SE 2019 - Aula 23 - Geometia Espacial I

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
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Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 23 – Geometria Espacial I 
 
1. (Pucrj 2018) Uma caixa de chocolate, com a forma de um paralelepípedo, 
tem dimensões 4 cm 4 cm 16 cm.  Quantos 2cm de papel são 
necessários para cobrir completamente essa caixa? 
a) 256 b) 272 c) 288 d) 304 e) 320 
 
2. (Uerj 2017) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados de modo 
a formar o paralelepípedo ’B’CABCDA ’D’. Esse paralelepípedo é 
seccionado pelos planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos 
médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, respectivamente. 
 
A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define o 
sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir. 
 
O volume do sólido ABCDEF, em 3cm , é igual a: 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 
 
3. (Unigranrio - Medicina 2017) Um prisma reto tem como base um hexágono 
regular, que pode ser inscrito em uma circunferência de raio 2 m. Se a altura 
desse prisma é igual ao dobro do lado do hexágono regular que forma a sua 
base, então, pode-se afirmar que seu volume, em 
3m , é igual a: 
a) 4 3 b) 6 3 c) 24 3 d) 30 3 e) 48 3 
 
4. (Enem 2017) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita 
colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que 
não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes 
dimensões, conforme descrito: 
 
- Caixa 1: 86 cm 86 cm 86 cm  
- Caixa 2: 75 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 3: 85 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 4: 82 cm 95 cm 82 cm  
- Caixa 5: 80 cm 95 cm 85 cm  
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que 
sobre o menor espaço livre em seu interior. 
 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
5. (Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de 
Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada 
uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao 
hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 
2 é 
a) tetraedro. 
b) pirâmide retangular. 
c) tronco de pirâmide retangular. 
d) prisma quadrangular reto. 
e) prisma triangular reto. 
 
6. (Enem 2017) Uma empresa especializada em conservação de piscinas 
utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas 
sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L 
de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina 
de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e 
comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina 
d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa 
piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é 
a) 11,25. b) 27,00. c) 28,80. d) 32,25. e) 49,50. 
 
7. (Enem 2ª aplicação 2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade 
no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da 
Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma 
de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas. 
 
 
 
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-
se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em 
direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. 
Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de 
menor distância entre os pontos. 
 
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD 
é dada por 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
8. (Enem 2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados 
os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um 
mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado 
um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, 
de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A 
e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e 
C. 
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura. 
 
 
A projeção ortogonal, no plano ,α do caminho traçado no globo pode ser 
representada por 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
9. (Enem 2016) Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da 
figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os 
alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os 
alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada. 
 
Qual e o esboço obtido pelos alunos? 
a) b) c) d) e) 
 
10. (Uerj 2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a 
forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por 
uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse 
poliedro côncavo. 
A soma V F A+ + é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
11. (Enem 2ª aplicação 2016) Um lapidador recebeu de um joalheiro a 
encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma 
pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro 
cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados 
correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo 
dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, 
uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, 
respectivamente, iguais a 
a) 9, 20 e 13. b) 3, 24 e 13. c) 7, 15 e 12. 
d) 10,16 e 5. e) 11,16 e 5. 
 
12. (Unesp 2016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois 
prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como 
indica a figura. 
 
Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do 
paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces 
externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento 
aproximado de 
a) 42%. b) 36%. c) 32%. d) 26%. e) 28%. 
 
13. (Enem 2ª aplicação 2016) O recinto das provas de natação olímpica 
utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos nadadores 
condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das 
correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir 
isso, a piscina de competição tem uma profundidade uniforme de 3 m, que 
ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o movimento) contra uma superfície e o 
regresso no sentido contrário, atingindo os nadadores), além dos já 
tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja 
reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de largura e 2 m 
de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas 
olímpicas. 
 
Disponível em: http://desporto.publico.pt. Acesso em: 6 ago. 2012. 
 
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina 
original em um valor mais próximo de 
a) 20% b) 25% c) 47% d) 50% e) 88% 
 
14. (Enem 2016) Um petroleiro possui reservatório em formato de um 
paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m 10 m de 
base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de 
um eventual vazamento, esse reservatórioé subdividido em três 
compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço 
retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo 
que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja 
rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará. 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua 
carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do 
compartimento C. 
Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas 
divisórias. 
Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de 
a) 
3 31,4 10 m b) 3 31,8 10 m c) 3 32,0 10 m 
d) 
3 33,2 10 m e) 3 36,0 10 m 
 
15. (Uerj 2016) Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros 
no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h. 
Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor 
possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real 
da seguinte equação: 
2
32
4a 0
a
− = 
As medidas da embalagem, em decímetros, são: 
a) a 1; h 2= = b) a 1; h 4= = c) a 2; h 4= = d) a 2; h 2= = 
 
16. (Unesp 2016) Um cubo com aresta de medida igual a x centímetros foi 
seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a 
vista superior desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero. 
 
Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a −
32(4 3)cm , 
x é igual a 
a) 2 b) 
7
2
 c) 3 d) 
5
2
 e) 
3
2
 
 
17. (Enem 2015) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, 
obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em 
cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas 
menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, 
é pintada usando uma cor distinta das demais faces. 
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas 
na pintura das faces do troféu? 
a) 6 b) 8 c) 14 d) 24 e) 30 
 
18. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas 
iguais, encostadas no canto de um depósito. 
 
Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, 
em metros cúbicos, é de: 
a) 0,513 b) 0,729 c) 0,810 d) 0,837 e) 0,864 
19. (Unesp 2015) Quando os meteorologistas dizem que a precipitação da 
chuva foi de 1mm, significa que houve uma precipitação suficiente para que 
a coluna de água contida em um recipiente que não se afunila como, por 
exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse 1mm. Essa 
precipitação, se ocorrida sobre uma área de 
21m , corresponde a 1 litro de 
água. 
O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai 
perpendicularmente à superfície retangular plana e horizontal da laje de uma 
casa, com medidas 8 m por 10 m. Nesse sistema, o tanque usado para 
armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de paralelepípedo 
reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura. 
 
 
Estando o tanque de armazenamento inicialmente vazio, uma precipitação de 
10 mm no local onde se encontra a laje da casa preencherá 
a) 40% da capacidade total do tanque. 
b) 60% da capacidade total do tanque. 
c) 20% da capacidade total do tanque. 
d) 10% da capacidade total do tanque. 
e) 80% da capacidade total do tanque. 
 
20. (Enem 2015) O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser 
substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da 
mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo 
equilátero com lados medindo 30 cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já 
padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 
60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor 
diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a 
a) 18. b) 26. c) 30. d) 35. e) 60. 
 
21. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando 
aumentamos a largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 
20%? 
a) Não se altera 
b) Aumenta aproximadamente 3% 
c) Diminui aproximadamente 3% 
d) Aumenta aproximadamente 8% 
e) Diminui aproximadamente 8% 
 
22. (Enem 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no 
formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 
10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de 
confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado 
líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 
25%, ficando com consistência cremosa. 
Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com 
volume de 
31.000 cm e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada 
uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de 
congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, 
sem transbordar. 
O volume máximo, em 
3cm , da mistura sabor morango que deverá ser 
colocado na embalagem é 
a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) 1.000. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
23. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e 
está apoiado sobre um plano α de modo que apenas a aresta EF esteja 
contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a água. 
 
 
Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um 
retângulo ABCD com área igual a 232 5 dm . 
Determine o volume total, em 
3dm , de água contida nesse cubo. 
 
24. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura 
desprezível, possui 12 metros de largura e comprimento desconhecido 
(figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são 
feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura 2). 
 
 
 
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é 
igual a 
218 m , então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a 
a) 3,25. b) 2,75. c) 3,50. d) 2,50. e) 3,00. 
 
25. (Enem 2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através 
de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco 
pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e 
os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma 
pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto 
D. 
 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa 
(plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: 
a) b) c) d) e) 
 
26. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite 
formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. 
A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da 
aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem 
vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. 
 
 
 
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante 
do depósito? 
a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 24. 
 
27. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a 
forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação 
denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é 
a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de 
comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m 
a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem 
ocupa 
32m desse tipo de silo. 
 
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br.Acesso 
em: 1 ago. 2012 (adaptado). 
 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em 
toneladas, é 
a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. 
 
28. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo 
retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. 
 
 
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo 
que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. 
 
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 
a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0% 
 
29. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário 
de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da 
garagem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interessados já com as 
especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um 
paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 
1cm e 2cm. 
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será 
a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000. 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
30. (Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de 
um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais 
altas, aumentou sua altura em 
1
,
8
 preservando suas espessuras. A fim de 
manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. 
 
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é 
a) 
1
8
 b) 
7
8
 c) 
8
7
 d) 
8
9
 e) 
9
8
 
 
31. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação 
Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar 
bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + 
comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm. 
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo. 
 
 
 
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça 
dentro dos padrões permitidos pela Anac é 
a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49. 
 
32. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto 
retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é 
preenchida com água a uma vazão de 5.000 litros por hora. 
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na 
piscina atingiu: 
a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm 
 
33. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa 
e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, 
duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-
se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o 
movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são 
equidistantes do pivô: 
 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da 
gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: 
a) b) 
c) d) e) 
 
34. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa 
retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, 
cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a 
seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a 
figura a seguir: 
 
 
 
O volume, em 
3dm , da caixa assim obtida é 
a) 
2 380x 36x 4x− + b) 2 380x 36x 4x+ + 
c) 
2 380x 18x x− + d) 2 380x 18x x+ + 
e) 
2 320x 9x x− + 
 
35. (Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram 
retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir 
uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. 
 
 
 
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro 
cantos. 
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. 
c) Determine o volume da caixa formada. 
 
36. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma 
contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação 
das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 
114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres 
são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas 
pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15 e duas 
casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio 
ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 
2100 m . b) entre 2100 m e 2300 m . 
c) entre 
2300 m e 2500 m . d) entre 2500 m e 2700 m . 
e) maior que 
2700 m . 
 
37. (Enem 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele 
iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria 
desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em 
linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de 
M a C. 
O desenho que Bruno deve fazer é 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
38. (Uerj 2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que 
têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. 
 
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a 
medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: 
a) 
3 3 b) 3 4 c) 6 d) 8 
 
39. (Uff 2012) O sistema de tratamento da rede de esgoto do bairro de lcaraí, 
em Niterói, tem a capacidade de processar 985 litros de esgoto por 
segundo, ou seja, 0,985 metros cúbicos de esgoto por segundo. 
 
Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tratamento processe 
o volume de esgoto correspondente ao volume de uma piscina olímpica de 
50 metros de comprimento, 25 metros de largura e 2 metros de 
profundidade, é correto afirmar que o valor de T está mais próximo de 
a) 3 segundos. b) 4 minutos. c) 1
2
 hora. d) 40 minutos. e) 1 dia. 
 
40. (Fgv 2012) Um prisma hexagonal tem duas faces hexagonais paralelas, 
as bases, e seis faces laterais retangulares. Quantas diagonais, não das 
faces, tem esse prisma? 
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 
 
41. (Uerj 2012) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja 
caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base 
quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a 
3 m. 
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba. 
 
42. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam 
passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica 
utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. 
 
 
 
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto 
cujo volume fosse de 2 400 cm3? 
 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
43. (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com 
dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o 
divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam 
totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, 
alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. 
Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é 
igual a 
 
a) 360. b) 344. c) 324. d) 368. 
 
44. (Mackenzie 2012) 
 
O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que 
preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é 
a) 64b) 90 c) 48 d) 125 e) 100 
 
45. (Uerj 2011) Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para 
levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes 
dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ângulo de 45º com o 
chão e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ângulo de 
45º com a parede inicial. 
 
Observe a ilustração: 
 
 
 
Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por suas 
duas partes. 
 
46. (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, 
representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de 
altura igual a 5 cm. 
 
 
Em relação ao prisma, considere: 
- cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º; 
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. 
 
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 
por m2 e que 
3 = 1,73. 
 
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente 
com o papelão é aproximadamente igual a: 
a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
47. (Enem 2ª aplicação 2010) Para confeccionar, em madeira, um cesto de 
lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro 
utilizará, para as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o 
fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos. 
Qual das figuras representa o formato de um cesto que possui as 
características estabelecidas? 
a) b) c) d) e) 
 
 
48. (Enem 2ª aplicação 2010) A figura seguinte ilustra um salão de um clube 
onde estão destacados os pontos A e B. 
 
 
 
Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A 
fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do 
Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um 
cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. 
O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B 
poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano: 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
49. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos 
maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia 
tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões 
indicadas na figura que segue. 
 
 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da 
grandeza 
a) massa. 
b) volume. 
c) superfície. 
d) capacidade. 
e) comprimento. 
 
50. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, 
seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do 
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm. 
 
 
 
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de 
a) 12 cm3. b) 64 cm3. c) 96 cm3. d) 1 216 cm3. e) 1 728 cm3. 
 
Gabarito: 
 
1: [C] 2: [C] 3: [C] 4: [C] 5: [E] 6: [B] 7: [E] 8: [E] 9: [C] 10: [D] 11: [A] 12: [D] 
 
13: [E] 14: [D] 15: [D] 16: [A] 17: [C] 18: [E] 19: [C] 20: [A] 21: [C] 22: [C] 
 
23: 
 
No retângulo ABCD: : 8x 32 5 x 4 5dm=  = 
No triângulo AED: 2 2 2 2(4 5) 8 y y 16 y 4= +  =  = 
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por: 
34 8 8V 128 dm
2
 
= = 
 
24:[E] 25: [C] 26:[B] 27: [A] 28: [D] 29: [E] 30: [D] 31:[E] 32:[E] 33: [B] 34:[A] 
 
35: a) 74 u.c. b) 286 u.a. c) 408 u.v. 36: [E] 37: [C] 38: [B] 39: [D] 40: [A] 
. 
41: Seja a a aresta da base da caçamba. 
Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é 
dada por 
2 2a 1 a . = Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo 
mede 3 m e a diagonal da base mede a 2, vem 
2 2 2 2
2 3
3 (a 2) 1 2a 8
a 4 m .
= +  =
 =
 
 
42: [C] 43: [A] 44: [B] 
 
Resposta da questão 45: 
 Considere a figura. 
 
 
 
Do triângulo ABC, temos que ˆCBA 45=  e ˆACB 90=  implicam em 
ˆBAC 45 .=  Logo, 
AB
AC BC .
2
= = 
Como os triângulos ABC e ATE são congruentes, vem que 
AB
TE AE CD
2
= = = (CDTE é retângulo). Assim, os triângulos 
ABC e BCD também são congruentes e DT 2 AC AB 2.=  =  
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BDT, obtemos: 
2 2 2 2 22BT DT BD (AB 2) AB 3 AB .= + =  + =  
Portanto, aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABT, segue que: 
2 2 2
2 2 2 2
2
2
ˆBT AB AT 2 AB AT cosBAT
ˆ3 AB AB AB 2 AB cosBAT
AB 1ˆ ˆcosBAT BAT 120 .
22 AB
= + −   
 = + −  
= − = −  = 

 
 
46: [B] 47: [C] 48: [E] 49: [B] 50: [D] 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
Calculando a área total do paralelepípedo, obtemos: 
( )
( )
T
T
2
T
A 2 4 4 4 16 4 16
A 2 16 64 64
A 288 cm
=   +  + 
=  + +
=
 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
O sólido ABCDEF é um prisma triangular de bases ABF e DCE. 
Portanto, a resposta é dada por 
31 1AB AA AD 2 4 2 8cm .
2 2
   =    = 
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
O hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de raio 2, logo 
seus lados serão iguais a 2. Assim, calcula-se: 
2 2
2
h 2 2 2 h 4
3 2 3
V 6 h 6 4 V 24 3
4 4
=
= =   =
   
=   =    =   
   
   
 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
A caixa escolhida deve ser a número 3, pois se somarmos as diferenças de 
cada uma das dimensões tem-se: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Caixa 1 86 80 86 80 86 80 18
Caixa 2 não cabe 75 80
Caixa 3 85 80 82 80 90 80 17
Caixa 4 82 80 95 80 82 80 19
Caixa 5 80 80 95 80 85 80 20
 − + − + − =
  
 − + − + − =
 − + − + − =
 − + − + − =
 
Ou ainda pode-se calcular por volume: 
Caixa 1 86 86 86 636056
Caixa 2 não cabe 75 80
Caixa 3 85 82 90 627300 menor volume
Caixa 4 82 95 82 638780
Caixa 5 80 95 85 646000
   =
  
   = 
   =
   =
 
 
Resposta da questão 5: [E] 
 
A forma possui faces duas faces triangulares paralelas, portanto trata-se de 
um prisma triangular reto. 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Calculando: 
3
produto
V 3 5 (1,7 0,5) 18 m 18.000 L
V 18 1,5 27 mL
=   − = =
=  =
 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
Sabendo que o caminho de comprimento mínimo corresponde à linha 
poligonal ABEC, e que a face EBC é perpendicular ao plano ABCD, 
podemos concluir que a resposta é a figura apresentada na alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 8: [E] 
Desde que o arco AB pertence a um plano paralelo a ,α sua projeção 
ortogonal sobre α também é um arco. Ademais, como B e C não são 
simétricos em relação ao plano que contém o equador e o arco BC pertence 
a um plano perpendicular a ,α sua projeção ortogonal sobre α é um 
segmento de reta. Em consequência, a melhor representação é a da 
alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 9: [C] 
 
Observando que as pernas da cadeira irão assumir a posição vertical, e que 
há uma travessa horizontal unindo cada par de pernas, podemos concluir que 
a alternativa [C] é a que melhor representa a vista lateral de uma cadeira 
fechada. 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Para o dodecaedro regular, temos: 
12 faces pentagonais. 
12 5
30
2

= arestas. 
Utilizando a relação de Euler, temos: 
V A F 2 2 30 12 V 20− + =  + −  = (vértices) 
Portanto, o poliedro formado terá: 
12 12 2 22 faces (F 22)
30 30 5 55 arestas (A 55)
20 20 5 35 vértices (V 35)
+ − = =
+ − = =
+ − = =
 
 
A soma pedida será dada por: 
V F A 35 22 55 112.+ + = + + = 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
Uma pirâmide quadrangular possui 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. Após 
os cortes, tais quantidades serão acrescidas em 4, 12 e 8 unidades, 
respectivamente. 
Portanto, a joia ficará com 9 faces, 20 arestas e 13 vértices. 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
A área total do paralelepípedo é dada por 
22 (4 3 4 1 3 1) 38 m .  +  +  = 
Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões 
5 m e 1m. Logo, o acréscimo na área externa foi de 22 5 1 10 m  = e, 
portanto,a resposta é 
10
100% 26%.
38
  
 
Resposta da questão 13: [E] 
Se o volume da piscina olímpica é igual a 
33 25 50 3750 m ,  = e o 
volume da piscina original era 
32 20 50 2000 m ,  = então o resultado é 
3750 2000
100% 88%.
2000
−
  
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
O volume total de petróleo contido no reservatório é igual a 
3 360 10 10 6,0 10 m .  =  
Desse volume, após o vazamento, restarão apenas 
3 32 60 10 7 2,8 10 m .
3
   =  
Em consequência, a resposta é 
3 3 3 36,0 10 2,8 10 3,2 10 m . −  =  
 
Resposta da questão 15: [D] 
 
Resolvendo a equação dada para a: 
3 3 3
2
32
4a 0 4a 32 0 4a 32 a 8 a 2 dm
a
− = → − = → = → = → = 
Logo, sabendo que 1litro 1decímetro cúbico,= e que o volume da 
embalagem é igual a 8 litros, pode-se escrever: 
3
2
base
2
V 8 dm
V S h a h
8 2 h h 2 dm
=
=  = 
=  → =
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Resposta da questão 16: [A] 
 
Com os dados do enunciado, pode-se calcular: 
( )
( ) ( )
2
2
prisma
3 3
3
prisma
x 3
V 2 4 3 x x
4
x x
V 2 4 3 4 3 2 x 8 x 2
4 4
 
= − =  − 
 
 
=  − =  − → = → = → =
 
 
Resposta da questão 17: [C] 
Após os cortes, o poliedro P resultante é um sólido com + =6 8 14 faces. 
Portanto, a resposta é 14. 
 
Resposta da questão 18: [E] 
Volume de cada cubo em 
3 3 3m V (0,3) 0,027m= = = 
Total de cubos na figura: 4 4 9 4 3 32 + + + = 
Volume Total: 
332 0,027 0,864m = 
 
Resposta da questão 19: [C] 
O volume de água captado corresponde a 8 10 10 800  = litros. 
Portanto, como a capacidade do tanque de armazenamento é igual a 
32 2 1 4 m 4000  = = litros, segue-se que o resultado é 
800
100 20%.
4000
 = 
 
Resposta da questão 20: [A] 
O raio r do círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado 30 cm é 
dado por 
= = 
 
30 30
r 17,6cm.
2 sen60 3
 
Portanto, dentre os tampos disponíveis, o proprietário deverá escolher o de 
raio igual a 18cm. 
 
Resposta da questão 21: [C] 
 
(inicial)V a b c=   
 (final) (inicial)V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V=      =  
(final) (inicial) (inicial)V V 0,032V ,− = − portanto houve uma redução de 
aproximadamente 3%. 
 
Resposta da questão 22: [C] 
 
Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na 
embalagem. Tem-se que 
31,25 (1000 v) 20 10 10 v 600cm . +      
Portanto, a resposta é 3600cm . 
 
Resposta da questão 23: 
 
No retângulo ABCD: : 8x 32 5 x 4 5dm=  = 
No triângulo AED: 
2 2 2 2(4 5) 8 y y 16 y 4= +  =  = 
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por: 
34 8 8V 128 dm
2
 
= = 
Resposta da questão 24: [E] 
 
Sabendo que 
2(12 2x) x 18 m ,−  = vem 
2 2x 6x 9 0 (x 3) 0 x 3 m.− + =  − =  = 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho percorrido pela mão 
da pessoa, do ponto A até o ponto E, corresponde a uma circunferência. 
Logo, do ponto A ao ponto D, temos aproximadamente 
3
4
 de uma 
circunferência, o que corresponde à figura da alternativa [C]. 
 
Resposta da questão 26: [B] 
 
Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta 
da parte cúbica de baixo mede 2 . 
Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar 
3
3(2 ) 4
2
= 
unidades de volume, então ela levará 
3 3
3
4
8 10
4
 +
  = 
 
 minutos para 
encher completamente o restante do depósito. 
 
Resposta da questão 27: [A] 
 
Como h 2 m,= segue-se que b 6 2 0,5 5 m.= −  = Logo, segue que 
o volume total do silo é igual a 
36 52 20 220 m .
2
+ 
  = 
 
 Em 
consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 32 m , podemos 
concluir que o resultado pedido é 
220
110
2
= toneladas. 
 
Resposta da questão 28: [D] 
 
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . 
Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 25% maiores que as 
da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos 
2
25 1624 h 24 H h H h 64% H,
4 25
 
  =   =   =  
 
 isto é, a 
altura da lata atual deve ser reduzida em 100% 64% 36%.− = 
 
Resposta da questão 29: [E] 
 
Seja V o volume real do armário. 
O volume do armário, no projeto, é 
33 2 1 6cm .  = Logo, temos 
3
36 1 V 6.000.000cm .
V 100
 
=  = 
 
 
 
Resposta da questão 30: [D] 
 
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta 
original. Logo, segue que o volume da porta original é igual a x y z.  
Aumentando-se em 
1
8
 a altura da porta e preservando a espessura, deve-se 
ter, a fim de manter o custo com o material, 
1 1
9x 8z
y z x y z z ,
8 9
  =    = 
com 1z sendo a largura da nova porta. 
Portanto, a razão pedida é 
1z 8 .
z 9
= 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 31: [E] 
 
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além 
disso, a largura mede 90 2 24 42cm.−  = Daí, o comprimento x, em 
centímetros, deve ser tal que 
0 x 42 24 115 0 x 49. + +     
Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49. 
 
Resposta da questão 32: [E] 
 
O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a 
3,5 5000 17.500 = litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal 
que 
10 5 h 17,5 h 0,35 m 35cm.  =  = = 
 
Resposta da questão 33: [B] 
 
Considere a figura. 
 
De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da trajetória dos 
pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, corresponde aos 
segmentos AC e B'D. 
 
Resposta da questão 34: [A] 
 
O volume da caixa é dado por 
2
2 3
x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )
80x 36x 4x .
 −  − =  − − +
= − +
 
 
Resposta da questão 35: 
 
 a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é 
 
2 [(23 6) (14 6)] 8 3 74 u.c. − + − +  = 
 
Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também 
mede 74 u.c. 
 
b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por 
223 14 4 3 322 36
286 u.a.
 −  = −
=
 
 
c) A caixa formada tem dimensões 17 8 3.  Portanto, seu volume é igual 
a17 8 3 408 u.v.  = 
 
Resposta da questão 36: [E] 
 
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 
 
 
 
Do triângulo ABC, obtemos 
 
BC BC
tgB A C tg15
114AB
BC 114 0,26
BC 29,64 m.
=   =
  
 
 
 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é 
aproximadamente igual a 
 
2 2 2BC (29,64) 878,53 m .=  
 
Resposta da questão 37: [C] 
 
Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção ortogonal do 
deslocamento no plano da base da pirâmide está corretamente descrita na 
figura da alternativa [C]. 
 
Resposta da questão 38: [B] 
 
Sabendo-se que, se V e V’, representam os volumes de figuras semelhantes 
temos 
3V' K
V
= e que, pelo enunciado o volume do pacote maior (V’) é o 
dobro do pacote menor (V), teremos: 
3 3 32V K V K K 2
V
=  =  =  a razão de semelhança será: 
3K 2= 
 
Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança teremos: 
( )
2
2 3 3A' A 'K 2 4
A A
=  = = 
 
Resposta da questão 39: [D] 
 
Volume da piscina em m3 = 50.25.2=2500m3 
Loto T = 
2500
2538s 40min
0,985
 
 
Resposta da questão 40: [A] 
 
Todos os segmentos formados por dois vértices do prisma: C12,2 = 66. 
Diagonais de todas as faces: 6.2 (faces retangulares) + 2.9 (faces hexagonais) 
= 30 
Total de arestas: 18 
 
Portanto, o total de diagonais pedido é: 66 – 30 – 18 = 18. 
 
Resposta da questão 41: 
 
Seja a a aresta da base da caçamba. 
Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é 
dada por 
2 2a 1 a . = Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo 
mede 3 m e a diagonal da base mede a 2, vem 
 
2 2 2 2
2 3
3 (a 2) 1 2a 8
a 4 m .
= +  =
 =
 
 
Resposta da questão 42: [C] 
 
O nível da água subiria 
2400
2cm,
40 30
=

 fazendo a água ficar com 
25 5 2 22cm− + = de altura.11 
 
 
 
Resposta da questão 43: [A] 
 
 
 
Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por: 
2. 6.18 (superior e inferior) + 2.18.3 (frente e fundo) + 2.6.3 (laterais) = 360. 
 
Resposta da questão 44: [B] 
 
A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem 
completamente o paralelepípedo retângulo da figura é dada por 
mdc(8, 36, 20) 4.= Portanto, o resultado pedido é dado por 
8 36 20
2 9 5 90.
4 4 4
  =   = 
 
Resposta da questão 45: 
 Considere a figura. 
 
 
 
Do triângulo ABC, temos que ˆCBA 45=  e ˆACB 90=  implicam em 
ˆBAC 45 .=  Logo, 
AB
AC BC .
2
= = 
Como os triângulos ABC e ATE são congruentes, vem que 
AB
TE AE CD
2
= = = (CDTE é retângulo). Assim, os triângulos 
ABC e BCD também são congruentes e DT 2 AC AB 2.=  =  
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BDT, obtemos: 
2 2 2 2 22BT DT BD (AB 2) AB 3 AB .= + =  + =  
 
Portanto, aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABT, segue que: 
2 2 2
2 2 2 2
2
2
ˆBT AB AT 2 AB AT cosBAT
ˆ3 AB AB AB 2 AB cosBAT
AB 1ˆ ˆcosBAT BAT 120 .
22 AB
= + −   
 = + −  
= − = −  = 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 46: [B] 
 
 
 
 
Área do pentágono = área do triângulo maior (lado 30) menos duas vezes a 
área do triângulo menor (lado 10) 
 
3175
4
32003900
4
3.10.2
4
3.30 22
=
−
=−=A 
 
Área da superfície da caixa: A = 2. 3175 + (10 + 10 + 20 + 20 + 10).5 = 
955,5 cm2 = 0,09555 m2. 
Como o m2 de papelão custa 10 reais, o valor de cada caixa será 
aproximadamente R$ 0,95. 
 
Resposta da questão 47: [C] 
 
A única figura que representa um cesto com apenas trapézios isósceles e 
retângulos nas faces laterais é a da alternativa (C). 
 
Resposta da questão 48: [E] 
 
Sabendo que a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que 
os une, segue que a representação exibida na alternativa (E) é a única que 
ilustra corretamente a menor distância entre A e B. 
 
Resposta da questão 49: [B] 
 
Multiplicando as dimensões temos o valor de seu volume em m3. 
 
Resposta da questão 50: [D] 
 
V = volume do cubo maior – volume do cubo menor 
V = 123 - 83 
V = 1728 – 512 
V = 1216