Exercícios de Matrizes e Vetores

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QUESTIONÁRIO 1
1 - Dadas as matrizes. Calcule o produto matricial ABC.​​​​​​​
Resposta:
 
2 - Considere a matriz linha A e a matriz coluna B  dadas abaixo:
Resposta:
3 - Dadas as matrizes
Resposta:
4 - Dadas as matrizes
Resposta: 
x= 2, y= 5, z= –1, t= 3
5 - Sabendo-se que as matrizes A, X e B são definidas como:
Resposta: 
x= 3/2 e y= –1.
QUESTIONÁRIO 2
1 - Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1​​​​​​​.
Resposta:
2 - Considerando a matriz.  encontre sua inversa.​​​​​​​​​​​​​​
Resposta: 
3 - Dado o sistema de equações lineares abaixo. a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:​​​​​​
Resposta: 
4 - Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares:
5 - Para o sistema de equações lineares abaixo:
a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente:​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
Resposta:
QUESTIONÁRIO 3
1 - Considere o seguinte conjunto de equações nas variáveis x, y e z:
Resposta: 
A equação 4
2 - ​​​​​​​Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
Resposta: 
x = 4 e y = 3.
3 - Obtenha a solução do seguinte sistema de equações lineares do tipo 2 x 2:
Resposta:
x = 2 e y = 1.
4 - Encontre a solução do sistema de equações lineares a seguir.​​​​​​​
Resposta: 
x = 2, y = –​​​​​​​5 e z = 3
5 - Indique quais são os valores das variáveis x, y e z que resolvem o seguinte sistema de equações lineares:
Resposta:
x = 1, y = 2 e z = 3.
QUESTIONÁRIO 4
1 - Alguns problemas exigem mais do que um simples cálculo. Utilize uma equação adequada para determinar o valor de a que faz o determinante a seguir ser igual a zero.
Resposta:
-6
2 - Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades. Utilize-as para calcular. sabendo que a matriz A3X3 é tal que det(A) = 1.
Resposta: 
1/8
3 - O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e, por consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como polinômio característico p (λ)= (3 + λ) (1 - λ) (4 + λ), indique a dimensão dessa matriz.
Resposta: 
3
4 - ​​​​​​​Os elementos nulos de uma matriz são muito uteis no cálculo de determinantes, assim como a análise das linhas de uma matriz. Com isso em mente, utilize as propriedades dos determinantes para calcular o determinante da matriz.
Resposta: 
0
5 - Como você aprendeu, os determinantes são importantes no processo do cálculo da matriz inversa. Existe também uma relação entre o determinante de uma matriz e o determinante de sua inversa. Explore essa relação para calcular o valor de det(A-1), sabendo que det(A) = 14.
Resposta: 
1/14
QUESTIONÁRIO 5
1 - Uma grande diferença entre produto escalar e produto vetorial é que o produto vetorial produz um vetor como resultado, já o produto escalar irá produzir um escalar (um número). Além disso, o produto vetorial exige que ambos os vetores sejam tridimensionais. É amplamente empregado para calcular a área de paralelogramo, bem como em conversão de sistema 3D para 2D. Diante disso, considere os dois vetores a = ⟨2,1,-1⟩ e b = ⟨-3 ,4 ,1⟩, resolva as alternativas a seguir e marque a alternativa correta:
i) a × b
ii) b x a
Resposta: 
i = (5,1,11); ii = (-5,-1,-11)
2 - Você já deve ter percebido que o produto escalar tem intepretação geométrica importante. Para calcular a área de um paralelogramo, também é possível determinar o volume de um paralelepípedo. Perceba que os vetores u, v e w formam o paralelepípedo. O produto vetorial de u e v forma um vetor perpendicular. O módulo desse
vetor refere-se à área. Para o volume, precisamos realizar a
seguinte operação:
V = |w· (u x v)|
Essa operação também é denominada pelo produto mitro (usa 0 produto vetorial e o escalar). Diante disso, você recebeu a missão de encontrar
​​​​​​​o volume de um paralelepípedo dado pelos seguintes vetores:
w = <6,3-4>, v = <0,2,1>, u = <5, -1, 2>. Calcule o volume do paralelepípedo e marque a alternativa correta:
Resposta: 85
3 - Você recebeu um mapa de um labirinto e precisa se deslocar entre uma porta até uma provável saída. Nesse trajeto, é necessário que se caminhe 480m em certa direção e 200m em uma direção perpendicular à primeira. Calcule a distância em linha reta da porta até a saída. Marque a alternativa correta:
Resposta:  
520.
4 - O deslocamento de elementos é uma prática comum em um cenário
​​​​​​​de  jogo, tanto para demonstrar movimentação quanto para criar animações. Em alguns momentos, também é necessário calcular os deslocamentos. Agora, veja um exemplo de deslocamento da forma A para B usando um vetor v = (m,n). Encontre os valores de m e n.
Resposta: (4,-6).
5 - Várias são as operações possíveis usando vetores. Uma dessas operações é o produto escalar, um recurso muito utilizado dentro da Geometria. Você recebeu dois vetores, a e b, e precisa calcular o escalar ou produto escalar entre eles. Qual seria a resposta a = <i+ 2j- 3k> e b =<2i – j +  k>?
Resposta: 3.
O produto escalar é o resultado do somatório do produto de cada componente. Dados os vetores, o produto escalar pode ser calculado da seguinte forma:
a.b => ((i+ 2j- 3k).(2i – j +  k))
a.b =>( (1.2)+ (2.(-1))+ (-3.1) => (2-2-3)=> -3
QUESTIONÁRIO 6
1- Dados os vetores u (3,2,1) e v (-1,-4,-1), calcule (u + v).(2u - v) e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto
Resposta: -2,
O resultado de (u + v) será (3+(-1),2+(-4),1+(-1)) = (u + v) = (2,-2,0).
O resultado de (2u - v) será (2.3-(-1),2.2-(-4),2.1-(-1)) = (2u - v) = (7,8,3).
O produto escalar será, então, (2,-2,0).(7,8,3) = 14-16 = -2.
2 -  Qual o ângulo entre os vetores u (1,1,4) e v (-1,2,2)?
Resposta:  
45°
3 -  Qual o produto vetorial entre u (5,4,3) e v (1,0,1)?
Resposta:(4,-2,-4).
4 - Os vetores u (1,-1,1) e v (2,-3,4) representam as arestas de um paralelogramo.
De quanto é a sua área?
Resposta: 
√6 u.a
5 - Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro.
De quanto é o seu volume?
R: 6 u.v.
QUESTIONÁRIO 7
1 - É possível calcular a equação paramétrica a partir da equação vetorial.
Dada a equação vetorial (x,y,z) = (-1,2,3) + t.(2,-3,0), qual é a sua equação paramétrica?​​​​​​​​​​​​​​
R: x = -1 + 2t, y = 2 - 3t, z = 3
2 - A partir da equação simétrica, é possível conhecer os pontos de uma reta. 
Qual é o ponto pertence à reta (x-3)/(-1) = (y+1)/2 = (z-2)/-2​​​​​​​?
R: (5,-5,6).
3 - Transformando a equação simétrica do exercício anterior em um sistema de equações paramétricas, qual seria o valor de t para que o ponto encontrado estivesse na reta?
R: -2.
4 - Uma reta r pode ser construída com base na referência de um vetor.
Dado os pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que passa por esses 3 pontos?
R: (x,y,z) = (0,0,1) + t(5,5,-5)
5 - Qual é o sistema de equações reduzidas, com variável y, a partir da equação obtida no exercício anterior
R: x = y e z = -y + 1
QUESTIONÁRIO 8
1 - Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é chamado de módulo. Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)?
R: √19
2 -  A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t​​​​​​​?
R: √117/3
3 - A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0?
R: 7/3
4 - Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir?
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t
s: x=t , y=-1-3t , z=2t
R: (3√5)/5
5 -  A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -2x+2z+8=0​​​​​​​?
R: √8
QUESTIONÁRIO 1
 
 
1 
-
 
Dadas as matrizes
. C
alcule o produto matricial
 
ABC
.
 
 
 
Resposta:2 
-
 
Considere a matriz linha
 
A
 
e a matriz coluna
 
B
 
 
dadas abaixo:
 
 
 
Resposta:
 
 
QUESTIONÁRIO 1 
 
1 - Dadas as matrizes. Calcule o produto matricial ABC. 
 
 
Resposta: 
 
 
2 - Considere a matriz linha A e a matriz coluna B dadas abaixo: 
 
 
Resposta: