2 - Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES
		1
          Questão
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	3i -2j
	
	3i -2j-k
	
	i -2j+k
	
	-2j+k
	 
	3i -2j+k
	Respondido em 06/08/2021 19:18:44
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	
	-26
	
	13
	
	-30
	 
	-13
	
	-15
	Respondido em 06/08/2021 19:18:48
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	 
	V,V,F,F.
	
	V,V,V,V.
	
	V,F,V,F.
	
	V,F,V,V.
	
	F,V,F,F.
	Respondido em 06/08/2021 19:18:52
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	
	2/3 e -2
	 
	0 e 1/2
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 1/2
	
	-1 e 0
	Respondido em 06/08/2021 19:18:56
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗.
		
	
	(9, 145/3)
	 
	(-11, 145/3)
	
	(-9, 145/3)
	
	(-11, 154/3)
	
	(-11, -145/3)
	Respondido em 06/08/2021 19:19:01
	
Explicação:
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5)
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3)
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55)
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3)
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	Nenhuma das anteriores
	 
	x=3
	
	x=2
	
	x=1
	
	x=4
	Respondido em 06/08/2021 19:19:03
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗.
		
	
	(-1/2, 59/2)
	
	(-2/3, 59/2)
	
	(2/3, 59/2)
	 
	(-3/2, 59/2)
	
	(1/2, 59/2)
	Respondido em 06/08/2021 19:19:09
	
Explicação:
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 59/2)
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	
	(-3;2)
	 
	(3;2)
	
	(3;6)
	
	(-3;6)
	
	(-3;-2)
OPERAÇÕES COM VETORES
		1
          Questão
	
	
		Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é:
	
	
		
	
	(3,-2,1)
	
	(3,-2,2)
	
	(3,0,0)
	
	(3,-2,4)
	 
	(3,-2,0)
	Respondido em 06/08/2021 19:19:26
	
Explicação: Operar cada vetor respeitando a sua componente
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗.
		
	
	(2, 31/3)
	
	(-2, 31/3)
	
	(-2, -31/3)
	 
	(2, 23/3)
	
	(2, -31/3)
	Respondido em 06/08/2021 19:19:33
	
Explicação:
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3)
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria:
		
	
	O método de ortogonais concorrentes.
	
	Produto escalar dos vetores u e v.
	
	O método de Grand Schimidt.
	 
	Produto vetorial dos vetores u e v.
	
	O método de ortonormalização.
	Respondido em 06/08/2021 19:19:37
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	
	20,8
	
	16,4
	
	19,4
	 
	22,4
	
	45
	Respondido em 06/08/2021 19:19:42
	
Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Determine o vetor →ABA→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2)
		
	
	(-1, 0, 1)
	 
	(1, 3, 5)
	
	(1, 2, 0)
	
	(1, 0, 5)
	
	(0, 1, 2)
	Respondido em 06/08/2021 19:19:44
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	O Produto Misto dos Vetores
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→ku→=2i→+j→−2k→,v→=3i→−j→,w→=4i→+j→−3k→ é:
 
		
	 
	1
	
	-1
	
	-2
	
	4
	
	-3
	Respondido em 06/08/2021 19:19:50
	
Explicação:
[u,v,w] = ∣∣
∣∣21−23−1041−3∣∣
∣∣|21−23−1041−3|
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é:
 
		
	
	6i -8j
	
	6i + 8j
	 
	8i - 6j
	
	-6i + 8j
	
	10i - 3j
	Respondido em 06/08/2021 19:19:55
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
		
	
	3
	
	-3
	
	4
	 
	-4
	
	2
	Respondido em 06/08/2021 19:19:57
	
Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais
REPRESENTAÇÕES DE VETORES NO R2 E R3
		1
          Questão
	
	
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	Respondido em 06/08/2021 19:20:10
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	5/8
	 
	-3/2
	
	3/8
	
	2/8
	
	-5/8
	Respondido em 06/08/2021 19:20:12
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	6
	 
	-6
	
	-4
	
	4
	
	0
	Respondido em 06/08/2021 19:20:17
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor:
		
	
	(C) x = 2i - 4j
	 
	(D) x = 2i - 4k
	
	(E) x = 2i + 0k - 4j
	
	(B) x = 2i - 4
	
	(A) x = - 2i
	Respondido em 06/08/2021 19:20:19
	
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	
	Entre 0 e 14 N.
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	Entre -8 e 14 N.
	
	Entre -14 e 14 N.
	 
	Entre 2 e 14 N.
	Respondido em 06/08/2021 19:20:24
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-3
	
	-2
	
	3
	 
	2
	
	4
	Respondido em 06/08/2021 19:20:27
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2), qual o valor de a
		
	
	0
	
	2/3
	 
	1/3
	
	1
	
	-1
	Respondido em 06/08/2021 19:20:31
	
Explicação:
u = v / |v|
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um partede um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	
	(-90, -120, -1)
	 
	(90, 120, 1)
	
	(0, 120, 0 )
	
	( 120, 0, 0 )
	
	(0, 0, 0 )
	Respondido em 06/08/2021 19:20:36
	
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B.
PRODUTO DE VETORES
		1
          Questão
	
	
	Dados os vetores u ( -2, x ) e v ( -1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-2
	 
	2
	
	-4
	
	4
	
	-1
	Respondido em 06/08/2021 19:20:49
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:  u.v=0 => (-2,x).(-1,-1)=0 => 2-x=0 => x=2.
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Dado os vetores A (1,2,3) e B (4,5,6), calcule o produto escalar A.B
		
	
	30
	
	-33
	
	-20
	 
	32
	
	25
	Respondido em 06/08/2021 19:20:53
	
Explicação:
A.B=(1,2,3).(4,5,6)=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Sejam os vetores →uu→ = (1,1,0), →vv→ = (2,0,1) e →w1w1→ = 3→uu→-2→vv→, →w2w2→= →uu→ + 3→vv→e →w3w3→= →ii→+→jj→-2→kk→. Determinar o volume do paralelepípedo definido por →w1w1→, →w2w2→e →w3w3→.
		
	
	20 unidades de volume
	
	-44 unidades de volume
	
	60 unidades de volume
	 
	44 unidades de volume
	
	55 unidades de volume
	Respondido em 06/08/2021 19:20:57
	
Explicação:
Calcular |[w1, w2, w3]|
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4) qual o valor aproximado do ângulo entre eles
		
	
	140,8º
	 
	157,5º
	
	110,3º
	
	120º
	
	145º
	Respondido em 06/08/2021 19:20:59
	
Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado o vetor u = (1, -2, 3) e o vetor v = (4, 5, 2).
		
	 
	0
	
	2
	
	1
	
	3
	
	-2
	Respondido em 06/08/2021 19:21:05
	
Explicação: o produto entre os vetores u.v = 1.(4) - 2.(5) + 3.(2) = 4 -10 + 6 = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo o vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Qual o angulo formado entre os vetores u = (1,0) e v=(0,3)?
		
	 
	90º
	
	120º
	
	60º
	
	30º
	
	0º
	Respondido em 06/08/2021 19:21:09
	
Explicação:
|u.v| = |u|.|v|.cosØ, onde Ø é o menor angulo formado pelos vetores u e v
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Dados os vetores u =2i + j +ak , v =(a+2)i -5j +2k e w =2ai +8j +ak , determine o maior valor de a para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u .
		
	
	4
	
	6
	 
	3
	
	5
	
	2
	Respondido em 06/08/2021 19:21:14
	
Explicação:
Fazer u + v = (a+4, -4, a+2); w - u = (2a-2, 7, 0), multiplicá-los e igualar o resultado a zero
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Dados os vetores u= -i -2j -2k e v= -4i -3j-xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-8
	
	-7
	
	-6
	
	-9
	 
	-5
	Respondido em 06/08/2021 19:21:18
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Então temos:
u=(-1,-2,-2) e v=(-4,-3,-x) => u.v=0 => 4+6+2x=0 => x=-5.
RETA
		1
          Questão
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
		
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	 
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	Respondido em 06/08/2021 19:23:27
	
Explicação:
Temos :
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2)  => x=5+2t , y=2+2t e z=2t
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
		
	
	-70x + 19y + 123 = 0
 
	 
	-69x + 20y + 123 = 0    
 
	
	-68x + 19y + 122 = 0
 
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
	70x - 21y - 124 = 0
 
	Respondido em 06/08/2021 19:23:31
	
Explicação:
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 2) 
		
	
	x= 1+3t y=2t z=1+2t
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
	x= 1+3t y=2 z=t
	 
	x= 1+3t y=2 z=1+2t
	
	x= 1 y=2 z=1+2t
	Respondido em 06/08/2021 19:23:35
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares.
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	X= 2+t y = 2 z = t
	
	X= -2+t y = 2 z = t
	 
	X= -2+t y = -2 z = t
	
	X= -2+t y = -2 z = -t
	
	X= 2+t y = -2 z = t
	Respondido em 06/08/2021 19:23:40
	
Explicação:
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t.
Temos que:  (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão:  x=-2+t , y-2 ,  z=t 
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B?
		
	
	8V5
	
	V5
	
	3V5
	 
	2V5
	
	4V5
	Respondido em 06/08/2021 19:23:44
	
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6)
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4 + 16 = V20 = 2V5
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (2,-3) e tem direção do vetor v = (5,4).
		
	
	Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t
	 
	Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t
	
	Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t
	
	Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t
	
	Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t
	Respondido em 06/08/2021 19:23:48
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -1+t y = t z = -1+t
	
	X= -1+t y = t z = 1-t
	 
	X= -1+t y = t z = 1+t
	
	X= -1+t y = -t z = 1+t
	
	X= 1+t y = t z = 1+t
	Respondido em 06/08/2021 19:23:50
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e  z=1+t
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5   e    s: x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                         z=-3x                 y=4-2t
                                                                                                   z=5t
		
	 
	-15/2
	
	7/2
	
	-9/2
	
	13/2
	
	-11/2
	Respondido em 06/08/2021 19:23:55
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente  U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5).
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter:  u.v= 0, daí:
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2
PLANO
		1
          Questão
	
	
	A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é:
		
	
	3x + y + 2z + 2 = 0
	 
	2x - y + 3z + 2 = 0
	
	2x - y + 3z - 2 = 0
	
	2x - y + 3z - 6 = 0
	
	3x - y + 2z + 2 = 0
	Respondido em 06/08/2021 19:32:36
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	 Qual a equação do plano pi  que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor normal.
 
		
	
	2x+y-3z-8=0
	 
	3x+2y-4z+8=0
	
	2x-y+3z+8=0
	
	 3x+2y-4z-8=0
	
	2x-y+3z-8=0
	Respondido em 06/08/2021 19:32:40
	
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal.
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a:
		
	
	0
	 
	32
	
	-28
	
	48
	
	34
	Respondido em 06/08/2021 19:32:44
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k?
		
	 
	13
	
	-1
	
	0
	Respondido em 06/08/2021 19:32:48
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	O  ângulo formado entre os planos  π1:2x−y+z−1=0π1:2x−y+z−1=0 e π2:x+z+3=0π2:x+z+3=0 mede: 
		
	
	90°
	 
	30°
	
	60°
	
	45°
	
	180°
	Respondido em 06/08/2021 19:32:50
	
Explicação:
Temos que:  π1:2x−y+z−1=0   e   π2:x+z+3=0
Então:π1=(2,-1,1)
              π2=(1,0,1) . Daí: π1.π2  = 2+1=3
!π1! = V2²+(-1)²+1² = V6
!π2!  = V1²+0²+1¹ =  V2
Daí: cos A = 3 / V6.V2 = 3 / V12 =  3 / 2V3  =  3V3 / 6  = V3 / 2  =>  A=30° 
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares?
		
	
	m=2
	 
	m=3
	
	m=4
	
	m=3/2
	
	m=3/4
	Respondido em 06/08/2021 19:32:55
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é:
		
	
	4
	
	3,52
	 
	2
	
	0
	
	2,83
	Respondido em 06/08/2021 19:32:57
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0.           
		
	
	x=3x=3
	
	x=35x=35
	
	x=710x=710
	
	x=103x=103
	 
	x=310x=310
	Respondido em 06/08/2021 19:33:20
	
Explicação:
Plano paralelo a 2: x + k = 0
Reta AB
x = y = z = t
Interseção da reta AB com 1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10
DISTÂNCIAS
		1
          Questão
	
	
	Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a:
		
	
	1
	
	2
	
	4
	 
	0
	
	3
	Respondido em 06/08/2021 19:33:37
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC?
		
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 4i + 3j
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 4i - 3j
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i - 1j
	Respondido em 06/08/2021 19:33:41
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 = 0.
		
	
	o centro é (4, 2) e o raio é 2.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 2.
	
	o centro é (3, 2) e o raio é 4.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 3.
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 3.
	Respondido em 06/08/2021 19:33:44
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20.
		
	
	r = 4 e C(-1, -2)
	
	r = 3 e C(0,1)
	 
	r = 5 e C(1,2)
	
	r = 4 e C(-2,-4)
	
	r = 4 e C(2,4)
	Respondido em 06/08/2021 19:33:49
	
Explicação:
Da expressão dada, completa-se o quadrado : (x−1)²−1+(y−2)²−4=20(x−1)²−1+(y−2)²−4=20
 (x−1)²+(y−2)²=25(x−1)²+(y−2)²=25
Logo, da expressão acima, teremos:
C(1,2);r=5C(1,2);r=5 
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3.
		
	
	um par de retas concorrentes.
	 
	uma circunferência de raio 5
	
	umpar de retas paralelas
	
	uma elipse de centro na origem
	
	uma parábola de vértice (3,2)
	Respondido em 06/08/2021 19:33:53
	
Explicação:
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retangulo de catetos 3 e 4, e a distancia dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa desse triangulo
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de:
		
	
	Um triângulo escaleno reto
	
	Um triângulo equilátero
	
	Um triângulo retângulo
	 
	Um triângulo isósceles
	
	Um triângulo escaleno
	Respondido em 06/08/2021 19:33:58
	
Explicação:
Vetores no plano - distância entre pontos no plano.
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
		
	 
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	Respondido em 06/08/2021 19:34:02
	
Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
 
		
	
	AM=2√3AM=23
	 
	AM=2√2AM=22
	
	AM=2AM=2
	
	AM=3√2AM=32
	
	AM=√2AM=2
	Respondido em 06/08/2021 19:34:07
	
Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
CÔNICAS – PARÁBOLAS
		1
          Questão
	
	
	Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0
		
	
	x = y
	
	x = 4
	
	x = y2 + 3y + 4 
	
	x = y2
	 
	x = (-y2 + 4y + 3) / 2
	Respondido em 06/08/2021 19:34:44
	
Explicação:
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos d(X,F)=d(X,P)
=
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em .
		
	
	y = 4x²
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9
	
	y = -x2 / 6 - 97 / 54
	 
	y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54
	
	y = -x2 / 6
	Respondido em 06/08/2021 19:34:51
	
Explicação:
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	Respondido em 06/08/2021 19:34:57
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
		
	
	(13, -9)
	
	(13,9)
	
	(13/2, -8)
	 
	(13/2, -9)
	
	(13/2, 8)
	Respondido em 06/08/2021 19:35:01
	
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
		
	
	(1, -4, 2)
	
	(-1, 2, 1)
	
	(1, 3, -1)
	
	(-1, 3, 1)
	 
	(-2, 1, 1)
	Respondido em 06/08/2021 19:35:05
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2
		
	 
	x = y2 / 8
	
	x = y2 / 32
	
	x = y2 / 2
	
	x = y2 / 4
	
	x = y2 / 16
	Respondido em 06/08/2021 19:35:09
	
Explicação:Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
CÔNICAS – ELIPSE
		1
          Questão
	
	
	Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0.
		
	
	(3,-1) e 5
	 
	(2,-3) e 4
	
	(3,4) e 6
	
	(3,-2) e 4
	
	(-1,3) e 5
	Respondido em 06/08/2021 19:35:23
	
Explicação:
Temos que: -2a=-4 -> a=2
                   -2b=6 -> b=-3   , daí: o centro é O(2,-3)
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 ->  -r²=-16 -> r=4
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Chama-se Produto Escalar de dois vetores   →uu→ = x1→ii→ + y1→jj→+ z1→kk→  e  →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ z2→kk→  denotado por  →uu→.→vv→ :
		
	
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = x1x2→ii→  + y1y2 →jj→  + z1z2 →kk→
	
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = (x1 + x2)→ii→ + (y1 + y2 )→jj→ + (z1 + z2)→kk→
	 
	ao número real k, dado por :  k = x1x2 + y1y2  + z1z2
	
	ao número real k, dado por:  k = x+1x−1x+1x-1 = y+1y−1y+1y-1= z+1z−1z+1z-1
	
	ao número real k dado por  k = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
	Respondido em 06/08/2021 19:35:28
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	
	-9
	
	-15
	
	15
	
	NRA
	 
	9
	Respondido em 06/08/2021 19:35:32
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente,
		
	
	√3232 e  1212
	
	1/2  e  √33
	 
	2√323  e  √3232
	
	3 e 1/2
	
	√33  e  √3232
	Respondido em 06/08/2021 19:35:37
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Calcule a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0.
		
	 
	18 pi
	
	8 pi
	
	12 pi
	
	16 pi
	
	s.r
	Respondido em 06/08/2021 19:35:42
	
Explicação:
Devemos determinar o raio da circunferência para podermos definir sua área. Temos então, utilizando as relações que envolvem a fórmula geral da circunferência:
-2a=6 -> a=-3
-2b=-8 -> b=4
a²+b²-r²=7 -> (-3)²+4²-r²=7 -> 9+16-r²=7 -> r²=18.
Logo, a área da circunferência será: S= pi r² -> S=18pi
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais
		
	
	2/4
	
	5
	
	2
	 
	7/4
	
	1
	Respondido em 06/08/2021 19:35:46
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é:
		
	
	(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36
	 
	(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	(A) (x - 2)^2 = 3
	
	(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3
	
	(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36
	Respondido em 06/08/2021 19:35:51
	
Explicação:
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
		
	
	11
	 
	10
	
	12/13
	
	13/12
	
	22
CÔNICAS - HIPÉRBOLE
		1
          Questão
	
	
	Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
		
	 
	13 unidades de volume
	
	15 unidades de volume
	
	17 unidades de volume
	
	14 unidades de volume
	
	16 unidades de volume
	Respondido em 06/08/2021 19:37:23
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
		
	
	(-2,-1)
	
	(2,1)
	
	(-2,1)
	 
	(2, -1)
	
	(1,2)
	Respondido em 06/08/2021 19:37:28
	
Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
		
	 
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	Respondido em 06/08/2021 19:37:33
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
		
	
	20
	
	20 x(2)1/2
	 
	10  x (2) 1/2 
	
	10
	
	5x (2)1/2
	Respondido em 06/08/2021 19:37:37
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
		
	
	vértice e eixo
	
	centro e diretriz
	
	centro e eixo
	 
	foco e diretriz
	
	foco e eixo
	Respondido em 06/08/2021 19:37:40
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
		
	
	-5x-3y+z+7=0
	
	-9x-8y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+=0
	 
	-9x-3y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+9=0