Matematica analitica (115)

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87. Problema: Determine a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x^3 + y^2 
\). 
 Resposta: Não possui solução em termos de funções elementares. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial não linear de primeiro grau que não possui 
uma solução em termos de funções elementares. 
 
88. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \sin^2(x) - 2\sin(x) + 1 = 0 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Note que \( \sin^2(x) - 2\sin(x) + 1 = (\sin(x) - 1)^2 \), então \( \sin(x) = 1 \). 
 
89. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{x}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2x} \). 
 Explicação: Utilize a regra da cadeia para derivar a função. 
 
90. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 Resposta: \( 3 \). 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental trigonométrico. 
 
91. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calcule a integral da diferença entre as duas funções no intervalo dado. 
 
92. Problema: Resolva a equação exponencial \( 4e^{2x} = 64 \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Utilize o logaritmo natural para resolver a equação. 
 
93. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = \log_2(x + 3) \). 
 Resposta: \( f^{-1}(x) = 2^x - 3 \). 
 Explicação: Troque \( f(x) \) por \( y \), inverta \( x \) e \( y \) e resolva para \( y \).