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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Prof. Celius A. Magalhães
Cálculo II
Notas da Aula 33∗
Ponto Singular
Além de sua importância intrínseca, com aplicações em vários problemas da Física-Matemática, a equa-
ção de Euler é também modelo para o estudo de equações que possuem pontos não ordinários. Esses são
os pontos singulares e, em geral, é em torno desses pontos que reside o interesse de vários problemas.
Primeiros Exemplos
No PVI com coeficientes polinomiais
{
P(t)y′′(t)+Q(t)y′(t)+R(t)y(t) = 0
y(t0) = y0, y′(t0) = y′0
(1)
o ponto t0 é ordinário se P(t0) 6= 0. Nesse caso, por continuidade, P(t) 6= 0 para t ≈ t0. Logo, indicando
por p(t) = Q(t)
P(t) e q(t) = R(t)
P(t) , pode-se dividir a equação por P(t) para obter que
y′′(t) =−[p(t)y′(t)+q(t)y(t)] (2)
Em particular, y′′(t0) = −[p(t0)y
′(t0) + q(t0)y(t0)] é dada em termos dos coeficientes e dos dados
iniciais. Derivando (2) sucessivamente, e avaliando em t = t0, obtém-se que y(t) possui derivadas de
todas as ordens em t = t0, todas dadas em termos dos coeficentes e dos dados iniciais.
Esse fato sugere que y(t) deve ser analítica em t0, e é natural tentar solução na forma de uma série
y(t) =∑∞
n=0 antn. Procedento assim os an são determinados pelas relações de recorrência, e tudo funciona
muito bem. Essa é a técnica do ponto ordinário, com as aplicações vistas nas aulas passadas.
No entanto, a técnica deixa de funciona se o ponto não for ordinário, e é necessário buscar outra
alternativas. O primeiro exemplo importante de ponto não ordinário é t0 = 0 na equação de Euler
t2y′′(t)+αty′(t)+βy(t) = 0 (3)
pois o coeficiente P(t) = t2 se anula em t0 = 0. Apesar disso, foi relativamente fácil obter a solução
geral desta equação explorando a simetria dos coeficientes, como visto na aula passada. Além disso, a
equação de Euler pode ser usada como modelo para estudar outros problemas em que a técnica do ponto
ordinário não funciona. Para isso, é importante observar as seguintes propriedades.
Em (3), indicando como acima por p(t) = Q(t)
P(t) =
αt
t2 e q(t) = R(t)
P(t) =
β
t2 , tem-se que existes os limites
lim
t→0
t p(t) = α e lim
t→0
t2q(t) = β
Isso é claro, mas, no caso geral, essa é a propriedade importante, e tanto que vale dar um nome para ela.
Definição 1 O ponto t0 é singular para a equação (1) se P(t0) = 0. Se, além disso, existem os limites
lim
t→t0
(t − t0)p(t) = p0 e lim
t→t0
(t − t0)
2q(t) = q0
onde p(t) = Q(t)
P(t) e q(t) = R(t)
P(t) , então t0 é um ponto singular regular.
Com a definição, o que se viu acima é que t0 = 0 é um ponto singular regular para a equação de Euler.
� Exemplo 1 Obtenha e classifique os pontos singulares para a equação de Chebyshev
(1− t2)y′′(t)− ty′(t)+α2y(t) = 0
�
∗Texto digitado e diagramado por Henrique Reis a partir de anotações de sala de Olaia Diniz
Solução. Os pontos singulares são os que anulam o coeficiente P(t) = 1− t2, e é claro que são os pontos
t0 =−1 e t1 = 1. Quanto à classificação, tem-se p(t) = −t
1−t2 e q(t) = α2
1−t2 . Logo
lim
t→t0
(t − t0)p(t) = lim
t→−1
−(t+1)t
(1−t)(1+t) =
1
2 e lim
t→t0
(t − t0)
2q(t) = lim
t→−1
(t+1)2α2
(1−t)(1+t) = 0
e, portanto, t0 =−1 é ponto singular regular. Analogamente para t1 = 1. �
Vale observar que, no exemplo acima, p(t) = −t
1−t2 não está definido em t0 =−1, pois o denominador
se anula nesse ponto. No entanto, se multiplicado por (t − t0), resulta que (t − t0)p(t) = −(t+1)t
(1−t)(1+t) =
−t
1−t
está definido em t0 = −1. Aliás, por ser um quociente entre polinômios em que o denominador não se
anula, a função (t − t0)p(t) é analítica em t0 =−1. Analogamente para (t − t0)
2q(t).
Essa propriedade é verdadeira em geral. Sempre que t0 for um ponto singular regurar, as funções
(t − t0)p(t) e (t − t0)
2q(t) são analíticas em t0.
Ótimo, é fácil obter e classificar os pontos singulares. Mas, por que isso
é importante? Foi Frobenius quem descobriu o porquê, e raciocinou assim.
Para simplificar a notação, suponha que o ponto singular regular para a
equação (1) seja t0 = 0. Para t 6= 0, dividindo a equação por P(t), multipli-
cando por t2 e usando a notação já introduzida, obtém-se que
0 = t2y′′(t)+ t2 Q(t)
P(t) y′(t)+ t2 R(t)
P(t)y(t)
= t2y′′(t)+ t[t p(t)]y′(t)+ [t2q(t)]y(t) (4)
Frobenius (1849–1917)
Como t0 = 0 é um ponto singular regular, e existem os limites limt→0 t p(t) = p0 e limt→0 t2q(t) = q0,
pode-se olhar para (4) como uma perturbação da equação de Euler
t2y′′(t)+ t[p0]y
′(t)+ [q0]y(t) = 0 (5)
que tem a equação indicial
s(s−1)+ p0s+q0 = 0
O argumento agora é como segue. Sendo t0 = 0 ponto singular regular, as funções t p(t) e t2q(t) são
analíticas nesse ponto, e a equação (4) é da forma
Coeficientes de Euler × Funções Analíticas
O método de Frobenius consiste então em tentar solução de (4) na forma
Solução de Euler × Funções Analíticas
Apesar de parecer uma tentativa um tanto ingênua, ela de fato funciona, e é capaz de resolver proble-
mas importantes. Veja como o método funciona no exemplo a seguir.
� Exemplo 2 Verifique que t0 = 0 é um ponto singular regular para a equação
2t(t +1)y′′(t)+ (3+ t)y′(t)− ty(t) = 0, t > 0 (6)
e use o método de Frobenius para obter um sistema fundamental de soluções em torno de t0. �
Solução. Os coeficientes são P(t) = 2t(t +1), Q(t) = 3+ t e R(t) =−t. Como P(0) = 0, segue-se que
t0 = 0 é ponto singular. Além disso, como p(t) = Q(t)
P(t) =
3+t
2t(t+1) e q(t) = R(t)
P(t) =
−t
2t(t+1) , tem-se que
lim
t→0
t p(t) = lim
t→0
3+t
2(1+t) =
3
2 e lim
t→0
t2q(t) = lim
t→0
−t2
2(1+t) = 0
e, portanto, t0 = 0 é ponto singular regular. Daí segue-se que (6) é uma perturbação da equação de Euler
t2y′′(t)+ t 3
2y′(t)+0y(t) = 0 (7)
Cálculo II Notas da Aula 33 2/6
que tem equação indicial s(s−1)+ 3
2s+0= s(s+ 1
2 ) = 0 com raízes s0 = 0 e s1 =− 1
2 . Assim, as funções
y0(t) = t0 = 1 e y1(t) = t−1/2 formam um sistema fundamental de soluções para (7), e o que se espera é
que as soluções de (6) sejam perturbações analíticas dessas funções.
Essa expectativa pode ser verificada pelo método de Frobenius, que propõe solução de (6) na forma
y(t) = Solução de Euler × Função Analítica
= ts
∞
∑
n=0
antn =
∞
∑
n=0
ants+n = a0ts +a1ts+1 +a2ts+2 + · · ·+ants+n + · · · (8)
onde s deve ser uma das raízes s0 = 0 ou s1 =− 1
2 . Calculando as derivadas, obtém-se
y′(t) =
∞
∑
n=0
(s+n)ants+n−1 = sa0ts−1 +(s+1)a1ts +(s+2)a2ts+1 + · · ·+(n+ s)ants+n−1 + · · ·
y′′(t) =
∞
∑
n=0
(s+n)(s+n−1)ants+n−2 = s(s−1)a0ts−2 +(s+1)sa1ts−1 +(s+2)(s+1)a2ts+
· · ·+(s+n)(s+n−1)ants+n−2 + · · ·
Para substituir em (6) vale primeiro agrupar os termos semelhantes, como na igualdade a seguir.
0 = 2t(t +1)y′′(t)+ (3+ t)y′(t)− ty(t)
= [2t2y′′(t)+ ty′(t)]+ [2ty′′(t)+3y′(t)]− ty(t) (9)
Agora sim, indicando por G(x) = 2x(x−1)+ x, tem-se que
2t2y′′(t)+ ty′(t) =
∞
∑
n=0
[2(s+n)(s+n−1)+ (s+n)]ants+n =
∞
∑
n=0
G(s+n)ants+n
Analogamente, indicando por F(x) = 2x(x−1)+3x, obtém-se
2ty′′(t)+3y′(t) =
∞
∑
n=0
[2(s+n)(s+n−1)+3(s+n)]ants+n−1 =
∞
∑
n=0
F(s+n)ants+n−1
Usando agora (9), e agrupando mais alguns termos semelhantes, segue-se que
0 =
∞
∑
n=0
G(s+n)ants+n +
∞
∑
n=0
F(s+n)ants+n−1 +
∞
∑
n=0
−ants+n+1
= G(s)a0ts +
∞
∑
n=1
G(s+n)ants+n
+F(s)a0ts−1 +F(s+1)a1ts +
∞
∑
n=2
F(s+n)ants+n−1 +
∞
∑
n=0
−ants+n+1
= F(s)a0ts−1 +[G(s)a0 +F(s+1)a1]t
s
+
∞
∑
n=1
G(s+n)ants+n +
∞
∑
n=2
F(s+n)ants+n−1 +
∞
∑
n=0
−ants+n+1 (10)
Logo, com as mudanças n = k+1 no 1o, n = k+2 no 2o e n = k no 3o somatório de (10), obtém-se
0 = F(s)a0ts−1 +[G(s)a0 +F(s+1)a1]t
s
+
∞
∑
k=0
G(s+ k+1)ak+1ts+k+1 +
∞
∑
k=0
F(s+ k+2)ak+2ts+k+1 +
∞
∑
k=0
−akts+k+1
= F(s)a0ts−1 +[G(s)a0 +F(s+1)a1]t
s
+
∞
∑
k=0
[G(s+ k+1)ak+1 +F(s+ k+2)ak+2 −ak]t
s+k+1 (11)
Cálculo II Notas da Aula 33 3/6
Essa foi difícil! Mas está pronto, e com uma boa surpresa: para que a0 não seja nulo, deve-se ter que
F(s) = 2s(s−1)+3s = 2
(
s(s−1)+ 3
2s
)
= 0
Ora! Mas essa é exatamente a equação indicial da equação de Euler em (7). Isso é mesmo surpreen-
dente porque, na tentativa de solução como em (8), “esperava-se”que isso fosse verdade. Então, concluir
que os valores possíveis são exatamente as raízes da equação indicial de (7) reforça a ideia inicial, de que
as soluções do problema original em (6) são mesmo perturbações analíticas das soluções da equação de
Euler em (7). Frobenius sabia o que estava fazendo quando propôs o seu método!
Bem, o exemplo não terminou. Falta as relações de recorrências. Para isso, todos os coeficientes em
(11) devem ser nulos, e, portanto, deve-se ter que
F(s+1)a1 =−G(s)a0 e F(s+ k+2)ak+2 = ak −G(s+ k+1)ak+1, k = 0,1,2,3, · · · (12)
Para isolar o valor de a1 é necessário verificar que F(s+ 1) não se anula. No caso geral, isso pode ser
um problema importantes. No entanto, nesse exemplo, os valores possíveis de s são as raízes da equação
indicial s(s−1)+ 3
2 s = 0, isto é, s = 0 ou s =− 1
2 . Em qualquer dos dois casos, tem-se que F(s+1) 6= 0.
Da mesma forma, F(s+ k+2) também não se anula, e as relações de recorrencia são
a1 =−
G(s)a0
F(s+1)
e ak+2 =
ak −G(s+ k+1)ak+1
F(s+ k+2)
, k = 0,1,2,3, · · ·
Finalmente, escolhendo s = 0 e a0 = 1, um cálculo simples mostra que a solução correspondente é
y0(t) = t0
∞
∑
n=0
antn = 1+0t + 1
10 t2 − 1
35 t3 + 37
2520 t4 − 277
34.650 t5 + · · · (13)
Já com a escolha de s =− 1
2 e a0 = 1, a solução correspondente é
y1(t) = t−1/2
∞
∑
n=0
antn = t−1/2 (1− t + 1
6 t2 − 1
10 t3 + 1
24 t4 − 13
600 t5 + · · ·
)
(14)
Essas soluções são linearmente independentes, e formam um sistema fundamental de soluções. �
Vale notar que y0(t), correspondente à raiz s = 0, é bem comportada perto de t0 = 0. De fato, é uma
função analítica nesse ponto. Mas y1(t), correspondente à raiz negativa s =− 1
2 , não é analítica em t0 = 0,
e não tem limite com t → 0. Em particular, para se conseguir soluções bem comportadas perto de t0 = 0,
deve-se considerar apenas os múltiplos de y0(t).
Outra questão que deve ser respondida é sobre a convergência das séries em (13) e (14). Aqui,
mais uma vez, vale o princípio de que as soluções herdam as propriedades dos coeficientes. Com
efeito, foi visto acima que a equação (6) escreve-se na forma t2y′′(t) + t[t p(t)]y′(t) + [t2q(t)]y(t) = 0,
onde t p(t) = 3+t
2(1+t) e t2q(t) = −t2
2(t+1) são funções analíticas em t0 = 0. Usando que a série geométrica
1
1+t
= 1+ t + t2 + t3 + · · · converge para 0 ≤ t < 1, obtém-se que as séries das funções
y1(t)
y0(t)
t p(t) = 3+t
2
1
1+t
= 3+t
2
(
1+ t + t2 + t3 + · · ·
)
t2q(t) = −t2
2
1
1+t
= −t2
2
(
1+ t + t2 + t3 + · · ·
)
convergem para 0 ≤ t < 1. Pois então: daí conclui-se que as séries
de potencias em (13) e (14) convergem pelo menos em 0≤ t < 1. As
figura ao lado ilustram os gráficos de y0(t) e y1(t) nesse intervalo.
Ponto Singular Regular
No exemplo anterior, e de acordo com o método de Frobenius, em torno de um ponto singular regular as
soluções são perturbações analíticas da equação de Euler correspondente, e esse é o caso geral!
Com efeito, em geral, a questão é estudar a equação de coeficientes polinomiais
P(t)y′′(t)+Q(t)y′(t)+R(t)y(t) = 0, t > 0 (15)
Cálculo II Notas da Aula 33 4/6
supondo que t0=0 seja um ponto singular regular. Então, com a notação já introduzida, existem os limites
lim
t→0
t p(t) = p0 e lim
t→0
t2q(t) = q0 (16)
e t p(t) e t2q(t) são analíticas em t0 = 0. Dividindo por P(t) e multiplicando por t2, (15) escreve-se como
t2y′′(t)+ t[t p(t)]y′(t)+ [t2q(t)]y(t) = 0
Ótimo, porque, nessa forma, e em razão de (16), fica claro que a equação em estudo é uma perturba-
ção, com coeficientes analíticos, da equação de Euler
t2y′′(t)+ t p0y′(t)+q0y(t) = 0
que possui a equação indicial
s(s−1)+ p0s+q0 = 0 (17)
Ora! Essencialmente, as soluções da equação de Euler são da forma ts, onde s é uma raiz da equação
indicial. Então, de acordo com o método de Frobenius, as soluções de (15) são essencialmente da forma
ts ∑∞
n=0 antn, isto é, são perturbações analítica das soluções de Euler. Isso motiva a
Definição 2 A equação (17), com p0 e q0 dados por (16), é a equação indicial do problema (15).
Indique então por s0 e s1 as raízes da equação indicial (17), e suponha que s0 ≥ s1 se essas raízes
forem reais. Nesse caso pode-se mostrar que, em torno do ponto singular regular t0 = 0, o problema (15)
possui um sitema fundamental de soluções {y0(t),y1(t)} dado por
1a Solução: a primeira solução é sempre da forma
y0(t) = ts0
(
1+
∞
∑
n=1
antn
)
, t > 0 (18)
expressa em termos da maior raiz da equação indicial (17).
2a Solução: para a segunda solução deve-se considerar outros três casos, como a seguir:
i) se s0 > s1 e a diferença s0 − s1 não é um inteiro, a segunda solução é da forma
y1(t) = ts1
(
1+
∞
∑
n=1
bntn
)
, t > 0 (19)
Esse é o caso do exemplo acima, e a condição de que s0 − s1 não é inteiro é usada para garantir
que a função F(s+ k+2) em (12) não se anula, e pode-se obter as relações de recorrências.
ii) se s0 = s1, a segunda solução é da forma
y1(t) = y0(t) ln(t)+ ts0
(
∞
∑
n=1
bntn
)
, t > 0
Esse caso é análogo ao da equação de Euler, em que a primeira solução é ts0 , e, a segunda, obtida
pelo método de redução de ordem, é ts0 ln(t).
iii) se a diferença s0 − s1 é um inteiro positivo, a segunda solução é da forma
y1(t) = cy0(t) ln(t)+ ts1
(
1+
∞
∑
n=1
bntn
)
, t > 0
A constante c pode ser nula, caso em que a solução não tem um termo logarítmico. Isso depende,
mais uma vez, de funções semelhantes à F(s+ k+2) em (12) se anularem ou não.
Cálculo II Notas da Aula 33 5/6
Resta ainda considerar o caso em que as raízes s0 e s1 de (17) são complexas. Então, por serem
complexas conjugadas, a diferença s0 − s1 não é um inteiro, e as séries em (18) e (19) formam um
conjunto funtamental de soluções para (15). É claro que essas séries são funções complexas, mas, como
antes, basta escolher a parte real e a imaginária para obter um conjunto fundamental de soluções reais.
Finalmente, em relação à convergência das séries, deve-se olhar para os coeficentes. Com efeito,
sendo analíticas, as funções t p(t) e t2q(t) possuem expansão em série
t p(t) =
∞
∑
n=0
pntn e t2q(t) =
∞
∑
n=0
qntn
que convergem em algum intervalo da forma [0,r) com r > 0. Nesse caso, todas as séries acima também
comvergem nesse intervalo. É o princípio de que as soluções herdam as propriedades dos coeficientes.
É claro que, se o ponto singular não for a origem, então devem ser feitas as adaptações necessárias.
Ou, então, transladar a singularidade para a origem, como no próximo exemplo.
� Exemplo 3 Verifique que t0 = 1 é ponto singular regular para a equação de Legendre
(1− t2)y′′(t)−2ty′(t)+α(α +1)y(t) = 0 (20)
e decida se existem soluções analíticas em torno desse ponto. �
Solução. É claro que t0 = 1 é um ponto singular, pois o coeficiente de y′′(t) se anula nesse ponto.
Essa singularidade pode ser transladada para a origem com a mudança
t −1 = u e y(t) = Y (u) =Y (t −1)
onde o ponto t0 = 1 corresponde a u0 = 0. Neste caso, como y′(t) = d
du
Y (u), y′′(t) = d2
du2 Y (u) e (1− t2) =
(1− t)(1+ t) =−u(u+2), segue-se que (20) é equivalente a
−u(u+2) d2
du2 Y (u)−2(u+1) d
du
Y (u)+α(α +1)Y (u) = 0 (21)
É claro que u0 = 0 é ponto singular de (21). Em relação à classificação desse ponto, tem-se que
p(u) = −2(u+1)
−u(u+2) e q(u) = α(α+1)
−u(u+2) são tais que
lim
u→0
up(u) = lim
u→0
−2(u+1)
−(u+2)
= 1 e lim
u→0
u2q(u) = lim
u→0
uα(α +1)
−(u+2)
= 0
e, portanto, u0 = 0 é ponto singular regular. Além disso, a equação indicial de (21) é
s(s−1)+ s+0 = s2 = 0
com raízes s0 = s1 = 0. Das observações acima, e para u > 0, segue-se que (21) possui um sistema
fundamental de soluções na forma
Y0(u) = u0
(
1+
∞
∑
n=1
anun
)
e Y1(u) = Y0(u) ln(u)+u0
(
∞
∑
n=1
bnun
)
onde Y0(u) é analítica em u0 = 0, mas, em razão do termo logarítmico, Y1(u) não é analítica nesse ponto.
Como a solução geral de (21) é uma combinação linear dessas duas funções, conclui-se que as soluções
analíticas dessa equação são apenas os multiplos de Y0(u).
Voltando para a variável t, conlcui-se que t0 = 1 é um ponto singular regular para a equaçãode
Legendre, e as soluções analíticas daquela equação são os múltiplos da função y0(t) = Y0(t −1). �
O curioso do método de Frobenius é que o comportamento qualitativo das solução, se elas são ana-
líticas ou não, é fácil de ser determinado. Basta calcular os limites em (16) e, em seguida, as raízes da
equação indicial (17). São cálculos simples, mas já dizem muito sobre o comportmento das soluções.
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