Exercicios de matematica (165)

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68. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em (0, 0), eixo transverso de 
comprimento 8 e distância focal de 5. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \). Explicação: 
Utilizando a forma padrão da equação da hipérbole com centro na origem, eixo transverso 
a e eixo conjugado b, substituímos os valores dados na equação. 
 
69. Problema: Determine os valores de x que satisfazem a equação \( \log_2(x) = 3 \). 
 Resposta: O valor de x é \( 2^3 = 8 \). Explicação: Para resolver a equação logarítmica, 
aplicamos a exponenciação em ambos os lados. 
 
70. Problema: Calcule o produto misto entre os vetores \( \vec{u} = (1, -2, 3) \), \( \vec{v} = 
(2, 1, -1) \) e \( \vec{w} = (3, 2 
 
, 1) \). 
 Resposta: O produto misto é \( 0 \). Explicação: O produto misto entre três vetores \( 
\vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) é dado pelo determinante da matriz formada pelas 
componentes dos vetores. 
 
71. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto 
(2, 0.5). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \). Explicação: Para 
encontrar a equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e 
utilizamos a equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
72. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = 2x - 1 \) e a elipse \( 
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (1, 1) \). Explicação: Substituindo a equação da 
reta na equação da elipse, podemos encontrar o valor de x. Em seguida, substituímos o 
valor de x em uma das equações para encontrar y. 
 
73. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \sec^2(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( 2\sec(x)\tan(x) \). Explicação: Utilizando a regra do 
quociente e a identidade trigonométrica \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \) para derivar a 
função.