2014 1-AP2-GP-Gabarito

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Solução para AP2 de Geometria Básica 
 
 
1) O triângulo ABC é eqüilátero de lado 4, .13,2 ==== PBeAPMCAM 
Determine o perímetro do triângulo APM. 
 
A
P
B C
M
 
 
 
Resolução: 2p = PMPMAPPMAM +=++=++ 532 . 
Mas ( ) 77694
2
1)3)(2(232 222
==−+=−+= PMePM . 
Logo, 2p = 5 + 7 . 
 
 
2) Um poliedro de sete vértices tem 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. 
Determine o número de arestas e de faces deste poliedro. 
 
 
Resolução: O número de arestas dos 5 ângulos tetraédricos é 5(4) e o número de arestas 
dos 2 ângulos pentaédricos é 2(5). Notando que cada aresta foi contada 2 vezes, pois é 
comum a 2 ângulos poliédricos, temos: 
 2A = 5(4) + 2(5) = 30 e A = 15 
 O número de faces será: F = 2 + A – V = 2 + 15 – 7 = 10. 
 Logo, A = 15 e F = 10. 
 
 
3) Considere um prisma reto de base triangular em que todas as arestas medem 2 m. 
Determine a área total e o volume deste prisma. 
 
Resolução: AT = 2AB + AL. 
 Temos que AB= 2
2
3
4
32 m= e AL= 3(2)2 = 12 m2. 
 Logo, AT= (2 3 + 12) m2. 
 V = ABh = ( 3 )2 = 2 3 m3 
 
 
4) Uma esfera de raio r é seccionada por um plano α de modo que a seção plana 
determinada tem área igual à metade da área da seção plana determinada por um plano 
que passa pelo centro da esfera. Determine a distância do centro da esfera ao plano α. 
 
Resolução: Seja A1 a área da seção plana determinada por α. Esta seção é um círculo de 
raio x e tem-se que A1= 
2
2rπ .Logo, 
2
2rπ = πx2 e x2 = 
2
2r . 
Por outro lado, se denominarmos por d , a distância do centro da esfera ao plano α, 
temos a seguinte relação: r2 = x2 + d2, ou seja, d2 = r2 – x2 = r2 - 
2
2r e d2 =
2
2r . 
Logo, d = 
2
2r . 
 
 
 
5) Uma caixa d’água, na forma de um cone reto invertido, está com água até a metade 
de sua altura. Adicionam-se 570 litros de água e o nível de água sobe um quarto de 
altura. Determine a capacidade da caixa, ou seja, o volume de água que podemos nela 
armazenar. 
 
 Resolução: Vi = 




=





8
1
3
1
223
1 2
2
hrhr
ππ , onde Vi é o volume inicial de água. 
Ao despejarmos 570 litros de água, obtemos o seguinte volume: 
Vp = =




=





64
27
3
1
4
3
4
3
3
1 2
2
hrhr
ππ Vi + 570. 
Logo, =




=





64
27
3
1
4
3
4
3
3
1 2
2
hrhr
ππ 570
8
1
3
1 2 +




hrπ e 
570
8
1
64
27
3
1 2 =




 −hrπ e 570
64
19
3
1 2 =




hrπ , o que significa que 
1920
19
64570
3
1 2 =




=hrπ . 
Como a capacidade da caixa é V = hr 2
3
1
π , temos que sua capacidade é de 1920 litros