Exercicios de conta-133

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94. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 Resposta: \( 2 \) 
 Explicação: Use a definição de derivada de \( \sin(2x) \) em \( x = 0 \). 
 
95. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \sqrt{x + 3} \). 
 Resposta: \( f^{-1}(x) = (x^2 - 3) \) 
 Explicação: Troque \( x \) e \( y \) e resolva para \( y \). 
 
96. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^x \). 
 Resposta: \( y = e^x + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
97. Problema: Determine a 
 
 matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \). 
 Resposta: \( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) 
 Explicação: Use o método da matriz adjunta para encontrar a inversa. 
 
98. Problema: Calcule o produto escalar entre os vetores \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \) e \( 
\mathbf{w} = (4, 5, 6) \). 
 Resposta: \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 32 \) 
 Explicação: O produto escalar é a soma dos produtos dos componentes 
correspondentes. 
 
99. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 
2) \). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \) 
 Explicação: Use a derivada da função e substitua as coordenadas do ponto dado. 
 
100. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resposta: \( y = Ae^{2x} + Be^{-2x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes.