2012 1 AD2 Cálculo IV GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD2 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Sa˜o dados dois campos escalares u e v, definidos em um aberto contendo
D = {(x, y) ∈ R2 |x2+y2 ≤ 1} e que teˆm derivadas parciais cont´ınuas. Defina dois campos vetoriais
~F e ~G por ~F (x, y) = v(x, y)~i + u(x, y)~j e G(x, y) =
(
∂u
∂x
− ∂u
∂y
)
~i +
(
∂v
∂x
− ∂v
∂y
)
~j. Encontre o
valor de
∫∫
D
~F · ~Gdx dy, sabendo que, na fronteira de D, u(x, y) = 1 e v(x, y) = y.
Soluc¸a˜o: Temos
~F · ~G = (v, u) ·
(
∂u
∂x
− ∂u
∂y
,
∂v
∂x
− ∂v
∂y
)
= v
∂u
∂x
− v∂u
∂y
+ u
∂v
∂x
− u∂v
∂y
=
(
v
∂u
∂x
+ u
∂v
∂x
)
−
(
v
∂u
∂y
+ u
∂v
∂y
)
=
∂
∂x
(uv)− ∂
∂y
(uv).
Assim, ∫∫
D
~F · ~Gdx dy =
∫∫
D
[
∂
∂x
(uv)− ∂
∂y
(uv)
]
dx dy.
Enta˜o, pelo teorema de Green, temos∫∫
D
[
∂
∂x
(uv)− ∂
∂y
(uv)
]
dx dy =
∮
∂D+
(uv)dx+ (uv)dy.
Como u = u(x, y) = 1 e v = v(x, y) = y em ∂D, enta˜o∫∫
D
[
∂
∂x
(uv)− ∂
∂y
(uv)
]
dx dy =
∮
∂D+
y dx+ y dy,
ou ∫∫
D
~F · ~Gdx dy =
∮
∂D+
y dx+ y dy.
Mas, aplicando o teorema de Green para a u´ltima integral, temos∮
∂D+
y dx+ y dy =
∫∫
D
(
∂y
∂x
− ∂y
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
(0− 1)dx dy = −A(D) = −pi.
Logo, ∫∫
D
~F · ~Gdx dy = −pi.
Ca´lculo IV – AD2 AD2 – Tutor 2
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Uma part´ıcula se move ao longo da curva lisa y = f(x) de (a, f(a)) a
(b, f(b)). A forc¸a que move a part´ıcula tem magnitude constante k e sempre aponta no sentido
contra´rio ao da origem. Mostre que o trabalho realizado pela forc¸a e´
W =
∫
C
~F · d~r = k [(b2 + (f(b))2)1/2 − (a2 + (f(a))2)1/2] .
Soluc¸a˜o: A forc¸a ~F aplicada em P = (x, y) e´ tal que ‖~F (x, y)‖ = k. Como ~F (x, y) tem a mesma
direc¸a˜o e sentido do vetor ~OP = (x, y), enta˜o
~F (x, y) = k
(x, y)√
x2 + y2
,
que e´ de classe C1 em U = R2 − {(0, 0)}.
O trabalho W e´ dado por W =
∫
C
~F · d~r, onde C e´ parametrizada por
C : ~r(t) = (t, f(t)), a ≤ t ≤ b.
Donde ~r′(t) = (1, f ′(t)). Assim,
W =
∫
C
~F · d~r =
∫ b
a
~F (~r(t)) · ~r′(t) dt
=
∫ b
a
k
(t, f(t))√
t2 + (f(t))2
· (1, f ′(t)) dt
=
∫ b
a
k
t+ f(t) f ′(t)√
t2 + (f(t))2
dt.
Fazendo u = t2 + (f(t))2, temos du = (2t+ 2f(t)f ′(t))dt, donde dt =
du
2
.
Para t = a, temos u = a2 + (f(a))2 e para t = b, temos u = b2 + (f(b))2. Logo,
W =
k
2
∫ b2+(f(b))2
a2+(f(a))2
u−1/2du
=
k
2
2
[
u1/2
]b2+(f(b))2
a2+(f(a))2
= k
[(
b2 + (f(b))2
)1/2 − (a2 + (f(a))2)1/2] ,
como quer´ıamos mostrar.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Uma chapa fina tem a forma de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida girando
a curva C =
{
(0, y, z) ∈ R3 | z = ln y , 1 ≤ y ≤ √8}, em torno do eixo z. Calcule a massa de S,
sabendo que a densidade em cada ponto de S e´ proporcional a` distaˆncia do ponto ao eixo z.
Soluc¸a˜o: Uma parametrizac¸a˜o de C e´ dada por
x(t) = 0, y(t) = t, z(t) = ln t, 1 ≤ t ≤ √8.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD2 AD2 – Tutor 3
Assim, uma circunfereˆncia de S transversal ao eixo z, tem raio y(t) = t e altura z(t) = ln t. Logo,
uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por
S : ~r(t, θ) = (y(t) cos θ, y(t) sen θ, z(t)) = (t cos θ, t sen θ, ln t),
com (t, θ) ∈ D :
{
1 ≤ t ≤ √8
0 ≤ θ ≤ 2pi.
A massa M de S e´ dada por
M =
∫∫
S
δ(x, y, z) dS,
onde δ(x, y, z) = k
√
x2 + y2, k > 0.
Enta˜o,
M = k
∫∫
S
√
x2 + y2 dS,
onde dS = ‖~rt × ~rθ‖ dt dθ.
Mas,
~rt × ~rθ =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
cos θ sen θ
1
t
t sen θ t cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣ = (− cos θ,− sen θ, t),
e
‖~rt × ~rθ‖ =
√
(− cos θ)2 + (− sen θ)2 + t2 =
√
1 + t2.
Logo,
M = k
∫∫
D
√
t2 cos2 θ + t2 sen2 θ
√
1 + t2 dt dθ
= k
∫∫
D
t(1 + t2)1/2 dt dθ =
k
2
∫ √8
1
(1 + t2)1/22t
∫ 2pi
0
dθ dt
=
k
2
· 2pi · 2
3
[
(1 + t2)3/2
]√8
1
=
2kpi
3
(
93/2 − 23/2)
=
2kpi
3
(27− 2
√
2) u.m.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Seja a superf´ıcie S = S1 ∪ S2, onde S1 e S2 sa˜o dadas por:
S1 : y = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 e S2 : z = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) = (−3x4, 2x+3y−2xy2z4, yz3−z2+1) atrave´s de S, indicando
a orientac¸a˜o escolhida para S.
Soluc¸a˜o: Na figura 1 mostramos o esboc¸o de S = S1 ∪ S2 e sua orientac¸a˜o.
Enta˜o, ∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫
S1
~F · ~n1 dS +
∫∫
S2
~F · ~n2 dS
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Ca´lculo IV – AD2 AD2 – Tutor 4
Figura 1: Esboc¸o de S.
Ca´lculo de
∫∫
S1
~F · ~n1 dS
Temos S1 : y = 0, (x, z) ∈ D1 :
{
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1 , ~n1 =
~j e, sendo
∂y
∂x
=
∂y
∂z
= 0
dS =
√
1 +
(
∂y
∂x
)2
+
(
∂y
∂z
)2
dx dz = dx dz.
Enta˜o, ∫∫
S1
~F · ~n1 dS =
∫∫
D1
(−3x4, 2x+ 0− 0, 0− z2 + 1) · (0, 1, 0) dx dz
=
∫∫
D1
2x dx dz =
∫ 1
0
2x
∫ 1
0
dz dx =
[
x2
]1
0
= 1.
Ca´lculo de
∫∫
S2
~F · ~n2 dS
Temos S2 : z = 0, (x, z) ∈ D2 :
{
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 , ~n2 =
~K e, sendo
∂z
∂x
=
∂z
∂y
= 0
dS =
√
1 +
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
dx dy = dx dy.
Enta˜o, ∫∫
S2
~F · ~n2 dS =
∫∫
D2
(−3x4, 2x+ 3y − 0, 0− 0 + 1) · (0, 0, 1) dx dy
=
∫∫
D2
dx dy = A(D2) = 1.
Logo, substituindo acima, temos ∫∫
S
~F · ~n dS = 1 + 1 = 2.
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