LISTA 1 matrizes, determinantes e sistemas

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Lista 1
Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professor: Renato Tolentino de Sene
1. Considere as matrizes A = (aij)2×2 tal que aij =
{
i+ j, se i = j
0, se i ̸= j
e
B = (bij)2×2 tal que bij = 2i− 5j. Determine as matrizes:
a) A+B;
b) 3A;
c) At +Bt;
d) −2Bt +B.
2. Sejam x e y números reais, determine o produto xy onde(
1 x− 2y
x+ 18 4
)
=
(
1 y + 1
y − 3x 4
)
.
3. Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens 4× 3,
4× 5, 3× 5, 2× 5 e 3× 5. Avalie quais matrizes abaixo são possíveis de
serem obtidas e determine sua respectiva ordem:
a) AE +B
b) C(Dt +B)
c) AC +B
d) Et(CBt)
e) (AC)Et + A
4. Sejam as matrizesA =
(
1 2
3 −4
)
, B =
(
5 0
−6 7
)
, C =
(
1 −3 4
2 6 −5
)
,
D =
(
1 2
3 4
)
e E =
(
5 4 0 −1
6 1 −1 0
)
. Determine, se possível, ou
responda os itens abaixo:
a) (
−1
2
A)(−3B);
b) A3;
c) DC;
d) AC;
e) DCt;
f) CE;
g) CtE
h) É verdade que (A2)t = (At)2?
i) Veri�que se os pares de matrizes D e E, A e B comutam em relação
à operação de multiplicação de matrizes
j) É verdade que AE + 5E = (A+ 5I2)E?
k) A matriz X tal que AX − A = 2D −BtX.
5. Considere as matrizesA =

5 4 0 −1
6 1 −1 0
1 0 0 −2
0 3 5 −2
1 2 −3 0
 eB =

−2 1 0
5 −1 −3
0 −8 4
−5 5 3
.
Seja a matriz C = AB então determine apenas os elementos c52, c13 e c22
da matriz C.
6. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos termos da diagonal
principal. Considere a matriz A = (aij)8×8 cujos elementos são dados por
aij = 5i− 2j + 1. Sendo assim determine o traço da matriz A, denotado
por tr(A).
7. A matriz M é uma matriz diagonal de ordem 4 cujos elementos da
diagonal principal são m11 = 2, m22 = −1, m33 = 3 e m44 = −2. Deter-
mine a o traço da matriz M5.
8. Calcule os determinantes abaixo utilizando um método apropriado:
a)
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
2 −1 3
1 3 −4
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣ −1 3
−5 2
∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 −4
3 −1 −2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −1 5 0
0 2 0 −3
2 0 −1 3
1 1 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 0 0 0 0
3 −1 0 0 0
1 2 −1 0 0
−5 −2 0 3 0
−3 −1 1 4 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
9. Expresse uma fórmula geral para calcular o determinante: (i) De uma
matriz triangular superior qualquer de ordem n. (ii) De uma matriz di-
agonal qualquer de ordem n
10. Classi�que em verdadeiro (V) ou falso (F) e justi�que:
a) det(A+B) = det(A) + det(B) ( )
b) det(In) = 1 ( )
c) det(−A) = −det(A) ( )
d) det(2A) = 2det(A) ( )
e) det(AB) = det(BA) ( )
11. Seja a matriz A =
 1 1 0
0 −1 2
0 0 2
.
a) Determine o polinômio p(x) = det(A − xI3) onde I3 é a matriz
identidade de ordem 3 e x um número real;
b) Calcule as raízes do polinômio p(x);
c) Construindo uma matriz diagonal D onde na diagonal principal
aparece as raízes de p(x), encontre uma matriz P tal que PD = AP .
12. Veri�que se a matriz é invertível, se for, determine a sua inversa.
(Use o método da matriz adjunta para obter a matriz inversa nos itens
(a) e (b)).
a) A =
(
2 −1
−3 5
)
;
b) B =
(
−7 21
−3 1
)
;
c) C =
 1 −2 3
0 1 −1
3 2 1

d) D =
 1 1 1
2 0 1
3 0 −1

e) E =

1 0 0 −1
−2 1 1 0
0 1 0 1
1 −1 2 1

f) F =

1 2 0 0
−1 3 5 −5
1 0 0 2
−3 1 2 −1

13. Use o método da matriz inversa para resolver os sistemas de
equação abaixo:
a)
{
2x− 3y = 7
3x+ 5y = 1
b)

2x− y − 3z = 5
3x− 2y − 2z = 5
5x− 3y − z = 16
c)

2x+ 3y − z = 1
3x+ 5y + 2z = 8
x− 2y − 3z = −1
14. Use a REGRA DE CRAMER para resolver os sistemas abaixo. Es-
creva o conjunto solução e classi�que-os:
a)

x− y + 2z = 0
2x+ 3y − 2z = 1
x− 3y − z = −1
b)

x+ 2y + z = 0
−x+ 3z = 5
x− 2y − z = 1
c)

x− y + z + w = 0
x+ 3y − z − w = 1
x− y − w = −1
y − w = 2
15. Use ométodo de Gauss-Jordan para obter o conjunto solução dos
sistemas de equação abaixo. Classi�que-os:
a)

x+ z = 3
x+ 2y + 2z = 6
3y + 3z = 6
b)

x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
x+ 7y − 7z = 5
c)
{
x− 2y + 3z = 0
2x+ 5y + 6z = 0
d)

x+ y + z + w = 0
x+ y + z − w = 4
x+ y − z + w = −4
x− y + z + w = 2
e)

2x+ y − z + w = 0
2x+ y − z − w = 1
x− 3y − z − w = −3
f)
{
x− y + 3z − w = 0
2x+ y + z − 2w = 1
g)

x+ 2y + z = 0
x+ 2y − 2z = 2
−x− 2y − 4z = −9
h)

2x− 5y + 3z − 4s+ 2t = 4
3x− 7y − 2y − 5s+ 4t = 9
5x− 10y − 5z − 4s+ 7t = 22
i)

x+ 2y + z = 0
2x+ y − z = 0
3x− 2y − z = 0
j)

3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
−x+ y + z = 1
16. Determine os valores de a e b para que o sistema abaixo seja possível
e indeterminado. {
6x+ ay = 12
4x+ 4y = b
17. Encontre o valor de a para que o sistema seja:
(i) possível e determinado (ii) possível e indeterminado (iii) impossível
−y + az = −2
x+ y + z = a
ax− 2y + 4z = −5

x+ y − z = 1
2x+ 3y + az = 3
x+ ay + 3z = 2
18. Num estacionamento, entre motos e carros, contaram um total de
200 rodas. Sabendo que o número de carros é o dobro do número de
motos, quantos veículos de cada espécie estão nesse estacionamento? 20
motos e 40 carros
19. Ache dois números inteiros sabendo que a soma deles é 51 e a dife-
rença é 27. 39 e 12
20. Descubra dois números inteiros sabendo que a soma deles é 88 e que
um é igual ao triplo do outro. 22 e 66
21. Num quintal há galinhas e coelhos, num total de 100 animais. Sa-
bendo que o total de pés é de 320, quantas galinhas e quantos coelhos há
nesse quintal? 40 galinhas e 60 coelhos
22. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos
de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg do produto X são
utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg
do produto Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada
kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada
um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente.
Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9
kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine
quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 500 kg
do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z.
23. As moedas de um determinado país são de três tipos: As que pesam
3g valem $ 10, as que pesam 5g valem $20 e as que pesam 9g valem
$50. Uma pessoa tem cem moedas, pesando num total 600g e somando
$2800,00. Quantas moedas de cada tipo essa pessoa possui? 10 moedas
de 3g, 60 moedas de 5g e 30 moedas de 9g
24. Um nutricionista está elaborando uma refeição que contenha os ali-
mentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de pro-
teína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama
do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e
1 unidade de carboidrato. Já o alimento no alimento C encontramos 3
unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato.
Se a refeiç~ao deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína, 24 uni-
dades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada
tipo de alimento devem ser utilizados?
"O que sabemos é uma gota, o que ignoramos é um oceano."
(Isaac Newton)