos pulmões?
Cerca de 5 litros de ar, porém somente meio litro é renovado a cada respiração. 
Como a frequência respiratória é de cerca de 15 movimentos por minuto, respira-
mos 450 litros de ar em uma hora; 10.800 litros por dia ou ainda 3,9 milhões de 
litros em um ano!
Qual a quantidade de sangue que circula no corpo humano?
Cinco litros em média. Com o coração batendo na média de 70 vezes por minuto, 
a cada batida ele bombeia 90 mililitros de sangue, que percorrem o corpo em apenas 
um minuto.
Qual a quantidade de espermatozoides?
O homem produz 8 trilhões de espermatozoides durante a vida. Durante a ejacu-
lação, são liberados entre 250 milhões e 500 milhões de espermatozoides.
Qual a quantidade de veias e artérias?
São 97.000 quilômetros de veias, artérias e vasos capilares. Se estes fossem ali-
nhados, dariam 2,5 voltas em torno da Terra. 
Qual a quantidade de cabelos do corpo humano?
O corpo humano possui cerca de 5 milhões de pelos; 15.000 deles em forma de 
cabelos. Cada olho possui mais de 200 cílios.
Como vemos, as medidas estão presentes em várias situações do cotidiano 
humano. Ao longo desta unidade, descobriremos outras.
8
9
As medidas e os números
Tanto quanto os números, as medidas são muito antigas. As raízes estão na his-
tória de povos muito antigos como os sumérios e assírios, que habitavam a Meso-
potâmia (onde atualmente é o Iraque), localizada entre os rios Tigre e o Eufrates, há 
mais de 5 000 anos.
Estudos mostram que as medidas surgiram quando os homens começaram a cul-
tivar as primeiras plantações. Para saber de quanta terra os agricultores dispunham 
surgiram os primeiros indícios das medidas de comprimento e superfície.
As cheias do Rio Nilo, no antigo Egito, derrubavam as marcações das divisórias 
entre as propriedades, o que obrigava o faraó a enviar os medidores de terra (pri-
meiros agrimensores) para demarcar novamente essas terras, a fim de cobrar os 
impostos proporcionais ao tamanho real da propriedade.
Medir é comparar!
No início, os processos de medição eram muitos simples. Comparava-se o que se 
queria medir com o que estivesse mais “a mão”, logo as próprias mãos foram usadas.
Outras comunidades mediam comprimentos usando varas como padrões de com-
primento. Com o desenvolvimento do comércio e das ciências, os padrões de medida 
tinham de ser mais precisos que as partes do corpo das pessoas. Diferentes povos 
usavam diferentes unidades de medida. Com o tempo, os governantes passaram a 
determinar por decreto o padrão a ser usado para efetuar medidas.
Figura 1
Outras comunidades mediam comprimentos usando varas como padrões de com-
primento. Com o desenvolvimento do comércio e das ciências, os padrões de medida 
tinham de ser mais precisos que as partes do corpo das pessoas. Diferentes povos 
usavam diferentes unidades de medida. Com o tempo, os governantes passaram a 
determinar por decreto o padrão a ser usado para efetuar medidas.
9
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
O que é Medir? Por que Medimos?
Basta um momento de reflexão para percebermos que as grandezas e medidas 
estão presentes em nosso cotidiano. Pense e responda: o que você já mediu hoje?
O ato de medir, em geral, leva à necessidade do uso de números e nos permite:
• Fazer previsões: quantos dias faltam para o Natal? Qual a distância entre a 
cidade de São Paulo e a cidade do Rio de Janeiro?
• Relacionar e comparar medidas: podemos escolher entre comprar um refri-
gerante de dois litros por R$ 5,40 ou dois refrigerantes de um litro por R$ 2,80 
cada litro;
• Controlar desempenhos físicos: um atleta nadou 500 metros em meia hora, 
enquanto que o outro atleta nadou 700 metros em meia hora.
Além do uso das medidas no cotidiano, os conhecimentos relativos às grandezas 
e medidas também são necessários em algumas atividades profissionais, tais como 
agricultura, culinária, engenharia, medicina, comércio, entre outras.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): 
Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em 
quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel 
importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do 
conhecimento matemático. (BRASIL, 1997, p. 56)
Ou seja, as habilidades matemáticas que envolvem as noções de grandezas e me-
didas estão presentes nas atividades humanas desde as mais corriqueiras até as mais 
elaboradas da tecnologia e ciências. 
Podemos verificar a presença dessa diversidade de grandezas quando estimamos 
ou medimos a distância entre duas regiões, a capacidade de um recipiente, a massa 
de um objeto ou corpo. Ou quando comparamos áreas de terrenos ou proprieda-
des rurais ou, ainda, quando observamos a temperatura de um ambiente, quando 
refletimos sobre o valor, em dinheiro, de um determinado produto ou controlamos o 
tempo de uma determinada atividade. 
Outra razão para a ênfase no eixo Grandezas e Medidas diz respeito à ampliação 
do significado de números: ao estudar grandezas e medidas, aprendemos que os 
números não servem apenas para contar, mas também para expressar uma compa-
ração entre duas grandezas. 
A importância do eixo de Grandezas e Medidas também se justifica pela ne-
cessidade de desenvolver o senso sobre medidas, ou seja, a capacidade de estimar 
medidas, que é tão útil e valorizada no cotidiano e que, algumas vezes, vemos negli-
genciada na escola.
Finalmente, o objeto de estudo justifica-se por ser um eixo composto por diferen-
tes grandezas (comprimento, capacidade, massa, volume, tempo, superfície) e pelas 
10
11
diferentes formas de mensurar essas grandezas – com ligações importantes com 
outras áreas do conhecimento, tais como as medidas em Ciências, Física, Química, 
os estudos de tempo em História e de escalas e medidas em Geografia.
Figura 2
Fonte: Adaptado de Getty Images
Algumas definições segundo o dicionário Novo Aurélio Século XXI,Ferreira (1999):
Medida: s. f. (de medir e suf. ida, do lat. metire, por metiri), no sentido de padrão como 
qualquer objeto destinado a medir uma quantidade; como dimensão, tamanho; meio de 
comparação e julgamento, estalão; ato ou processo de comparar uma grandeza com outra 
tendo por objetivo associar à primeira um número característico do seu valor em face da 
grandeza com a qual foi comparada; medição; resultado de um processo de medida;
Medir: v. (do lat. metiri), avaliar, calcular, estimar, ponderar, refletir; aferir o tamanho, a esta-
tura, o comprimento; determinar uma medida ou extensão tendo por base uma escala fixa;
Grandeza: s. f. (de grande e suf. eza, do lat. itia), qualidade ou caráter de grande, extenso, 
vasto; entidade suscetível de medida; tudo o que é suscetível de aumentar ou diminuir. 
Tratamento honorífico dos antigos grandes do reino. Nobreza de ânimo; generosidade, libe-
ralidade. Em astronomia, magnitude;
Quantidade: s. f. (do lat. quantitas, quantitatum), significa, grandeza expressa em número; 
aquilo que é suscetível de aumento ou diminuição; qualidade do que pode ser medido ou 
numerado; certo número, grande número; parte de um todo...;
Número: s. m. (do lat. numeru), palavra ou símbolo que expressa quantidade; a soma total 
dos elementos ou unidades de um conjunto, série; porção ou parcela de um grupo, conjunto; 
nome, símbolo ou representação de uma quantidade; entidade abstrata que corresponde 
a um aspecto ou a uma característica mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensi-
dade, etc.) e que é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos equi-
valentes a um conjunto dado. Quantidade, porção, abundância, série, categoria, classe, rol.
Podemos observar que as definições nos trazem algum conhecimento em nível 
de linguagem comum, mas não o entendimento matemático sobre o que é grandeza 
ou o que é medida ou o que é medir. No entanto, nos apontam algumas questões 
importantes, como, por exemplo, que os significados matemáticos de cada palavra 
estão fortemente correlacionados com os significados das demais. Os significados não 
11
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
matemáticos das palavras mencionadas anteriormente, como observam Bellemain e 
Lima (2000), não podem ser deixados de lado, pois eles podem estar presentes nas 
situações do dia a dia dos professores e alunos que os trazem para a escola.
Para Chamorro Plaza e Belmonte Gómez (2000, p. 15), as grandezas “são con-
sideradas e percebidas como atributos ou propriedades de coleções de objetos”; e, 
para medi-las, as comparamos diretamente através dos sentidos ou indiretamente 
com a ajuda de meios auxiliares ou instrumentos adequados. 
Para Caraça (2002), a medida consiste em comparar duas grandezas da mesma 
espécie – dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc., esclarecendo a neces-
sidade de um estalão (unidade de medida da grandeza) único para essa compara-
ção. Caraça (2002, p.30) completa: “há no problema da medida, três fases e três 
aspectos distintos – escolha da unidade; comparação com a unidade; expressão do 
resultado dessa comparação por um número”.
Exemplos
Medição a olho nu: Compare os livros da imagem a seguir. É possível identificar 
quais são os maiores, os menores ou os iguais apenas com o olhar?
Figura 3
Fonte: Getty Images
Expectativa de resposta
É possível saber se algumas peças são do mesmo tamanho simplesmente por 
estarem juntas. Já outras exigirão o uso de uma régua ou outro instrumento de me-
dida - as duas grandes, que estão deitadas, são iguais às que estão em pé? O objetivo 
dessa atividade é que se conclua que às vezes é possível ter uma ideia de uma medida 
só ao olhar. Porém, outras vezes, por segurança, é necessário medir.
12
13
1. Todos os objetos estão cheios de água. Qual deles pode conter exatamente 
1 litro de água?
a) A caneca.
b) A jarra.
c) O garrafão.
d) O tambor.
Figura 4
Fonte: Adaptado de Getty Images
Solução:
b) A jarra. Nesse caso a resposta é dada apenas por estimativa.
Refletindo sobre a questão: o que é medir?
Responder a essa pergunta nos leva a pensar que medir significa comparar gran-
dezas de mesma natureza. Dessa comparação será obtida uma medida, expressa 
por um número. Nesse processo de medição, alguns aspectos devem ser levados em 
conta: É necessário escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o 
objeto que se deseja medir e contar o número de unidades que foram utilizadas. Essa 
unidade escolhida arbitrariamente deve ser da mesma natureza do atributo que se 
deseja medir, e deve-se levar em conta o tamanho do objeto a ser medido e a preci-
são que se pretende alcançar nessa medição. Quanto maior o tamanho da unidade, 
menor é o número de vezes que a utilizamos para medir um objeto.
• O ato de medir envolve essencialmente a existência de unidades de medida que 
são os comparativos usados na medição;
• Medição é a atividade de comparar uma quantidade com um padrão pré-definido;
• Através da medição o homem pode expressar numericamente qualidades de um 
objeto ou fenômeno;
• Sem a medição, o homem fica refém de conceitos como “grande/pequeno”, 
“forte/fraco”, “largo/fino“, etc.;
• Com a medição, o homem pode raciocinar com mais precisão acerca das refe-
ridas qualidades.
13
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Exemplos
Você já sabe que tudo aquilo que se pode medir num objeto ou contar numa co-
leção é chamado de grandeza. Procure identificar que grandezas foram medidas em 
cada uma das situações seguintes.
Figura 5
Fonte: Adaptado de Getty Images
Solução
Velocidade da bola.
Altura da criança.
Relacione a unidade de medida mais apropriada para aquilo que queremos medir: 
Tabela 1
O que medir Unidade de medida
( ) Comprimento da mesa da professora 1) Cabo de vassoura
( ) A altura da sala 2) Palmos
( ) Comprimento do meu lápis 3) Palitos de fósforo
( ) A largura da quadra da escola
( ) A profundidade de uma piscina
Solução
Na primeira coluna, a sequência será: 
(2) 
(1) ou (2)
(3)
(1)
(1) ou (2)
Assim, medir é uma síntese das operações de mudar de posição e de subdividir; é 
comparar uma dada quantidade de comprimento, massa, volume com o comprimento, 
massa ou volume de um dado objecto a que chamamos unidade, permitindo associar 
um número a uma quantidade de grandeza (PONTE; SERRAZINA, 2000). 
14
15
Mas, para que o aluno esteja em condições de medir, ele terá de primeiramente 
perceber o princípio da conservação da grandeza, isto é, que, por exemplo, o com-
primento de um objeto não se altera quando muda de posição. Para a aquisição do 
conceito de unidade de medida, Ponte e Serrazina, identificam cinco passos: 
• Ausência de unidade de medida: medida meramente visual e comparativa, 
com a qual as crianças podem comparar dois objetos;
• Unidade ligada a um objeto: é uma unidade ligada a um único objeto e clara-
mente relacionada com o que deve medir-se;
• Unidade ligada à situação: a unidade depende fortemente do objeto a medir, 
podendo mudar de um objeto para outro, desde que se realize as respectivas 
medições e se conserve uma relação;
• Unidade figural: a unidade a construir e o objeto a medir vai perdendo relação, 
observando no entanto uma certa tendência em medir objetos grandes/peque-
nos com unidades grandes/pequenas;
• Unidade propriamente dita: é totalmente livre do objeto considerado, usando-
-se a mesma unidade para medir todos os objetos.
Exemplo:
Veja esse texto, adaptado da revista “Ciência Hoje das Crianças”, nº 111:
A jacutinga é uma ave que pesa, em média, 1,4 quilos e mede cerca de 74 
centímetros da ponta do bico à ponta da cauda. Seu cardápio inclui diversos 
frutos, sementes, moluscos e alguns insetos. A jacutinga bota de 2 a 3 ovos 
grandes – medindo cerca de 7,2 centímetros de comprimento por 5,1 centí-
metros de largura – que são totalmente brancos e apresentam casca um pou-
co rugosa. Como muitas outras espécies de animais, a jacutinga está ameaça-
da de extinçãopor causa da destruição das florestas das quais depende para 
viver. O risco aumenta com a caça ilegal, pois, além de ser um animal manso, 
fácil de ser capturado, sua carne é saborosa, atraindo muitos caçadores.
Figura 6
Fonte: Wikimedia Commons
Após a leitura, escreva aqui que tipos de medidas foram feitas para a revista poder 
preparar esse texto sobre a jacutinga.
15
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Solução
Foram feitas medidas de comprimento (74 centímetros; 7,2 centímetros; 5,1 centí-
metros) e de massa (peso) (1,4 quilo) para que o texto pudesse descrever a jacutinga.
O caminho para a abstração
• Uso da comparação direta – entre dois;
• Medir uma distância pode ser entendido como simplesmente percorrê-la, até 
mesmo com passos de diferentes tamanhos;
• Uso da comparação indireta – envolve vários;
• Indica que o caminho para o estabelecimento de uma unidade de medida está aberto;
• Uso de unidade de medidas não padronizadas;
• Percebe a conveniência de escolher uma mesma unidade de medida para medir 
todos os objetos, sendo que os objetos e a unidade devem ser da mesma natureza;
• Uso de unidades de medida padronizadas;
• Percebe conservação de medida e a necessidade de estabelecer uma unidade de 
medida padronizada.
Exemplos de grandezas
• Comprimento: Inicialmente, os alunos devem utilizar adequadamente expres-
sões como “é tão comprido como”, “mais curto que”. Só mais tarde aprenderão 
a medir usando o próprio corpo e objetos. Será com a própria experiência de 
medir comprimentos que os alunos irão sentir a necessidade do aparecimento 
de uma unidade padrão de medida de comprimento;
• Área: Para a introdução do conceito de área, os alunos devem realizar experi-
ências que conduzam à cobertura e uma superfície, de forma a que não sobrem 
espaços vazios nem haja sobreposições. Com essas experiências, os alunos po-
derão compreender a necessidade de padronização das medidas de área; por 
exemplo, o metro quadrado;
• Volume e Capacidade: Intuitivamente, podemos dizer que volume é o espaço 
ocupado por um corpo sólido. Nesse sentido, é fundamental a realização de 
experiências como as de mergulhar um corpo num líquido e observar a subida 
resultante, ou encher caixas com cubos. Outro aspecto a realçar é o de, muitas 
vezes, a capacidade ser confundida com o volume. Contudo, se o volume é o es-
paço que um corpo ocupa, a capacidade é a quantidade de líquido ou de espaço 
que pode conter. A unidade de medida de capacidade é o litro, que corresponde 
ao decímetro cúbico;
• Massa: É comum ouvirmos algumas expressões como “eu sou mais pesado 
que você”, “a borracha é mais leve que o caderno”, quando deveríamos ou-
vir “a minha massa é superior à sua”, “a massa da borracha é superior à 
massa do caderno”. Essas duas grandezas são diferentes. Enquanto a grandeza 
16
17
massa não varia em qualquer local da Terra em que o objeto se situe, a grandeza 
peso depende do lugar em que nos encontramos, porque esta é definida como 
a força que atrai um corpo para o centro da Terra. A massa diz respeito à quan-
tidade de matéria que um corpo possui;
• Tempo: Quem nunca ouviu as expressões. “Esse tempo nunca mais passa.”, 
“Faltam 5 minutos para acabar a prova.” O que nos indicam? A primeira é 
a característica do tempo subjetivo, enquanto que a segunda, por nos ser dada 
por um instrumento de medida – o relógio, identifica o tempo objetivo. O tempo 
é uma grandeza difícil de ensinar, pois trata-se de algo que não é “palpável”. 
Como medir o tempo? A medição dessa grandeza foi sofrendo várias alterações 
ao longo dos tempos. Para medir o tempo já se recorreu ao Sol, à água, à areia, 
mas nos dias atuais usamos calendários e relógios;
• Dinheiro: Para os alunos, essa grandeza não está diretamente ligada à medida, 
uma vez que eles recorrem ao dinheiro para comprar o que querem e não para 
medir. É a partir de situações do quotidiano e dos conhecimentos que os alunos 
já têm do dinheiro que estes irão compreendê-lo como uma grandeza; vão per-
ceber quantas moedas de um tipo são necessárias para perfazer outra ou atingir 
um determinado valor que corresponde a um preço.
A Medida em Nossas Vidas
O ato de medir leva em geral à necessidade do uso de números – quilômetro (km), 
quilograma (kg), faltam tantos dias para o meu aniversário, a temperatura, a umidade 
do ar, entre outros.
O ato de medir está tão presente no nosso dia a dia como o de contar. O ato de 
fazer a medição é expresso em números.
Já o senso de medida é um processo longo e complexo. 
Envolve o processo para a construção do conceito de medida e:
• Se inicia na comparação visual e direta entre dois objetos;
• Posteriormente, faz-se a comparação indireta;
• Passa pela utilização da unidade de medida, primeiramente não padronizada e, 
depois, padronizada. 
O senso de medida culmina quando a medida for compreendida como uma rela-
ção entre medir e contar e essa relação é representada pelo número.
Por onde começar o trabalho com o senso de medidas?
Por meio da vivência de experiências relatadas por expressões tais como “é 
perto”, “está muito quente”, “é alto”, “está pesado”, “mais bonito”, etc., em que 
está embutida a ideia de comparação, mas ainda não aparece a unidade de medida 
(LORENZATO, 2006).
17
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Mas, nem sempre foi assim...
Como fazia o homem, cerca de 4.000 anos atrás, para medir comprimentos? 
Baseava-se em partes do corpo humano, pois estas eram referências universais. 
Assim surgiram a polegada, o palmo e o pé.
Figura 7
Algumas dessas medidas são usadas até os dias de hoje. Vejam os corresponden-
tes de algumas dessas medidas em centímetros (aproximadamente):
• 1 polegada = 2,54 cm;
• 1 pé = 30,48 cm;
• 1 jarda = 91,44 cm.
Outras medidas imperiais de comprimento:
• Côvado: distância entre o cotovelo e aponta dos dedos – 52,4 cm.
• Légua: distância de uma caminhada por uma hora – 4 a 7 km; 6 600 m.
Com a comercialização entre os povos, surgiram muitas dificuldades para a 
conversão das diversas unidades de medida, pois os corpos das pessoas têm ta-
manhos diferentes.
Em 1789, numa primeira tentativa de resolver esse problema, o Governo Repu-
blicano Francês solicitou à Academia de Ciência da França que criasse um sistema 
de medidas que se baseasse em uma “constante natural”, ou seja, que não fosse 
arbitrária. E assim, foi criado o Sistema Métrico Decimal, formado primeiramente 
por três unidades básicas: o metro (m), o litro (l) e o quilograma (Kg). Posteriormente, 
esse Sistema foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI).
18
19
O metro
Em 8 de maio de 1790 na França, estabe-
lecia-se que a nova unidade deveria ser igual à 
décima milionésima parte de um quarto do me-
ridiano terrestre.
Utilizando a toesa como unidade, mediram a 
distância entre Dunkerque (França) e Montjuich 
(Espanha). Feitos os cálculos, chegou-se a uma dis-
tância que foi materializada numa barra de plati-
na. O comprimento dessa barra era equivalente ao 
comprimento da unidade padrão metro, termo que 
vem do grego metron, que significa medir.
Você Sabia?
A toesa é uma antiga unidade de medida de comprimento originária da França 
pré-revolucionária. Equivalia a seis pés e aproximadamente um metro e oitenta 
e dois centímetros.
Esse metro foi transformado em uma barra de platina e passou a ser denominado 
metro dos arquivos.
Com o desenvolvimento da ciência, verificou-se que uma medição mais precisa do 
meridiano provavelmente daria um metro diferente. Foi assim que a primeira defini-
ção do metro foi substituída por:
Metro é a distância entre os dois extremos da barra de platina depositada nos Ar-
quivos da França e apoiada nos pontos de mínima flexão na temperatura de 0ºC.
Com o avanço científico, as exigências tecnológicas foram ficando cada vez 
mais maiores. Estudiosos concluíram que o metro dos arquivos apresentava al-
guns inconvenientes:
• O paralelismo das faces não era tão perfeito;
•O material era relativamente “mole” e poderia desgastar-se;
• A barra não era suficientemente rígida.
Outras mudanças e outras definições para o metro surgiram, até que atualmente 
o metro está assim definido:
Metro é a unidade de medida de comprimento do Sistema Internacional, de símbolo 
m, que equivale ao comprimento do trajeto percorrido pela luz no vazio, durante um 
intervalo de tempo de 1/299 792 458 do segundo.
Figura 8
Fonte: Wikimedia Commons
19
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Figura 9
Fonte: Getty Images
Medidas de Comprimento e Superfície
Vimos anteriormente que medir é comparar grandezas de mesma espécie. Então, 
para medir uma superfície ou um comprimento, comparamos com outra tomada 
como unidade de medida.
Para medir o piso de uma cozinha, por exemplo, assentamos todos os ladrilhos e 
depois contamos.
1 unidade 16 unidades
Figura 10
Fonte: Adaptado de Getty Images
Assim, para que se construa o conceito de superfície ou de área faz-se necessário 
vivenciar experiências de compor e decompor figuras planas.
Vamos fazer uma projeção: imagine que você já está formado e lecionando em 
uma escola da Educação Básica. Agora reflita: Como será que este processo de 
construção de conhecimento (áreas) ocorre dentro da sala de aula? Quais seriam as 
dificuldades enfrentadas pelos alunos? E por você? Quais os recursos possíveis para 
a superação dessas dificuldades? Você consegue imaginar?
Ao longo desta unidade, iremos sugerir algumas propostas de atividades a serem 
desenvolvidas em sala de aula. Caso queira experimentá-las convide crianças da sua 
família ou amigos e divirta-se! Você verá que, cada vez que desenvolver uma atividade 
20
21
como esta sempre haverá algo novo para aprender. Assim é a prática docente, apren-
demos a cada dia, a partir das diferentes interações que esta profissão nos possibilita.
Proposta 1
Composição e decomposição de figuras planas
Material necessário: Cartolina
Peça aos alunos que construam dois quadrados e corte-os ao meio ficando com 4 
triângulos, como mostra a figura seguinte:
Figura 11
Oriente os alunos para que formem figuras livremente com os quatro triângulos.
Esta etapa do trabalho é muito importante, pois irá proporcionar ao estudante a 
familiaridade com as peças que serão manipuladas.
Na sequência, proponha que os alunos construam:
• Um triângulo usando dois desses triângulos.
• Um paralelogramo usando dois desses triângulos.
Pergunte aos alunos: O que esta atividade representa? Qual a relação existente 
entre os dois triângulos menores, o triângulo maior e o paralelogramo?
• Com três triângulos forme um trapézio.
• Com quatro triângulos, forme um retângulo, um paralelogramo e um quadrado.
Após esta etapa, pergunte aos alunos se existe alguma relação entre essas figuras. 
Essas atividades também propiciam o desenvolvimento das habilidades de compo-
sição e decomposição de figuras. Em todos os casos, procure outras soluções. 
Quando formamos um triângulo a partir de dois triângulos menores, pretende-
mos que o aluno perceba que a área da superfície do triângulo maior é a mesma do 
triângulo menor, veja:
Figura 12
21
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Ou quando formamos um paralelogramo com esses mesmos dois triângulos, con-
cluímos que a superfície do triângulo é a mesma do paralelogramo, apesar de pos-
suírem formas diferentes.
Figura 13
Essas duas figuras, apresentam formas diferentes, mas mantêm a mesma área 
da superfície.
Na proposta seguinte, em que se pede para formar um trapézio com três tri-
ângulos e com quatro triângulos, formar um retângulo, um paralelogramo e um 
quadrado o princípio é o mesmo: altera-se a forma, mas a área da superfície é a 
mesma. A Figura 14 possui a mesma área da superfície dos três triângulos, enquanto 
a Figura 15 são figuras diferentes, mas possuem a mesma área, veja:
Figura 14
Figura 15
Importante!
Esta atividade com composição e decomposição de figuras envolvem vários conceitos di-
ferentes (paralelismo, perpendicularidade, ângulo, medidas), o que pode gerar algumas 
dificuldades para os estudantes. São comuns, casos de estudantes que não percebem 
que as características dos polígonos permanecem mesmo quando sua posição é altera-
da. Alguns estudantes têm dificuldade para reconhecer um quadrado com os lados em 
posição inclinada.
22
23
Proposta 2
Cálculo da área de superfícies planas por meio da composição 
e decomposição de figuras e por aproximações
Material necessário: papel quadriculado, régua e tangram recortado.
Construir o Tangram em papel quadriculado (1 cm x 1 cm). Orientar para que o 
desenho seja feito em um quadrado de 10cm de lado. Recorte cada peça e compa-
rem suas áreas.
1 cm
Figura 16
No caso desta proposta de construção do triângulo com papel quadriculado, es-
peramos que os alunos concluam que o papel quadriculado auxilia na medição das 
peças e, portanto, pode-se usá-las como unidade de medida de outras figuras. 
Pergunte aos alunos:
• Quais figuras são de maior, menor ou igual área, tendo como auxílio o número 
de quadradinhos das peças;
• Questioná-los se conseguem identificar quais figuras planas apresentam o mes-
mo valor de área;
• Solicitar que expliquem como chegaram à área da figura;
• Verificar se consegue identificar quais das figuras geométricas apresentam a 
mesma área. 
Peça que expliquem suas conclusões.
O trabalho envolvendo o Tangram favorece o desenvolvimento da linguagem geo-
métrica e de noções ligadas ao conceito de área. Por exemplo: o recobrimento, pela 
unidade de área, da superfície que se quer medir; o fato de superfícies equivalentes 
terem a mesma área; e o fato de uma superfície formada pela justaposição de duas 
23
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
outras ter a área igual à soma das áreas das duas figuras. Essas noções são importan-
tes no momento de justificar as fórmulas para o cálculo da área de uma figura plana.
Para finalizar proponha aos alunos que determinem a área de cada peça do tan-
gram usando como unidade de área uma das peças do Tangram. Para auxiliá-los 
proponha que preencham a seguinte tabela:
Medida da área de
Unidades 
de área
Figura 17
O principal objetivo com esta atividade é a familiarização com o cálculo de áreas, 
quando ele obtém o resultado da medida e um facilitador na compreensão do con-
ceito e do cálculo de áreas.
É possível construir o tangram com algum material reciclável? Sobras de papel, sobras de 
E.V.A., tampas de caixas de sapato ou de camisa, poderiam ser usadas?
Proposta 3
Construir o Conceito de Área Usando Quadriculados
A construção deste conceito pode começar pela observação do piso da própria 
sala de aula ou de outras dependências que possuam ladrilhamento. É possível que 
em uma breve observação apareça vários ladrilhamentos. 
Material necessário: cartolina e papel quadriculado
1º) Divida a sala em grupos, peça a cada grupo para escolher um dos “ladrilhos” 
para reproduzirem tantas vezes quantas forem necessárias para recobrir o “piso” 
representado pelo quadriculado desenhado. Mas, atenção! Nenhum buraco deve ser 
deixado e nenhuma peça pode sobrepor-se a outra.
24
25
Figura 18
Uma dica: É possível reproduzir as peças e o “piso”, recortar os ladrilhos e 
colar sobre “piso”. 
A seguir, você pode propor que cada grupo exponha o seu piso e responda algu-
mas questões:
• Qual dos ladrilhos vocês acham que apresentou menos dificuldade para 
ser ladrilhar?
• Qual apresentou maior dificuldade? Você sabe dizer por quê?
Professor: É possível que, em um primeiro momento as respostas sejam que 
o quadrado é mais fácil de ser ladrilhado, seguido pelo retângulo.
Leve os alunos a perceberem que dois triângulos menores formam o quadrado e 
que os dois triângulos maiores formam o retângulo. Se os alunos chegarem a esta 
conclusão, provavelmente essa dificuldade não existirá. O importante é levá-los a tal 
conclusão. Não apresente a solução, discuta com eles,reflita.
2º) Proponha algumas questões aos alunos.
• Quantos quadrados foram usados no ladrilhamento?
• Quantos retângulos foram usados no ladrilhamento?
• Quantos triângulos menores foram usados no ladrilhamento?
• Quantos triângulos maiores foram usados no ladrilhamento?
Conduza os alunos à conclusão de que existem diferentes superfícies que são to-
madas como unidade de medida de piso, assim o mesmo piso terá 48 quadrados; 24 
retângulos; 48 triângulos maiores e 96 triângulos menores.
25
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Outras questões para investigação, pergunte aos alunos:
• Por que os números obtidos foram diferentes?
• Por que a quantidade de quadrados e triângulos maiores são iguais?
• Por que a quantidade de quadrados é o dobro da quantidade de retângulos?
• Por que a quantidade de quadrados é a metade da quantidade de 
triângulos maiores?
Os números obtidos são diferentes, pois a forma da superfície utilizada para o ladrilha-
mento é diferente. O triângulo maior possui a mesma superfície do quadrado. É possível 
observar isso na prática: dois triângulos maiores formam o retângulo, portanto a medida 
do triângulo maior é a metade do retângulo. Dois quadrados formam o retângulo, assim, 
o quadrado mede a metade do retângulo. Concluímos que o quadrado e o retângulo 
possuem a mesma superfície. Como vimos, o quadrado possui a metade da superfície do 
retângulo, logo a quantidade de quadrados deve ser o dobro da quantidade de retângulos. 
Analogamente, dois triângulos menores formam um quadrado. Portanto, a quantidade 
de quadrados deve ser o dobro da quantidade de triângulos menores.
Concluindo: O que cada número obtido representa? Destacamos que cada um 
desses números representa uma medida e que essa medida chama-se área da su-
perfície ladrilhada, no nosso caso essa superfície é um quadrilátero.
Área: é a medida da superfície de uma figura.
Construindo o Conceito de Perímetro
Retomando a proposta de ladrilhamento de um piso, a proposta agora é observar 
o acabamento na junção entre a parede e o piso da casa, chamado rodapé. O impor-
tante é concluir que neste caso não se deve medir a superfície, mas sim, o contorno 
da sala, ou seja, obter a soma das medidas dos comprimentos dos lados. Essa soma 
recebe o nome de perímetro.
Podemos sugerir aos estudantes que meçam o perímetro de uma sala de aula ou de 
outra dependência da escola, adotando, para isso, uma unidade de medida adequada.
Indicamos que os conceitos de área e perímetro de figuras planas sejam trabalha-
dos conjuntamente, como esta que sugerimos a seguir:
Proposta 1
Cálculo da área e perímetro de uma figura dada
Material utilizado: cópia da atividade
Considerando o “quadradinho” como a unidade de medida de área (q) e o com-
primento do lado do “quadradinho” como unidade de medida de comprimento (l), 
vamos calcular a área e o perímetro da figura seguinte.
26
27
Nesse exemplo, temos a área igual 
a 20 q e o perímetro igual a 26 l.
O importante nesta atividade é ve-
rificar se o aluno domina as noções 
iniciais de área e perímetro conside-
rando o “quadradinho” como unidade 
de medida da área e o lado do “qua-
dradinho” como unidade de medida 
do perímetro.
Proposta 2
Calcular a área e o perímetro das figuras abaixo usando 
como unidade de medida as figuras indicadas.
Material utilizado: cópia da atividade
Unidade de medida
Unidade Unidade Unidade Unidade
8 16 8
Área das
�guras
Figura
4
4
8 16 8A
5 10 20 10B
9 18 36 18C
5 10 20 10D
E
Figura 20
Figura 19
27
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Depois de encontrada a área e perímetro de todas as figuras, propomos a seguinte 
reflexão:
• O número que indica a área de uma figura é sempre maior que aquele que indi-
ca o perímetro? É sempre menor? É igual?
• A figura com maior área é sempre aquela que tem o maior perímetro? A que 
tem menor perímetro tem sempre a menor área?
Em complemento a esta atividade, propomos representar em papel quadriculado:
• Uma figura em que o número que indica a área é menor que a que indica o 
perímetro.
• Uma figura em que os dois números são iguais.
• Duas figuras de mesma área e perímetros diferentes.
• Duas figuras de mesmo perímetro e áreas diferentes.
Expectativa de resposta
Propomos a construção de uma tabela para melhor visualização das respostas. 
Inserimos nessa tabela o número de lados das figuras. É importante que o estudante 
diferencie perímetro do número de lados.
Figura Área Perímetro
Área e perímetro
no de lados
16 20 8
16 16 4
20 32 20
36 24 4
Figura 21
Com relação às questões apresentadas:
• O número que indica a área de uma figura é sempre maior que aquele que 
indica o perímetro? É sempre menor? É igual?
Percebemos na tabela anterior que a área pode ser maior, menor ou igual ao pe-
rímetro e vai depender da figura que estamos tomando para cálculo.
• A figura com maior área é sempre aquela que tem o maior perímetro? A que 
tem menor perímetro tem sempre a menor área?
28
29
Também percebemos que essa afirmação não é verdadeira, pois nem sempre a 
figura que tem maior área é aquela que possui maior perímetro.
Na representação em papel quadriculado, segue algumas das soluções, reflita 
sobre a existência de outras.
• Uma figura em que o número que indica a área é menor que a que indica 
o perímetro.
Área = 9 e perímetro = 20
Figura 22
• Uma figura em que os dois números são iguais.
Área = 18 e perímetro = 18
Figura 23
• Duas figuras de mesma área e perímetros diferentes.
Área = 12 e perímetro = 16 Área = 12 e perímetro = 14
Figura 24
Perímetro: é a medida do contorno de uma figura, ou seja, a soma dos comprimentos de 
seus lados.
29
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Construindo o Conceito de Comprimento 
com Unidades Padronizadas
Até o momento trabalhamos com unidades de medidas não padronizadas. Intro-
duziremos agora, o estudo das unidades-padrão. 
Partindo da exploração de medidas conhecidas e utilizadas pelas pessoas no dia a 
dia, provavelmente as unidades mais conhecidas são o metro, o centímetro e o qui-
lômetro. As demais unidades serão incorporadas para demonstrar a analogia com o 
sistema de numeração decimal, uma vez que o metro se relaciona com seus múltiplos 
e submúltiplos em agrupamentos e trocas na base 10.
Quando necessitamos medir a altura de uma pessoa ou o tamanho de uma mesa ou 
ainda comprar um tecido para fazer uma roupa usamos as medidas de comprimento.
Proposta 1
Organize a sala em grupos e entregue aos alunos revistas, folhetos ou jornais 
para que eles pesquisem diferentes instrumentos de medida. Em seguida, peça que 
escolham um desses instrumentos e preencham a ficha seguinte:
Tabela 2 – Instrumentos de Medida
Nome do instrumento:
Para que serve:
Onde utilizamos:
Peça para que cada grupo exponha o que aprendeu e leia a sua ficha. Você pode 
organizar as fichas em um mural para que todos possam visualizar.
Proposta 2
Disponibilizar aos alunos uma cópia do poema: “A Régua” 
da autora Jaqueline Garcia e propor a leitura
A Régua
Com uma régua na mão
Posso medir quase tudo com precisão
A mesa, a porta, o balcão...
E até mesmo o tamanho do meu dedão
Mas existem algumas coisas
Que a régua não mede não
A tristeza, a alegria
O amor, a compaixão...
E outros sentimentos do coração
Fonte: GARCIA, J. Coleção Conhecer e Crescer: Alfabetização Matemática. 1º Ano. São Paulo: Escala Educacional, 2011. P. 187.
30
31
Após a leitura, instigue o aluno a refletir e discutir sobre algumas questões refe-
rentes ao poema, como por exemplo:
• O que podemos medir com a régua?
• Você já usou uma régua?
• Para que serve a régua?
• O que a régua não consegue medir? Por quê?
Converse com os alunos e leve-os a concluir que usamos a régua para medir 
pequenos comprimentos e que usamos a unidade de medida centímetros (cm) para 
esse comprimento.
Se possível, providencie régua para todos os alunos para que possam realizarmedições de diferentes objetos em sala de aula. Podemos organizar uma ficha para 
registrar essas medidas:
Tabela 3 – Comprimento dos objetos
Lápis
Borracha
Caderno
...
Leve para a sala de aula outros instrumentos de medida: trena, fita métrica, metro 
articulado e outros. Dialogue e discuta com os alunos sobre as situações em que cada 
instrumento é utilizado.
Importante!
É importante valorizar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito do assunto, pro-
vavelmente eles já conhecem algumas medidas de comprimento e alguns instrumentos 
de medida.
Proposta 3
Qual é a sua altura?
Usando o barbante como instrumento de medida, meça todos os alunos. Organize 
os barbantes por ordem de tamanho (do menor para o maior). Escolha um local ade-
quado para colar os barbantes. Não se esqueça de identificá-los. Faça isso com a 
ajuda dos alunos.
Elabore algumas questões e incentive os alunos a formularem outras. Reflita, por 
exemplo, sobre as questões:
• Quem é o mais alto da turma? E o mais baixo?
• A turma tem alunos com a mesma altura?
31
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Figura 25
Fonte: Getty Images
Escolha um aluno e pergunte: Quantos são os mais altos que você? Quais são? 
Quanto eles medem a mais que você?
Importante!
Perceba que o foco deve estar na resolução de problemas, assim é possível, além de 
resolvê-los, refletir sobre suas propostas. Veja: ao responder quantos são os mais altos e 
quanto esses medem, o aluno estará resolvendo uma situação envolvendo a ordenação 
de números decimais e também da subtração por comparação de números decimais.
Proposta 4
Resolver problemas
1. Queremos encomendar um armário a um marceneiro. Quais as medidas que 
devemos fornecer ao marceneiro para que ele possa construir o armário?
2. Agora, vamos encomendar mais uma carteira e uma cadeira para o mesmo 
marceneiro. Que medidas devem ser repassadas para o marceneiro?
3. Comparar o tamanho do passo de uma criança com o de um adulto. 
4. Propor diferentes organizações das mesas da sala de aula sem deslocá-las. 
Na resolução desses problemas (ou outros que podem ser elaborados pela tur-
ma) o importante é explorar as respostam que supostamente possam surgir. Como 
por exemplo: Quais as medidas que devemos fornecer ao marceneiro para que ele 
construa um armário. Pode ser que surjam respostas dizendo que é necessário for-
necer ao marceneiro as medidas da altura e largura do armário. Entretanto, ainda 
teremos que fornecer as medidas da profundidade, da altura dos pés, ou de algum 
outro acessório que este armário conter. Já as medidas da carteira e da cadeira são 
diferentes, veja: para a carteira, temos que fornecer as medidas do tampão, a altura, 
a espessura dos pés, entre outros detalhes. O mesmo com a medida das cadeiras, 
em que será preciso fornecer as medidas do assento, do encosto e da altura dos pés. 
32
33
Na situação de comparação dos passos, os alunos perceberão as diferenças, mas 
somente com a intervenção do professor conseguirão constatar que, quanto maior 
a unidade (o passo), menos unidades são necessárias para percorrer determinada 
distância. E vice-versa.
Nas diferentes organizações das mesas da sala, ao estimar que o piso de um lado 
da sala tem 30 lajotas, por exemplo, e que as carteiras ocupam quase três delas, 
fica fácil concluir que não se podem colocar dez mesas em uma só fileira (vai faltar 
espaço para circular entre as carteiras).
Medida de Comprimento: Metro, 
seus Múltiplos e Submúltiplos
Durante muito tempo, as medidas de comprimento eram baseadas por algumas 
partes do corpo humano como: tamanho de um palmo, pé, braço ou comprimento de 
um passo. Os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía 
suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez 
mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. 
Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representan-
tes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. 
Surgia o sistema métrico decimal. 
Metro
A palavra metro vem do grego métron e significa “o que mede”. Foi estabelecido 
inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância 
do Polo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi 
adotado oficialmente em 1928
Os instrumentos utilizados para medir comprimento vão depender do que se quer 
medir. É possível medir grandes distâncias, como a distância entre a Terra e o Sol, a 
distância entre a nossa casa e o local de trabalho ou, ainda, medir insetos e pequenos 
objetos. Em todos os momentos, mesmo sem perceber, estamos fazendo uso das 
medidas de comprimento.
O comprimento deve ser um número positivo, pois segundo nossa experiência 
cotidiana, não faria qualquer sentido um comprimento negativo.
Matematicamente, é muitas vezes útil introduzirmos “comprimentos” negativos, como por 
exemplo, na teoria da relatividade, onde o espaço é de dimensão quatro, sendo uma das 
dimensões relacionadas com o tempo. A noção de comprimento neste espaço, denominado 
espaço de Minkowski, admite valores negativos, e isto é fundamental para que a lei da cau-
salidade continue válida no universo.
33
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Medidas de Superfície: Metro Quadrado, 
seus Múltiplos e Submúltiplos
A medida de uma superfície plana é o resultado da comparação dessa superfície 
com outra, escolhida como unidade padrão. Portanto, área é a medida de uma su-
perfície numa certa unidade.
Imagine uma sala revestida de lajotas. Tomando a lajota como unidade de área e 
contando o número delas, teremos a medida da superfície da sala: 30 lajotas de área.
Área - 30 lajotas
Figura 26
A mesma sala, entretanto, poderia estar revestida com outro tipo de lajota, como 
se ilustra abaixo, à direita. Para essa nova lajota como unidade de área a medida de 
superfície para a mesma sala será: 15 lajotas de área.
Esse exemplo nos permite refletir sobre o estabelecimento de uma unidade de 
medida padrão, de modo que a medida seja compreendida por todas as pessoas.
A unidade de medida de área é o metro quadrado (m²). O metro quadrado repre-
senta um espaço em forma de quadrado.
1 metro
1 metro
quadrado1 metro
Figura 27
Quando queremos medir grandes porções de terra, como sítios ou fazendas, usamos uma 
unidade agrária chamada hectare (ha). O hectare é a medida de superfície de um quadrado 
de 100m de lado.
1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000m².
O comprimento é uma medida de uma só dimensão, enquanto a área é uma medida de duas 
dimensões (comprimento quadrado).
34
35
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
A Medida do Mundo
CREASE, R. P. A Medida do Mundo. Editora Zahar, 2013. Tradução: Georje 
Schlesinger. Revista Super Interessante, ano 3, n.º 9. 296 pp.
Medindo Comprimentos
MACHADO, N. J. Medindo Comprimentos. Coleção Vivendo a Matemática: 
Medindo Comprimentos. Scipione. 2002
 Vídeos
Novo Telecurso – E. Fundamental – Matemática – Aula 13 (1 de 2)
https://youtu.be/GDZHaM73R9I
D-20: Grandezas e medidas: medir, estimar e comparar
https://youtu.be/FKzAvsw22r0
Na Carriola de Arquimedes – Vídeo 17 – Senso de Medida – Parte 1
https://youtu.be/g3vxZzeov50
Na Carriola de Arquimedes – Vídeo 18 – Senso de Medida – Parte 2
https://youtu.be/zhdzfM0sN9s
Na Carriola de Arquimedes – Vídeo 19 – Senso de Medida – Parte 3
https://youtu.be/jelc7dUd7ko
 Leitura
Grandezas e Medidas: surgimento Histórico e Contextualização Curricular
https://bit.ly/2VOZpoH
A revolução do metro – Após o caos, o Sistema Métrico
https://bit.ly/3grXLBg
35
UNIDADE Grandezas e Medidas: Medidas de Comprimento e Superfície
Referências
BIGODE, A. J. L. Matemática: soluções para dez desafios do professor: 1º ao 3º 
ano do ensino fundamental – 1ª ed. São Paulo:Ática Educadores, 2011. (Coleção 
Nós da Educação).
CARAÇA, B. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva. 2003.
LORENZATO, S. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas: Autores 
Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).
MACHADO, N. J. Medindo Comprimentos. Coleção Vivendo a Matemática: Me-
dindo Comprimentos. Scipione. 2002.
PONTE, J.; SERRAZINA, L. Didáctica da Matemática do 1º Ciclo. Lisboa: Uni-
versidade Aberta. 2000.
REVISTA Nova Escola. Planos de aula de matemática: grandezas de medida. São 
Paulo. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br>. Acesso em:05/05/2009.
36