Problemas de Cálculo

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75. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 1 \) unidade quadrada. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \sin(x) \) no intervalo de interesse. 
 
76. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y\tan(x) = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-\ln|\cos(x)|} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
77. Problema: Determine a derivada de \( y = \ln(\sec^2(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = 2\tan(x) \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
78. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( +\infty \). 
 Explicação: O numerador cresce mais rapidamente do que o denominador. 
 
79. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \sin(x) \) no intervalo de interesse. 
 
80. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{x^2} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
81. Problema: Determine a derivada de \( y = \ln(\cot(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = -\frac{1}{\sin(x)} \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
82. Problema: Calcule a soma dos termos da série \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + 
\frac{1}{20} + \ldots \).