Cálculo e Integrais

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – CÁLCULO IV – 2018-1
Questão 1 [2,0 pts]
Calcule a integral dupla
∫∫
D
f (x, y) dx dy para a função f (x, y) = ex2
sobre a região D descrita pelas
desigualdades 0 ≤ y ≤ 1 e 3y ≤ x ≤ 3.
x
y
D
3
1 (3, 1)
x=3y⇒y= x
3
Fig. 1: Região D.
Solução:
O esboço da região D é mostrado na Figura 1.
Observemos que a ordem de integração dx dy não é ade-
quada pois a integral
∫
ex2
dx não pode ser calculada por
métodos conhecidos no cálculo integral. Portanto, devemos
descrever D como uma região do tipo I:
D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤
x
3
.
Usando o teorema de Fubini, temos:∫∫
D
ex2
dx dy =
∫ 3
0
∫ x/3
0
ex2
dy dx =
∫ 3
0
ex2 x
3
dx.
Com a substituição u = x2, temos du = 2x dx, donde x dx =
du
2
.
Para x = 0, temos u = 0 e para x = 3, temos u = 9. Assim,∫ 3
0
ex2 x
3
dx =
1
3
∫ 9
0
eu du
2
=
1
6
∫ 9
0
eu du =
1
6
[
eu
]9
0
=
1
6
(e9 − e0) =
1
6
(e9 − 1)
e, portanto, ∫∫
D
ex2
dx dy =
1
6
(e9 − 1).
x
y
D
21−2 −1
Fig. 2: Região D e fronteira C.
Questão 2 [2,0 pts]
Calcule
∮
C
−y3 dx + x3 dy, onde C é a fronteira da região
semianular D contida no semiplano superior entre as cir-
cunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, orientada no sentido
anti-horário conforme a figura ao lado.
Solução:
Como o campo ~F = (P,Q) = (−y3, x3) é de classe C1 em
R2 e C = ∂D está orientada positivamente, então podemos
aplicar o teorema de Green. Temos, então:�
C
−y3 dx + x3 dy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
(3x2 + 3y2) dx dy = 3
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy.
Consideremos a transformação em coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ. Então
(x2 + y2) dx dy = r2 · r dr dθ = r3 dr dθ.
Note que a região D foi transformada na região
Drθ : 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
no plano rθ.
Cálculo IV AP3 2
Assim,
3
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy = 3
∫∫
Drθ
r3 dr dθ = 3
∫ 2
1
r3
∫ π
0
dθ dr
= 3π
[
r4
4
]2
1
=
3π
4
(16 − 1) =
45π
4
.
Quer dizer, �
C
−y3 dx + x3 dy =
45π
4
.
Questão 3 [2,0 pts]
Mostre que o campo vetorial ~F(x, y) = x(x2+y2)~ı +y(x2+y2)~ é conservativo e determine uma função
potencial desse campo.
Solução:
O campo ~F é de classe C1 no conjunto simplesmente conexo R2. Como P = x(x2 + y2) = x3 + xy2 e
Q = y(x2 + y2) = x2y + y3, temos que:
∂Q
∂x
= 2xy e
∂P
∂y
= 2xy.
Assim,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0.
Pelo teorema das equivalências, segue que ~F é conservativo. Uma função potencial de ~F é encontrada
resolvendo o sistema de equações diferenciais:
∂ϕ
∂x
= P
∂ϕ
∂y
= Q
ou

∂ϕ
∂x
= x3 + xy2 (1)
∂ϕ
∂y
= x2y + y3 (2)
De (1), temos
ϕ(x, y) =
x4
4
+
x2
2
y2 + f (y) (3)
onde f (y) só depende de y.
De (2) e (3), temos
x2y + f ′(y) = x2y + y3,
ou f ′(y) = y3, donde
f (y) =
y4
4
+C
onde C é uma constante.
Logo, encontramos a faḿılia de funções potenciais:
ϕ(x, y) =
x4
4
+
x2y2
2
+
y4
4
+C.
Questão 4 [2,0 pts]
Calcule
∫∫
S
(z− x+ xy2 − 1) dS , onde S é a superf́ıcie parametrizada por ~r(u, v) = u~ı + v~ + (u+ 1)~k
com (u, v) ∈ D : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2, sabendo que dS = ‖~ru × ~rv‖ du dv.
Solução:
Temos ~ru = (1, 0, 1), ~rv = (0, 1, 0),
~ru × ~rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~ı ~ ~k
1 0 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 0, 1) e ‖~ru × ~rv‖ =
√
1 + 0 + 1 =
√
2.
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Cálculo IV AP3 3
Como dS = ‖~ru × ~rv‖ du dv, então dS =
√
2 du dv.
Então, ∫∫
S
(z − x + xy2 − 1) dS =
∫∫
D
(u + 1 − u + uv2 − 1)
√
2 du dv
=
√
2
∫∫
D
uv2 du dv =
√
2
∫ 1
0
u
∫ 2
0
v2 dv du
=
√
2
∫ 1
0
u
[
v3
3
]2
0
du =
8
√
2
3
∫ 1
0
u du
=
8
√
2
3
[
u2
2
]1
0
=
4
√
2
3
.
Ou seja, ∫∫
S
(z − x + xy2 − 1) dS =
4
√
2
3
.
Questão 5 [2,0 pts]
Aplique o teorema de Gauss para obter o fluxo do campo ~F(x, y, z) = (xy2+cos z)~ı +(x2y+sen z)~ +ey~k ,
onde S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4, orientada
com ~n exterior a W.
x
y
z
W
S =∂W
4
~n
~n
2
2
z= x2+y2
z=4
Fig. 3: Sólido W e superf́ıcie S = ∂W.
Solução:
O esboço da superf́ıcie S = ∂W é mostrado na Figura 3.
Notemos que ~F = (P,Q,R) = (xy2 + cos z, x2y + sen z, ey)
é de classe C1 em R3. Como a superf́ıcie S = ∂W está
orientada positivamente, então podemos aplicar o teorema
de Gauss: ∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫∫
W
div ~F dx dy dz
onde
div ~F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= y2 + x2,
donde ∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫∫
W
(x2 + y2) dx dy dz.
Consideremos a transformação
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z.
Assim,
(x2 + y2) dx dy dz = r2 · r dr dθ dz = r3 dr dθ dz
e
Wrθz : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 4.
Logo, ∫∫∫
W
(x2 + y2) dx dy dz =
∫∫∫
Wrθz
r3 dr dθ dz =
∫ 2
0
r3
∫ 4
r2
∫ 2π
0
dθ dz dr
= 2π
∫ 2
0
r3(4 − r2) dr = 2π
∫ 2
0
(4r3 − r5) dr
= 2π
[
r4 −
r6
6
]2
0
= 2π
(
16 −
32
3
)
= 2π
(
48 − 32
3
)
=
32π
3
.
Portanto, ∫∫
S
~F · ~n dS =
32π
3
.
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Cálculo IV AP3 4
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