Estudos de matematica-78

Prévia do material em texto

20. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x + 1) 
\) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{1}{e} \) unidades quadradas. Explicação: A área entre duas 
curvas é dada pela integral da diferença entre as duas funções. 
 
21. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{e} (\ln(x) + e^x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( 2e - 1 \). Explicação: Para calcular a integral definida, 
encontramos a integral indefinida e então aplicamos os limites de integração. 
 
22. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \). Explicação: Usamos a 
regra da cadeia para derivar \( \sqrt{2x + 1} \). 
 
23. Problema: Determine os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^5 - 5x^3 \). 
 Resposta: O ponto de inflexão ocorre em \( x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \) e \( x = 
\sqrt{\frac{5}{3}} \). Explicação: Os pontos de inflexão são onde a concavidade da curva 
muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. 
 
24. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int (\sin(x) - \cos(x)) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\cos(x) - \sin(x) + C \), onde \( C \) é uma constante 
de integração. Explicação: Integramos cada termo separadamente. 
 
25. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + e^{\sqrt{x}} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} + 
\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \). Explicação: Usamos as regras de derivação para encontrar 
a derivada de cada termo. 
 
26. Problema: Determine os intervalos onde a função \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) é 
crescente. 
 Resposta: A função é crescente em \( (0, \infty) \). Explicação: Uma função é crescente 
onde sua derivada é positiva. 
 
27. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. Explicação: A área entre duas curvas é 
dada pela integral da diferença entre as duas funções.