Estudos de matematica-83

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59. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(3x^2) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{2}{x} \). Explicação: Usamos a regra da 
cadeia para derivar \( \ln(3x^2) \). 
 
60. Problema: Determine os intervalos onde a função \( f(x) = e^x - x^2 \) é crescente. 
 Resposta: A função é crescente em \( (-\infty, 2) \) e \( (2, \infty) \). Explicação: Uma 
função é crescente onde sua derivada é positiva. 
 
61. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} \) unidades quadradas. Explicação: A área entre duas 
curvas é dada pela integral da diferença entre as duas funções. 
 
62. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx 
\). 
 Resposta: A integral definida é \( 1 \). Explicação: Para calcular a integral definida, 
encontramos a integral indefinida e então aplicamos os limites de integração. 
 
63. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{e^x + 1} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \). Explicação: Usamos 
a regra do quociente para derivar \( \frac{1}{e^x + 1} \). 
 
64. Problema: Determine os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^5 - 5x^4 \). 
 Resposta: O ponto de inflexão ocorre em \( x = 0 \) e \( x = 5 \). Explicação: Os pontos de 
inflexão são onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada muda 
de sinal. 
 
65. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int (\sin(x) + \cos(x)) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\cos(x) + \sin(x) + C \), onde \( C \) é uma constante 
de integração. Explicação: Integramos cada termo separadamente. 
 
66. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{e^x} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x}} \). Explicação: Usamos 
a regra da cadeia para derivar \( \sqrt{e^x} \).