Problemas de Cálculo Matemático

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10. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 1}{y^2 + 1} \) e \( y(0) = 1 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = 0 \). 
 
11. Se \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = a \), qual é o valor de \( a \)? 
 Resposta: \( a = 1 \). 
 
12. Qual é o valor de \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \)? 
 Resposta: \( \sqrt{17} + \sqrt{2} \). 
 
13. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos^2(x)} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \tan(x) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
14. Se \( \int_{0}^{1} e^x \ln(x + 1) \, dx = a \), qual é o valor de \( a \)? 
 Resposta: \( a = 1 \). 
 
15. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)? 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). 
 
16. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\ln(x)} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \ln(\ln(x)) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
17. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \)? 
 Resposta: O limite é \( e \). 
 
18. Se \( f(x) = e^{x^2} \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{2e} \). 
 
19. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)? 
 Resposta: \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
20. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \), qual é a solução da equação diferencial?