AP1 - CIV - 2019 2 (Gabarito)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – CÁLCULO IV – 2019-2
Questão 1 [2,0 pts] Encontre a massa de uma placa fina limitada pelas retas y = x, y = −x e
y = 1, se a densidade da placa no ponto (x, y) é δ(x, y) = y + 1.
x
y
D
x=yx=−y
1−1
1
Fig. 1: Região D, Questão 1.
Solução: O esboço da placa D é mostrado na Fig. 1.
A massa M da placa D é dada por:
M =
∫∫
D
δ(x, y) dx dy =
∫∫
D
(y + 1) dx dy.
Descrevendo D como uma região do tipo II, temos:
D : 0 ≤ y ≤ 1, −y ≤ x ≤ y.
Assim,
M =
∫ 1
0
∫ y
−y
(y + 1) dx dy =
∫ 1
0
(y + 1) [y − (−y)] dy
=
∫ 1
0
(y + 1)2y dy = 2
∫ 1
0
(y2 + y) dy
= 2
[
y3
3 +
y2
2
]1
0
= 2
(1
3 +
1
2
)
= 2 · 56 =
5
3 .
Ou seja, M = 53 u.m.
Questão 2 [2,0 pts]: O valor médio de uma função f(x, y) em uma região D é dado por
m(f,D) = 1
A(D)
∫∫
D
f(x, y) dx dy,
onde A(D) é a área da região D.
Consideremos a região D limitada pelo quarto da circunferência x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante
e a função f(x, y) =
√
1− x2 − y2. Calcule o valor médio de f(x, y) em D.
x
y
D
1
1 x2+y2 =1
Fig. 2: Região D, Questão 2.
Solução: Na Fig. 2 mostramos o esboço da região D.
O valor médio de f(x, y) =
√
1− x2 − y2 em D é dado por:
m(f,D) = 1
A(D)
∫∫
D
√
1− x2 − y2 dx dy,
onde A(D) = 14(π 1
2) = π4 .
Usemos coordenadas polares para calcular a integral dupla.
Temos: √
1− x2 − y2 dx dy =
√
1− r2 r dr dθ
e
Drθ : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
π
2 .
Portanto,
Cálculo IV AP1 2
∫∫
D
√
1− x2 − y2 dx dy =
∫∫
Drθ
√
1− r2 r dr dθ
=
∫ 1
0
√
1− r2 r
∫ π/2
0
dθ dr
= π2
∫ 1
0
(1− r2)1/2 r dr.
Fazendo u = 1 − r2, temos du = −2r dr, donde r dr = −du2 . Para r = 0, temos u = 1 e para
r = 1, temos u = 0.
Logo, ∫∫
D
√
1− x2 − y2 dx dy = π2
∫ 0
1
u1/2
(
−du2
)
= −π4
∫ 0
1
u1/2 du
= −π4 ·
2
3
[
u3/2
]0
1
= −π6 (0− 1) =
π
6 .
Assim,
m(f,D) = 1
π/4 ·
π
6 =
4
6 =
2
3 .
Quer dizer, m(f,D) = 23 .
Questão 3 [2,0 pts]: Usando uma integral tripla, calcule o volume do sólido W que se encontra no
interior do cilndro x2 + y2 = 1, limitado inferiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e superiormente
pelo paraboloide z = 4− x2 − y2.
x
y
z
W
z=x2+y2
z=4−x2−y2
1
2
3
4
Fig. 3: Sólido W , Questão 3.
Solução: O esboço do sólido W é mostrado na Fig. 3.
O volume do sólido W é dado por:
V (W ) =
∫∫∫
W
dx dy dz.
Usemos coordenadas ciĺındricas para calcular a integral tripla.
Temos:
dx dy dz = r dr dθ dz
e
Wrθz : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 4− r2.
Assim,
V (W ) =
∫∫∫
Wrθz
r dr dθ dz =
∫ 1
0
r
∫ 4−r2
r2
∫ 2π
0
dθ dz dr
= 2π
∫ 1
0
r(4− r2 − r2) dr = 2π
∫ 1
0
r(4− 2r2) dr
= 2π
∫ 1
0
(4r − 2r3) dr = 2π
[
2r2 − r
4
2
]1
0
= 2π
(
2− 12
)
= 2π · 32 = 3π.
Ou seja, V (W ) = 3π u.v.
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Cálculo IV AP1 3
Questão 4 [2,0 pts]: A coordenada z do centroide (x, y, z) de um sólido W é dada por:
z =
∫∫∫
W
z dV
V (W ) ,
onde V (W ) é o volume do sólido W .
Consideremos o sólido W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0}.
Encontre a coordenada z do centroide (x, y, z) do sólido W .
Solução: O esboço do sólido W é mostrado na Fig. 4.
x
y
z
W
1
1
1
Fig. 4: Sólido W , Questão 4.
Observemos que
V (W ) = 12
(4
3π1
3
)
= 23π u.v.
Usemos coordenadas esféricas para calcular a integral tripla da expressão de z. Temos:
z dV = ρ cosφ ρ2 senφ dρ dφ dθ = ρ3 cosφ senφ dρ dφ dθ
e Wρφθ é dado por:
Wρφθ : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
π
2 , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Logo, ∫∫∫
W
z dV =
∫∫∫
Wρφθ
ρ3 cosφ senφ dρ dφ dθ
=
∫ 1
0
ρ3
∫ π/2
0
cosφ senφ
∫ 2π
0
dθ dφ dρ
= 2π
∫ 1
0
ρ3
[
sen2 φ
2
]π/2
0
dρ = 2π
∫ 1
0
ρ3 · 12 dρ
= π
[
ρ4
4
]1
0
= π4 .
Assim,
z = π/42π/3 =
π
4 ·
3
2π =
3
8 .
Ou seja, a coordenada z do centroide de W é igual a z = 38 .
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Cálculo IV AP1 4
Questão 5 [2,0 pts]: Seja C a parte da curva interseção das superf́ıcies x2 + y2 + z2 = a2 e
z =
√
3x, situada no primeiro octante. Determine o valor de a (a > 0) de modo que
∫
C
y ds = 4.
Solução: De x2 + y2 + z2 = a2 e z =
√
3x, temos x2 + y2 + 3x2 = a2 ou 4x2 + y2 = a2 donde
x2
a2/4 +
y2
a2
= 1. Como C está no primeiro octante, então a projeção de C no plano xy é o arco da
elipse de equação
x2
a2/4 +
y2
a2
= 1 situado no primeiro quadrante.
Assim , uma parametrização da projeção de C no plano xy é dada por x = a2 cos t, y = a sen t,
t ∈ [0, π/2].
Para encontrar uma parametrização para a curva C, utilizamos a equação do plano z =
√
3x. Temos
então que:
~r(t) =
(
a
2 cos t, a sen t,
a
√
3
2 cos t
)
, t ∈ [0, π/2]
é uma parametrização para C.
Temos
~r ′(t) =
(
−a2 sen t, a cos t,−
a
√
3
2 sen t
)
,
e
‖~r ′(t)‖ =
√
a2
4 sen
2 t+ a2 cos2 t+ 3a
2
4 sen
2 t =
√
a2 sen2 t+ a2 cos2 t = a.
Como ds = ‖~r ′(t)‖ dt, então ds = a dt.
Assim, ∫
C
y ds =
∫ π/2
0
a sen t a dt = a2
[
− cos t
]π/2
0
= a2.
Como
∫
C
y ds = 4, então a2 = 4, donde a = 2, pois a > 0.
Portanto, para a = 2, temos
∫
C
y ds = 4.
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