EXERCICIOS DE ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 2

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EXERCICIOS DE ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Questão 1
O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz  for igual ao número de linhas da matriz , o produto  é definido da seguinte maneira: assumindo que  seja uma matriz  e  seja uma matriz , então,  é uma matriz  com o elemento na linha  e coluna  sendo o produto interno da linha  da matriz  pela coluna  da matriz . Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, não existe garantia de que  seja igual a . No caso em que os dois resultados sejam iguais, as matrizes  e  são ditas que comutam.
Ainda, uma matriz quadrada  com todos os elementos da diagonal principal iguais a  e todos os outros elementos iguais a  é chamada de matriz identidade e é denotada por  ou, se a ordem em um dado contexto está clara, . Para qualquer matriz quadrada , temos que . Considerando ainda  como sendo uma matriz quadrada, pode existir uma outra matriz quadrada de mesma ordem, , tal que . Se esse for o caso,  é chamada inversa (multiplicativa) de  e a notação  é usada para , portanto,  .
Não são todas as matrizes quadradas que admitem inversa, uma matriz que tem inversa é chamada não singular e uma matriz que não possui inversa é chamada singular. Se uma inversa pode ser encontrada para uma matriz, essa inversa é única. SAFIER, F. Pré-cálculo. 2 ed. Porto Alegre: Brookman, 2011.
Visando encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada , é preciso: (1) montar o esquema para calcular a matriz inversa, lembrando que , (2) efetuar a multiplicação entre as matrizes  e , (3) fazer a equivalência dos elementos encontrados na multiplicação com a matriz identidade e, por fim, (4) resolver o sistema linear formado.
A respeito do conceito de matriz inversa e considerando as informações fornecidas sobre o seu cálculo, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A matriz quadrada  é uma matriz não singular, possuindo uma inversa  definida por .
PORQUE
II. A multiplicação entre a matriz  e  resulta na matriz identidade de ordem  e, ainda, o determinante da matriz  é diferente de zero, sendo .
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
b. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
c. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
d. As asserções I e II são proposições falsas.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Questão 2
Foi há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy, 1826: tableau (= tabela). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, em 1850. Seu amigo Arthur Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstração de sua utilidade. De maneira simples, podemos dizer que matrizes são tabelas retangulares de valores, organizadas em linhas e colunas. Esses valores podem representar quantidades específicas, variáveis, equações e até dados nominais. A magnitude de aplicações do conceito e operações de matrizes em diversas áreas do conhecimento (principalmente, tecnológico) faz com que o seu estudo seja imprescindível.
Matrizes são tabelas retangulares (com linhas e colunas) utilizadas para organizar dados numéricos. Veja a seguir a representação genérica de uma matriz.
 
Cada elemento  da matriz é indicado por dois índices: , sendo que . Podemos escrever a matriz  de forma abreviada: , sendo  uma matriz de  linhas com colunas.
TOMIO, Júlio César. Matrizes e Determinantes. Joinville: IFSC, [s.d.]. 
Existem três operações que envolvem as matrizes: adição, subtração e multiplicação por escalar. É importante salientar que as operações de adição e subtração só ocorrem em matrizes que possuem a mesma quantidade de linhas e colunas, pois as operações são realizadas com os elementos de mesma posição nas matrizes.
Assim, considere as matrizes explicitadas a seguir.
 
 e 
Observe que  e  são matrizes que possuem 3 linhas e 2 colunas.
 Com base nessas informações, sobre matrizes e operações, julgue os itens a seguir.
I. A matriz soma , determinada por , é definida por .
 
II. A matriz diferença , determinada por , é definida por .
 
III. A operação  é verdadeira, resultando em .
É correto o que se afirmar em:
a. I e III, apenas.
b. I, apenas.
c. II, apenas.
d. I, II e III.
e. II e III, apenas. 
Questão 3
É comum em jornais, em revistas, na televisão e na internet nos depararmos com informações numéricas organizadas em forma de tabela, com linhas e colunas. A tabela a seguir, por exemplo, representa uma notícia publicada em setembro de 2018, no portal G1.com sobre a tarifa do pedágio em algumas cidades do estado de Goiás.
Ao representar essa tabela numericamente temos a matriz:
Uma matriz do tipo m x n é uma tabela m.n números reais dispostos em m linhas e n colunas. Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo aij, no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento, e o índice j refere-se à coluna em que se encontra o elemento. De um modo geral, uma matriz A do tipo m x n é representada por A = (aij)m x n, em que i e j são inteiros positivos tais que 1  i  m, 1  j  n, e  aij é um elemento qualquer de A.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e Aplicações. São Paulo: Saraiva, 2013. v. 2 (adaptado).
 Lucas é professor do primeiro período do curso de engenharia e, ao trabalhar o conceito de matrizes com os alunos, registrou, na tabela a seguir, as quantidades (em gramas), de legumes comprados em média, durante duas semanas, por um casal. 
A tabela a seguir apresenta os preços (em kg) de cada legume selecionado pelo casal, no supermercado de sua preferência.
	 
	Preços (R$)
	Batata
	1,70
	Cenoura
	2,80
	Inhame
	2,50
	Chuchu
	1,00
 
A partir dos dados apresentados, a quantia, em reais, gasta pelo casal, na compra de batata, cenoura, inhame e chuchu, na primeira semana foi de
Alternativas:
a. R$ 6,66.
 b.R$ 13,93.
 c.R$ 66,60.
 d.R$ 7,27.
 e.R$ 5,50. 
Questão 4
Em muitas aplicações de álgebra linear, a Regra de Cramer é muito utilizada. Aplicando essa regra, podemos encontrar a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. No entanto, essa regra é ineficiente para cálculos manuais, com exceção dos cálculos envolvendo matrizes 2x2 ou 3x3, e só pode ser utilizada em sistemas lineares em que o número de equações forem iguais ao número de incógnitas. Dessa forma, seja A uma matriz  inversível, para qualquer b do , a solução única x de Ax = b tem componentes dados por
 
LAY, D. C. Álgebra Linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011 (adaptado).
Com base no que foi exposto, analise a situação-problema apresentada a seguir.
 
Uma empresa vende três produtos: x, y e z. Todos os produtos x têm o mesmo preço, assim como os produtos y e z, independentemente da quantidade de produtos vendida. Suponha que Renato comprou 1 produto x, 2 produtos y e 3 produtos z e pagou um total de R$ 17,00; Luiz comprou 2 produtos x, 4 produtos y e 1 produto z e pagou um total de R$ 14,00 e Fernando comprou 3 produtos x, 3 produtos y e 1 produto z e pagou um total de R$ 13,00. Diante disso, considere o seguinte sistema linear, composto por três equações e três incógnitas, que representa essa situação-problema.
Usando a Regra de Cramer, pode-se afirmar que o preço, em reais, dos produtos x, y e z é
Alternativas:
a.x = 1, y = 5 e z = 2.
b.x = 1, y = 5 e z = 4.
c.x = 1, y = 2 e z = 4.
d.x = 4, y = 5 e z = 1.
e.x = -3, y = -5 e z = 0. 
Questão 5
O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz  for igual ao número de linhas da matriz , o produto  é definido da seguinte maneira: assumindo que  seja uma matriz  e  seja uma matriz , então,  é uma matriz  com o elemento na linha  e coluna  sendo o produto interno da linha  da matrizpela coluna  da matriz . Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, não existe garantia de que  seja igual a . No caso em que os dois resultados sejam iguais, as matrizes  e  são ditas que comutam.
Ainda, uma matriz quadrada  com todos os elementos da diagonal principal iguais a  e todos os outros elementos iguais a  é chamada de matriz identidade e é denotada por  ou, se a ordem em um dado contexto está clara, . Para qualquer matriz quadrada , temos que . Considerando ainda  como sendo uma matriz quadrada, pode existir uma outra matriz quadrada de mesma ordem, , tal que . Se esse for o caso,  é chamada inversa (multiplicativa) de  e a notação  é usada para , portanto,  .
Não são todas as matrizes quadradas que admitem inversa, uma matriz que tem inversa é chamada não singular e uma matriz que não possui inversa é chamada singular. Se uma inversa pode ser encontrada para uma matriz, essa inversa é única.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2 ed. Porto Alegre: Brookman, 2011.
 Visando encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada , é preciso: (1) montar o esquema para calcular a matriz inversa, lembrando que , (2) efetuar a multiplicação entre as matrizes  e , (3) fazer a equivalência dos elementos encontrados na multiplicação com a matriz identidade e, por fim, (4) resolver o sistema linear formado.
A respeito do conceito de matriz inversa e considerando as informações fornecidas sobre o seu cálculo, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A matriz quadrada  é uma matriz não singular, possuindo uma inversa  definida por .
PORQUE
II. A multiplicação entre a matriz  e  resulta na matriz identidade de ordem  e, ainda, o determinante da matriz  é diferente de zero, sendo .
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a.As asserções I e II são proposições falsas.
b.As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
c.A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira
.d.As asserções I II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
e.A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Questão 6
O número  é o determinante da matriz   e é representado por:
 
Para o cálculo desse determinante, basta multiplicar os números da diagonal principal e subtrair a multiplicação dos números da diagonal secundária (aquela que a parte mais alta está no lado direito, e a mais baixa, no esquerdo). Nos casos de matriz quadrada de ordem superior, fica difícil calcular o determinante por esse método descrito. Para definir o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior, precisamos introduzir os conceitos de menor complementar e de cofatores, associados aos elementos de uma matriz quadrada.
 Seja  uma matriz de ordem , o determinante de , denotado por  ou , é a soma dos elementos de uma linha qualquer ou de uma coluna qualquer, multiplicados por seus respectivos cofatores. Por exemplo, expandindo para a i-ésima linha, temos:
  Costumamos considerar , ou seja, fazer os cálculos a partir dos elementos da primeira linha, mas isso não é regra.
 DEMANA, Franklin et al. Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013 (adaptado).
Sabe-se que todo elemento de uma matriz quadrada tem um cofator. A fim de calcular o cofator, é preciso, primeiramente, encontrar o menor complementar. O menor complementar  é o determinante da matriz que se obtém eliminando a linha  e a coluna  de uma matriz qualquer dada. Uma vez calculado o menor complementar, o cofator  é definido por .
Com base nessas informações, considerando a matriz quadrada de ordem 4, , 
julgue os itens a seguir.
 I. O determinante da matriz  é .
II. O menor complementar do elemento localizado na linha 1 e coluna 1 é .
III. O cofator do elemento localizado na linha 1 e coluna 1 é .
 É correto o que se afirma em
Alternativas:
a.I, apenas.
b.III, apenas.
c.I, II e III.
d.II e III, apenas.
e.I e II, apenas. 
Questão 7
Em álgebra linear, os determinantes foram estudados, principalmente, no que diz respeito a sistemas lineares de equações. Em 1982, Augustin-Louis Cauchy publicou um trabalho no qual usava determinantes para obter fórmulas para volumes de certos sólidos poliédricos. A utilização dos determinantes, feita por Cauchy, na geometria analítica, deu partida a um intenso interesse em aplicações de determinantes que durou cerca de 100 anos. Hoje, os determinantes têm pouco valor numérico em cálculos com matrizes de grande escala que ocorrem tão frequentemente, mesmo assim, as fórmulas com determinantes ainda fornecem informações importantes sobre matrizes, e um conhecimento de determinantes é útil em algumas aplicações da álgebra linear. LAY, David C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011 (adaptado). A partir de algumas propriedades dos determinantes, julgue as afirmações a seguir.
I. Se A é uma matriz , pode-se afirmar que seu determinante e sua transposta são iguais, ou seja, det(At)=det(A). Por exemplo, se , então det(At) = 2.
 II. Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas) de A, então det(B) = -det(A). Por exemplo, se  e , então det(B)= -2.
 III. Se a matriz B é obtida da matriz A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um número real c, então det(B) = c.det(A). Por exemplo, se  e , então det(B) = 4.
 É correto o que se afirma em
a.I, apenas.
b.I e II, apenas.
c.I, II e III.
d.II e III, apenas.
e.I e III, apenas
Questão 8
Em matemática, diversas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:
	 
	Altura (m)
	Peso (kg)
	Idade (anos)
	Pessoa 1
	1,70
	70
	23
	Pessoa 2
	1,75
	60
	45
	Pessoa 3
	1,60
	52
	25
	Pessoa 4
	1,81
	72
	30
Ao abstrairmos os resultados das linhas e das colunas, formamos a tabela a seguir, denominada matriz.
Uma matriz mxn é um arranjo retangular de mn números reais arrumados em m linhas horizontais e n colunas verticais.
COSTA, Boldrini; WETZLER, Figueiredo. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra,1986 [adaptado].  As tabelas a seguir apresentam a produção de sapatos femininos na região A, B e C de certo estado.
	Produção de Sapatos Femininos em 2016
	 
	sapatilhas
	sandálias
	sapatos
	tênis
	Região A
	1250
	1320
	850
	970
	Região B
	1854
	1940
	987
	1035
	Região C
	871
	974
	741
	964
	Produção de Sapatos Femininos em 2017
	 
	sapatilhas
	sandálias
	sapatos
	tênis
	Região A
	1347
	1570
	1064
	1240
	Região B
	1974
	2010
	1250
	1840
	Região C
	931
	1056
	954
	1420
A partir dos dados apresentados, podemos afirmar que a produção por produto e região nos dois anos conjuntamente está representada pela matriz
Alternativas:
a., que foi encontrada a partir da soma dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
b., que foi encontrada a partir da soma dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
c., que foi encontrada a partir da subtração dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
d., que foi encontrada a partir da multiplicação dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
e., que foi encontrada a partir da subtração dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
Questão 9
A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje
é de 1.850 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x  de água. Denote por y o custo total estimadoda obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que
 
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
Alternativas
a.A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
b.Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
c.A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
d.O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
e.O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0. 
Questão 10
Em álgebra linear, as matrizes possuem diversas aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento. É comum encontrarmos tabelas contendo informações numéricas em forma de linhas e colunas. Tabelas desse tipo são denominadas matrizes. Com as matrizes é possível realizar algumas operações, como soma, subtração, multiplicação, entre outras. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, então A é dita invisível (ou invertível) se existe uma matriz B (quadrada de ordem n), tal que A.B = B.A = In. A matriz In representa a matriz identidade de ordem n. Sendo assim, B é dita inversa de A e é indicada por A-1.IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. Vol. 2. São Paulo: Saraiva, 2013 (adaptado).
 A tabela a seguir apresenta os dados relativos às vendas de dois modelos de automóveis de luxo em janeiro e fevereiro do ano de 2018 na concessionária “Z”. 
	
Quantidade de automóveis vendidos em Janeiro e Fevereiro de 2018
	 
	Janeiro
	Fevereiro
	Modelo X
	5
	3
	Modelo Y
	3
	2
 Considerando A como a matriz que representa os dados da tabela, pode-se afirmar que a matriz B, que é a inversa de A, caso exista, é dada por
Alternativas:
a..
b..
c..
d..
Questão 11
De uma maneira geral, um sistema linear de m equações com n incógnitas, ou simplesmente um sistema linear, é uma coleção de m equações lineares cada uma delas envolvendo n incógnitas. É conveniente denotar um sistema linear da seguinte forma:
 
  Os índices i e j são utilizados da seguinte maneira: o primeiro índice (i) indica qual é a equação que se está considerando, enquanto o segundo ( j) está associado à j-ésima variável xj. Portanto, a i-ésima equação é
 Os símbolos aij denotam constantes cujos valores são conhecidos. Uma solução de um sistema linear é uma coleção de n números s1, s2, ..., sn, com a propriedade de que cada uma das equações do sistema será satisfeita quando a seguinte a substituição for realizada: 
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
 KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999 (adaptado).
 A partir do exposto, é correto afirmar que uma solução para o sistema linear    é dada por
Alternativas
a.a = -4, b = 2 e c = -10.
b.a = -4, b = 2 e c = 10.
c.a = -4, b = 4 e c = 10.
d.a = -4, b = 1 e c = 12.
e.a = -4, b = 2 e c = -10.
Questão 12
Uma matriz  é um agrupamento retangular de elementos dispostos em linhas (horizontais) e colunas (verticais), geralmente entre colchetes ou parênteses. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz. Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que assumem valores reais. Duas matrizes podem ser somadas somente quando elas têm o mesmo número de linhas e de colunas. Nesse caso, a soma de duas matrizes  e  de ordem  é a matriz  , tal que qualquer elemento de  é a soma dos elementos correspondentes de  e , isto é, se
,
então
 .
 Como a soma de duas matrizes é formada simplesmente adicionando-se os elementos correspondentes, é claro que as regras válidas para a adição de matrizes reais são exatamente as válidas para a adição de números reais. A adição matricial é associativa e comutativa, o que implica que a ordem em que as matrizes são somadas não é importante. Salientamos este fato porque, quando considerarmos a multiplicação de matrizes, veremos que a lei comutativa não é mais verdadeira, embora a associativa ainda seja válida. KUERTEN, C. Algumas aplicações de matrizes. 2002. 68 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Matemática) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002 (adaptado).
 A subtração de matrizes também é realizada com matrizes de mesma ordem. Assim, quando subtrairmos a matriz  da matriz , obteremos outra matriz  de mesma ordem. E para realizarmos tanto a soma quanto a subtração, devemos adicionar ou subtrair os elementos de  com os correspondentes de .
 
Considere, pois, as matrizes  e  apresentadas a seguir.
 e 
 A respeito das matrizes  e , tendo em vista a adição e a subtração de matrizes, julgue as afirmações a seguir.
 I. A matriz soma , determinada por , pode ser definida por . Ainda, .
 II. A matriz diferença , determinada por , pode ser definida por .
 III. A matriz soma, quando somada com a matriz diferença, ou seja, , resulta em .
 É correto o que se afirma em:
a.II e III, apenas.
b.I, apenas.
c.II, apenas.
d.I, II e III.
e.I e III, apenas.
Questão 13
Texto da questão: Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: "A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias.
Esse sistema de equações é:
a.possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$ 9,00.
b.possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
c.impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
d.possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
e.possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
 
 
 
 
Legumes (quantidade em gramas) 
 Batata Cenoura Inhame Chuchu 
1ª Semana 1200 900 500 850 
2ª Semana 1100 1000 670 920