ED_2

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Instituto Superior de Economia e Gestão
Universidade Técnica de Lisboa
Equações Diferenciais
&
Equações às Diferenças
João Nicolau
Preparado para a cadeira de Equações Diferenciais (20 ano) da Licenciatura de
Matemática Aplicada à Economia e Gestão
(versão 2)
2003
Conteúdo
I Equações Diferenciais 6
1 Definições e Resolução de Equações Diferenciais 9
1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira Ordem com Solução
Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Equação Linear (Primeira Ordem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Equação Com Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Equação Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Equação Total Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Equação Redutível a Total Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais de Primeira Ordem . . 31
1.3.1 Equações do Tipo x00 = f (t, x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Equações do Tipo x00 = f (x, x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Aplicação (Modelos Populacionais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Estimação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Existência, Unicidade e Prolongamento das Soluções 43
2.1 Existência e Unicidade das Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Teorema de Existência e Unicidade das Soluções . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Prolongamento das Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Caso Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Aproximações Numéricas 65
3.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Outras Aproximações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Sistemas de Equações Lineares 76
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Sistema de Equações Diferenciais Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Primeiras Noções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 Matriz Fundamental de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3 Resolução do Sistema x0 = Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Sistema de Equações Diferenciais Não Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Estabilidade 111
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Estabilidade de Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2 Método Directo de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Métodos Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.1 Equações Univariadas de Primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.2 Sistemas de Duas ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
II Equações às Diferenças 161
6 Equações Lineares 166
6.1 Equação Linear Primeira Ordem Não homogénea com Coeficientes Variáveis . . . 166
6.2 Equação Linear de ordem n Não homogénea Com Coeficientes Constantes . . . . 168
6.2.1 Equação Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.2 Equação Não Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 Equações Linearizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Sistemas de Equações Lineares Não Homogéneas Com Coeficientes Con-
stante 185
7.1 Caso Homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1.1 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.2 Sistema de Duas Equações (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2 Caso Não Homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8 Estabilidade 202
8.1 Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.1.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.1.3 Estabilidade de Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.1.4 Bacia do Escoadouro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Pontos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.2 Estabilidade dos Pontos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.3 Aplicação I (Problema de Afectação de Turmas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4 Aplicação II (Método Newton-Raphson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Nota Introdutória
Apresentamos neste documento um conjunto de apontamentos que servem de base à cadeira
Equações Diferenciais do 2o ano da licenciatura de MAEG (Matemática Aplicada à Economia e
Gestão/ISEG). Na exposição dos temas procurou-se um equilíbrio entre a abordagem quantita-
tiva, baseada na resolução de equações diferenciais (e às diferenças) e a abordagem qualitativa
das soluções, mais avançada, mas mais importante. O mundo é intrinsecamente não linear
e complexo. Daí que, quando se analisa um fenómeno real através de equações diferenciais
(ou equações às diferenças) não é geralmente possível obter expressões em "forma fechada"das
soluções, i.e., expressões analíticas envolvendo funções simples e transcendentais que represen-
tem a solução de uma equação diferencial (ou de uma equação às diferenças). Nestes casos a
abordagem quantitativa é completamente inútil. Outros casos existem onde a solução, embora
conhecida, é demasiadamente complicada para ser analisada. Mais uma vez, o estudo qual-
itativo das soluções é preferível. A abordagem quantitativa tem, no entanto, a vantagem de
ser mais pedagógica, sobretudo para quem inicia o estudo das equações diferenciais. Assim,
apresentam-se alguns métodos de resolução de equações diferenciais mais importantes ou mais
conhecidas, mas sempre que possível, simplifica-se ou abrevia-se a análise quantitativa. Por
exemplo, não se apresenta a teoria das equações diferenciais lineares de ordem n de coeficientes
constantes, dado que estas podem ser tratadas no âmbito dos sistemas lineares. Apenas a
resolução de sistemas lineares é tratado com algum desenvolvimento, não só porque a teoria é
suficientemente geral mas sobretudo porque vários resultados de sistemas lineares são usados
no estudo (qualitativo) dos sistemas não lineares.
Parte I
Equações Diferenciais
Suponha-se que se pretende estudar um fenómeno (económico, físico, biológico, etc.) ao
longo do tempo. Designamos o fenómeno pela letra x e, como x depende de t (tempo), usare-
mos também a notação x (t). Na maioria dos casos, é possível estabelecer uma relação entre
x0, t e x. Por exemplo, seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias,
de predadores, etc.) no instante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continua-
mente. Seja r a diferença entrea taxa de natalidade e a taxa de mortalidade por unidade de
tempo. A variação da população num certo intervalo de tempo ∆ > 0 pode ser traduzida pela
igualdade (x (t+∆)− x (t)) /x (t) = r∆ ou seja (x (t+∆)− x (t)) /∆ = rx (t) . Com ∆ → 0
tem-se a equação diferencia (ED) x0 = rx. A partir desta relação é fácil (como veremos) obter
a fórmula matemática que estabelece o nível da população em cada instante t, x (t) = x (0) ert,
onde x (0) é o valor da população no momento ou instante zero. Quer dizer, se a dinâmica
infinitesimal de x é bem traduzida pela ED x0 = rx então a população evolui de acordo com a
fórmula x (t) = x (0) ert. Iremos designar esta fórmula por solução. Na maioria dos problemas
mais complicados (leia-se não lineares) não é possível obter a ”fórmula” x (t) . Felizmente, a
teoria das ED está suficientemente desenvolvida para que todas as questões relevantes possam
ser respondidas sem se recorrer à expressão analítica da solução da ED. Questões ”relevantes”
podem ser, por exemplo, qual o comportamento de longo prazo das soluções? Serão periódi-
cas? Tenderão para algum valor? Como reagem a pequenas perturbações? O estudo destas
questões constitui a abordagem qualitativa das equações diferenciais, em oposição à abordagem
quantitativa baseada na resolução das equações diferenciais.
Ao contrário do que sucede na área das ciências exactas, não é geralmente possível traduzir-
se um fenómeno económico ou financeiro ao longo do tempo através de uma relação exacta
(por exemplo, não há nenhuma ED que ajuste de forma perfeita o PIB, um índice da bolsa,
etc.). Embora se admita que as variáveis económicas e financeiras evoluem ao longo do tempo
de acordo com certo padrão, há desvios constantes face ao padrão. Esses desvios devem-se
ao acaso ou, eventualmente, a um conjunto de regras que o investigador não conhece. Um dos
problemas maiores na modelação dos fenómenos económicos consiste exactamente na procura do
padrão subjacente que governa o fenómeno. Retomando o exemplo atrás citado, considerámos
como apropriado a ED x0 = rx para descrever a dinâmica infinitesimal de uma população
genérica. Ora, para r > 0 tem-se limx (t) = +∞ pelo que a ED não poderá traduzir a rigor a
7
dinâmica de uma população humana no longo prazo. Para esta ED haveria que levar em conta
outros factores, como por exemplo, recursos disponíveis, imigração, emigração, etc. Os factores
que individualmente fossem pouco significativos, poderiam ser englobados numa variável erro,
susceptível de ser descrita em termos probabilísticos.
Em econometria, seguem-se usualmente os seguintes passos na construção do modelo es-
tatístico (modelo de regressão): 1) (a) estabelecer as principais relações a partir da teoria
económica e (b) identificar as principais características do fenómeno em estudo; 2) especificar
o modelo; 3) estimar o modelo (a partir dos dados disponíveis) e 4) avaliar os resultados obti-
dos. Estes passos são também válidos na especificação da ED [sobretudo os passos 1) e 2)].
A rigor os fenómenos económicos e sociais não são susceptíveis de serem descritos de forma
determinística. Em modelos mais realistas em tempo contínuo, introduz-se explicitamente uma
componente aleatória que reflecte tudo aquilo que a relação determinística não explica. Estes
modelos são representados por equações diferenciais estocásticas (EDE). Na especificação destas
equações, são inteiramente válidos os passos [1) a 4)] acima referidos.
Embora as ED determinísticas não sejam apropriadas para modelarem fenómenos de na-
tureza económica (pois como se disse, não contemplam a componente aleatória) são, no entanto,
extremamente úteis no âmbito da teoria económica. Além disso, são um bom ponto de partida
para o estudo das EDE, da estabilidade e do caos em sistemas dinâmicos.
* Incompleto *
8
Capítulo 1
Definições e Resolução de Equações
Diferenciais
1.1 Definições
Seja t ∈ I ⊂ R onde I é aberto. Uma equação da forma
F
³
t, x (t) , x0 (t) , x00 (t) , ..., x(n) (t)
´
= 0 (1.1)
é designada por equação diferencial (ED) ordinária de ordem n. A equação (1.1) estabelece uma
relação entre a função incógnita x (t), a variável independente t e as derivadas de x. Dado que
(1.1) se apresenta numa forma implícita esta equação pode representar de facto uma colecção
de ED. Por exemplo, a ED (x0 (t))2−x (t)−1 = 0 conduz a duas equações, x0 (t) =px (t) + 1 e
x0 (t) = −px (t) + 1. Para evitar ambiguidades que a equação (1.1) pode levantar, vai admitir-
se que (1.1) é resolúvel em ordem a x(n) (t); nestas circunstâncias, a equação (1.1) escreve-se na
forma
x(n) (t) = f
³
t, x (t) , x0 (t) , x00 (t) , ..., x(n−1) (t)
´
(1.2)
onde f é definida em I × Rn. A equação (1.2) pode-se escrever equivalentemente na forma
x(n) = f
¡
t, x, x0, x00, ..., x(n−1)
¢
, estando implícita a dependência de x e das suas derivadas face
a t. Um caso particular importante é quando n = 1 (ED de ordem um), i.e., x0 (t) = f (t, x (t))
9
ou x0 = f (t, x) .
Estudam-se também as chamadas ED parciais. Nestas equações, x depende de várias va-
riáveis independentes (para além de t), e estabelece-se uma relação entre x, as variáveis inde-
pendentes e as respectivas derivadas parciais de x (por exemplo, z−∂x (t, z) /∂t = z∂x (t, z) /∂z
é uma ED parcial). As ED parciais não são objecto do presente texto. Doravante a designação
”ED” quer dizer equação ou equações diferenciais ordinárias.
É importante distinguir ED lineares das ED não lineares. Diz-se que a ED (1.2) é linear
se f
¡
t, x, x0, x00, ..., x(n−1)
¢
é linear em x, x0, x00, ..., x(n−1) e não linear no caso contrário. Na
situação n = 1 (ordem um), a ED linear é do tipo x0 = a (t)x + b (t) (a (t) e b (t) podem ser
funções não lineares). Exemplos de ED lineares de primeira ordem: x0 = tx+1, x0 = (sen t)x+t2,
etc. Exemplos de ED não lineares: x0 = x2 + t, x0 =
√
tx+ 1.
Uma ED (ou um sistema de ED) do tipo x0 = f (x) (f não depende de t) designa-se por ED
homogénea ou autónoma.
Suponha-se que certo fenómeno x evolui de acordo com a função (a) x (t) = e3t. Como
x0 (t) = 3e3t = 3x (t) podemos estabelecer (b) x0 = 3x. Nos problemas que iremos tratar a
equação (a) a prior não é conhecida. Normalmente conhece-se a dinâmica infinitesimal dada
por uma equação do tipo (b) e o objectivo consiste em obter uma função do tipo (a), designada
por solução.
Definição 1 (Solução) 1Uma função x (t) é designada uma solução da ED x(n) =
f
¡
t, x, x0, x00, ..., x(n−1)
¢
num intervalo I se
(a) x(n) (t) existe em I;
(b) x (t) satisfaz x(n) (t) = f
¡
t, x (t) , x0 (t) , x00 (t) , ..., x(n−1) (t)
¢
.
Exemplo 1 A função x (t) = ce− sen t, c ∈ R, t ∈ R é solução da ED x0 = −x cos t em R
(note-se f (t, x) = −x cos t). Com efeito,
x0 (t) = ce− sen t (− cos t) = −x (t) cos t = f (t, x (t)) ,
1De igual forma, uma função x (t) é designada uma solução da ED F t, x, x0, x00, ..., x(n) = 0 num intervalo
I se (a) x(n) (t) existe em I e (b) x (t) satisfaz F t, x (t) , x0 (t) , x00 (t) , ..., x(n) (t) = 0.
10
i.e., a solução satisfaz a ED; por outro lado, x0 (t) = ce− sen t (− cos t) existe em R.
Exemplo 2 As funções x1 (t) = e−2t, x2 (t) = et para t ∈ R são soluções da ED de segunda
ordem x00 = −x0 + 2x em R (note-se que f (t, x, x0) = −x0 + 2x). Por exemplo, em relação a
x1 (t), tem-se x01 (t) = −2e−2t e x001 (t) = 4e−2t. Resulta 4e−2t = 2e−2t + 2e−2t [i.e., verifica-
se a alínea b) da definição anterior, x001 (t) = −x01 (t) + 2x1 (t) = f (t, x (t) , x0 (t))]. O mesmo
raciocínio se aplica a x2 (t).
As soluções destes últimos exemplos foram escritas de forma explícita. Poderíamos também
escrever a solução na forma implícita Φ (t, x, c) = 0. Por exemplo, Φ (t, x, c) = x (t)−ce− sen t = 0
é a solução implícita da ED x0 = −x cos t (ver exemplo 1). É sempre preferível apresentar a
solução na forma explícita, por razões óbvias. No entanto, por vezes não se consegue ou não é
fácil escrever a solução explicitamente. Por exemplo, log |t+ 1|− x (t) + log ¯̄ex(t) + 1¯̄+ c = 0
é solução implícitada ED x0 = (ex + 1) / (t+ 1) , t 6= −1 (ver exercícios) e não é possível
explicitar x (t) .
No exemplo 1 vimos que x (t) = ce− sen t, c ∈ R é solução da ED x0 = −x cos t. Como
a constante c pode assumir qualquer valor em R, qualquer das seguintes expressões e− sen t,
−50e− sen t, πe− sen t, 101000e− sen t é uma solução da ED x0 = −x cos t. A definição seguinte
esclarece a natureza destas soluções.
Definição 2 (Solução Geral & Solução Particular) Uma solução de uma ED é designada
por solução geral se inclui todas as soluções da ED. Uma solução particular é uma solução
deduzida a partir da solução geral.
Exemplo 3 Retomando o exemplo 1, pode-se estabelecer que x (t) = ce− sen t, c ∈ R é a
solução geral da ED x0 = −x cos t e, expressões como, e− sen t, −50e− sen t, πe− sen t, 101000e− sen t
são soluções particulares, dado que são deduzidas a partir da solução geral. Na figura 1-1
apresentam-se três soluções particulares2 para t ∈ [0, 10] e, na figura 1-2, apresentam-se 64
soluções particulares, também no mesmo intervalo (a constante c assume agora 64 valores).
Em geral não é fácil resolver-se uma ED, i.e., obter-se a sua solução. Considere-se, por
exemplo, a ED x0 (t) = f (t, x (t)) ou dx (t) = f (t, x (t)) dt (note-se x0 (t) := dx (t) /dt)3 e
2Quais são os valores que a constante c assume?
3a := b significa a é igual a b por definição.
11
Figura 1-1: Três Soluções Particulares da ED x0 = −x cos t
2 4 6 8 10
t
2
4
6
8
x
Figura 1-2: Sessenta e Quatro Soluções Particulares da ED x0 = −x cos t
2 4 6 8 10
t-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
x
12
suponha-se que f é contínua nos seus argumentos. Integrando ambos os termos vem x (t) =R
f (t, x (t)) dt+ const. A dificuldade inicial não está na resolução do integral mas no seguinte
facto: para se obter x (t) (lado esquerdo da equação) é necessário resolver-se o lado direito
da equação; mas o lado direito depende de x (t) que é precisamente o que procuramos obter.
Iremos estudar oportunamente técnicas para resolver certos tipos de ED.
O tipo mais simples de ED de primeira ordem corresponde à ED x0 = f (t) . Integrando
ambos os termos resulta que a solução geral é x (t) = Pt (f (t))+ c, onde Pt designa a primitiva
de f (t). Por exemplo, a solução geral de x0 = t é x (t) = t2/2 + c, c ∈ R. Qualquer que
seja o valor atribuído a c, a função x (t) é sempre uma solução. Suponha-se que c = 1 então
x (t) = t2/2 + 1 é uma solução particular pois foi deduzida a partir da solução geral.
É evidente que para cada valor da constante c definida na solução geral se obtém uma curva
no plano (t, x) . A solução geral representa de facto uma família de curvas planas indexadas ao
parâmetro c. A esta família dá-se o nome de família de curvas integrais (dependente de um
parâmetro). Faremos no entanto a distinção entre a família de curvas integrais e solução geral
(ver observação 3).
Exemplo 4 Considere-se a ED não linear de primeira ordem x0 =
³
−t+√t2 + 4x
´
/2 (*).
Não existe a prior um método para resolver esta ED. No entanto, considere-se o artifício mu-
dança de variável y (t) = y =
√
t2 + 4x. Esta equação expressa em x é x =
¡
y2 − t2¢ /4.
Derivando esta equação em ordem a t, resulta x0 = (2yy0 − 2t) /4 = (yy0 − t) /2 (**). Logo
igualando as equações (*) e (**) vem
(−t+ y) /2 = ¡yy0 − t¢ /2
ou seja y0 = 1 ou ainda y = t+ c1. Como x =
¡
y2 − t2¢ /4 resulta
x (t) =
³
(t+ c1)
2 − t2
´
4
=
1
2
tc1 +
1
4
c21 = tc+ c
2
(para simplificar fizemos c = c1/2). Na figura 1-3 traçam-se algumas soluções particulares
fazendo variar a constante c.
13
Figura 1-3: Soluções Particulares da ED x0 =
³
−t+√t2 + 4x
´
/2
-10 -5 5 10
-20
20
40
60
Observação 1 (Envolventes de Curvas Integrais) A envolvente de uma família de curvas
integrais Φ (t, x, c) = 0 (caso exista) é uma curva g (t, x) = 0 tal que a) em cada ponto da curva
g (t, x) = 0 passa (sendo tangente) um elemento da família Φ (t, x, c) = 0 e b) g (t, x) = 0 é
tangente a todas a todas as curvas integrais. Assim, g (t, x) = 0 é uma curva envolvente se
existir uma função c (t, x) tal que a)
g (t, x) = Φ (t, x, c (t, x)) = 0
e b) os declives de g (t, x) = 0 e Φ (t, x, c) = 0 são iguais em todos os pontos (t, x) . Mostra-se
a seguir que a alínea b) traduz-se na condição Φ0c = 0. Suponha-se que Φ0x 6= 0 e Φ0t 6= 0. Então
g (t, x) = 0 define implicitamente x como função de t através (digamos) de uma expressão do
tipo x = φ (t) . O declive da tangente à curva g (t, x) = 0 é x0 = φ0 (t) e obtém-se a partir da
equação
Φ0t +Φ
0
xx
0 +Φ0c
∂c
∂t
+Φ0c
∂c
∂x
x0 = 0⇒ x0 = − Φ
0
t +Φ
0
c
∂c
∂t
Φ0x +Φ0c ∂c∂x
(1.3)
(pela fórmula de derivação da função implícita). Encarando Φ (t, x, c) = 0 como a família de
curvas integrais (e não como a envolvente) então c é uma constante. Neste caso o declive da
tangente à curva Φ (t, x, c) = 0 obtém-se a partir da equação
Φ0t +Φ
0
xx
0 = 0⇒ x0 = −Φ
0
t
Φ0x
(1.4)
14
Figura 1-4: Envolvente (traço grosso) e Curvas Particulares da ED x0 =
³
−t+√t2 + 4x
´
/2
-10 -5 5 10
-20
20
40
60
Para que g (t, x) = 0 seja a curva envolvente é necessário que os declives (1.3) e (1.4) sejam
iguais, pelo que deve-se exigir Φ0c = 0. Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Determine-se a
envolvente (caso exista) da família de curvas integrais Φ (t, x, c) = x− tc− c2 = 0. Considere-se
Φ (t, x, c (t, x)) = 0 e determine-se uma função c (t, x) que satisfaça as condições expressas nas
alíneas a) e b). Vem
Φ0c = 0⇒ −t− 2c = 0⇔ c = −
t
2
.
Por outro lado,
Φ (t, x, c (t, x)) = 0⇔ x− tc (t, x)− c2 (t, x) = 0.
Com c = − t2 vem
Φ (t, x, c (t, x)) = Φ
µ
t, x,− t
2
¶
= 0⇔ x− t
µ
− t
2
¶
−
µ
− t
2
¶2
= 0⇒ x = −1
4
t2.
Assim x (t) = −14 t2 é a expressão (explícita) da curva envolvente da família de curvas inte-
grais. Na figura 1-4 representa-se a envolvente (a traço grosso) assim como algumas curvas
particulares.
Observação 2 (Soluções Singulares) Designamos soluções singulares de uma ED às soluções
da ED que não podem ser obtidas a partir da família de curvas integrais. Toda a curva envol-
vente que não pode ser obtida a partir da família de curvas integrais é naturalmente uma solução
15
singular. Com efeito, a curva envolvente é uma solução da ED pois em cada ponto da envolvente
Φ (t, x, c (t, x)) = 0 as quantidades t, x e x0 são as mesmas para a envolvente e para a curva da
família. Mas a envolvente pode ser ou não uma curva da família. Se não for é óbvio que tam-
bém não pode ser deduzida a partir da família das curvas integrais e, neste caso, a envolvente
é uma solução singular da ED. Resulta claro também que a existência de soluções singulares
implica a violação da unicidade das soluções (este aspecto será discutido com mais detalhe no
ponto 2.1). Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Vimos na observação 1 que −14t2 é a
envolvente da família de curvas integrais associadas à ED não linear x0 =
³
−t+√t2 + 4x
´
/2.
Por isso φ (t) = −14t2 é também solução (de facto φ0 =
³
−t+
p
t2 + 4φ
´
/2) e, como φ (t) não
pode ser deduzida a partir da solução x (t) = tc + c2 resulta que φ (t) = −14t2 é uma solução
singular.
Observação 3 Iremos mostrar que uma ED linear tem apenas uma única solução geral. Por
seu lado, uma ED não linear, como vimos na observação 2, pode ter uma solução "geral"e
soluções singulares. Para evitar ambiguidades, reservamos o termo solução geral apenas para
ED lineares. Assim, no caso de ED não lineares utilizaremos preferencialmente a designação
família de curvas integrais (dependente de um parâmetro) para designar soluções do tipo x (t) =
tc+ c2 (ver observação anterior).
Na generalidade dos problemas não estamos interessados na solução geral (ou na família
de curvas integrais) mas apenas numa solução particular que satisfaz uma condição inicial. A
determinação de uma solução particular corresponde a seleccionar uma particular função da
família de curvas integrais.
Exemplo 5 Suponha-se que no momento t = 0 dispomos de 1000 Euros para investir a uma
taxa fixa de 5% ao ano capitalizável continuamente.Para determinarmos o valor do capi-
tal no momento t, x (t) (podemos convencionar: t = 1 representa um ano), começamos por
formular o problema a partir de uma ED. Se o capital se valorizasse em tempo discreto, a
variação do capital num certo intervalo de tempo ∆ > 0 poderia ser traduzida pela igual-
dade (x (t+∆)− x (t)) /x (t) = r∆, onde r = 0.05, ou seja (x (t+∆)− x (t)) /∆ = rx (t) .
Como, por hipótese, o capital se valoriza continuamente tem-se, com ∆ → 0 a ED x0 = rx,
ou x0 = 0.05x. Pode-se provar que a solução geral da ED é x (t) = ce0.05t, c ∈ R. Como
16
x (0) = 1000 (no momento t = 0 o capital é 1000 Euros) a constante c determina-se univoca-
mente. Com efeito, x (0) = ce0.05×0 = c = 1000. Por exemplo, o valor do capital ao fim de 10
anos e 6 meses é x (10.5) = 1000e0.05×10.5 = 1690. 5 (Euros).
Definição 3 (PVI) Uma ED x0 = f (t, x) equipada com uma condição do tipo x (t0) = x0
forma um problema de valor inicial (PVI).
No exemplo 5 o PVI corresponde a x0 = 0.05x, x (0) = 1000.
Definição 4 (Solução do PVI) Uma função real x (t) definida em I é designada por solução
do PVI
x0 = f (t, x) , x (t0) = x0, t ∈ I
se,
(i) x0 (t) existe para t ∈ I;
(ii) x0 (t) = f (t, x (t)) , t ∈ I e
(iii) x (t0) = x0, t0 ∈ I.
Exemplo 6 A solução do PVI x0 = −x cos t, x (π) = 3 é x (t) = 3e− sen t. Com efeito, suponha-
se que já se conhece a solução geral x (t) = ce− sen t, c ∈ R, t ∈ R [ver exemplo 1]. Basta verificar
que x (π) = 3⇔ ce− senπ = 3⇔ c = 3.
Observação 4 Temos vindo a assumir que a ED é escalar (ou univariada). Os sistemas de
ED de primeira ordem,
x01 = f1 (t, x1, x2, ..., xn)
x02 = f2 (t, x1, x2, ..., xn)
...
x0n = fn (t, x1, x2, ..., xn)
também se podem escrever na forma x0 = f (t, x) onde, obviamente, x = (x1, x2, ..., xn)T e
f = (f1, f2, ..., fn)
T é uma função definida em I × Rn. As principais definições apresentadas
adaptam-se facilmente ao caso multivariado. Por exemplo, considere-se a definição 4. Uma
17
função x (t) = (x1 (t) , x2 (t) , ..., xn (t))
T definida em I é designada por solução do PVI se as
alíneas (i)-(iii) são válidas. Por exemplo, no caso (iii) x (t0) = x0, t0 ∈ I a condição interpreta-
se da seguinte forma:
x (t0) = x0 ⇔ (x1 (t0) , x2 (t0) , ..., xn (t0))T = (x10, x20, ..., xn0)T .
Também os sistemas de ED de ordem superior a um podem ser escritos na forma x0 = f (t, x)
mediante uma substituição apropriada das variáveis. Voltaremos a esta questão.
Exemplo 7 Mostre-se que
x (t) =
 x1 (t)
x2 (t)
 =
 e2−2e1−t
2e1−t

é solução do PVI  x1
x2
0 =
 x1x2
−x2
 ,
 x1 (1)
x2 (1)
 =
 1
2

em R (note-se que x0 = f (x) onde
f (x) =
 f1 (x)
f2 (x)
 =
 f1 (x1, x2)
f2 (x1, x2)
 =
 x1x2
−x2
 ).
É imediato verificar-se (i), (ii) e (iii). Com efeito,
x01 (t) = 2e
1−te2−2e
1−t
= x1 (t)x2 (t)
x02 (t) = −2e1−t = −x2 (t)
e
x (1) =
 x1 (1)
x2 (1)
 =
 e2−2e1−1
2e1−1
 =
 1
2
 .
18
1.2 Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira
Ordem com Solução Fechada
1.2.1 Equação Linear (Primeira Ordem)
A ED x0 = f (t, x) designa-se por equação linear de primeira ordem não autónoma (ou não
homogénea) se f (t, x) = a (t)x+ b (t). Tem-se,
Teorema 1 Considere-se a ED x0 = a (t)x+ b (t) onde a (t) e b (t) são funções contínuas em
I. Então a solução geral em I é
x (t) = eξ(t)
µZ
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¶
, t ∈ I (1.5)
onde ξ (t) =
R
a (t) dt.
Dem. Em primeiro lugar note-se que as expressões ξ (t) e
R
b (t) e−ξ(t)dt estão bem definidas
em I dado que a (t) e b (t) são funções contínuas nesse intervalo. Seja x (t) uma solução de
x0 (t) = a (t)x (t) + b (t) .
Multipliquemos ambos os termos desta equação por e−ξ(t). Temos
x0 (t) e−ξ(t) = a (t)x (t) e−ξ(t) + b (t) e−ξ(t)
x0 (t) e−ξ(t) − a (t)x (t) e−ξ(t) = b (t) e−ξ(t)³
x (t) e−ξ(t)
´0
= b (t) e−ξ(t)
x (t) e−ξ(t) =
Z
b (t) e−ξ(t)dt+ c
x (t) = eξ(t)
µZ
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¶
.
Provámos que qualquer solução x (t) tem a forma (1.5). Reciprocamente, qualquer função da
forma (1.5) é solução de x0 = a (t)x+b (t) . Com efeito, por derivação e considerando o teorema
19
fundamental do cálculo integral,
dx (t)
dt
=
d
¡
eξ(t)
£R
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¤¢
dt
=
d
¡
eξ(t)
¢
dt
µZ
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¶
+ eξ(t)
d
¡R
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¢
dt
= a (t) eξ(t)
µZ
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¶
| {z }
x(t)
+ eξ(t)b (t) e−ξ(t)
= a (t)x (t) + b (t) .¥
Observação 5 É fácil verificar que a solução do PVI x0 = a (t)x+b (t) , x (t0) = x0 com t0 ∈ I
é
x (t) = eξ(t)
µZ t
t0
b (s) e−ξ(s)ds+ c
¶
, c = x0e
−ξ(t0). (1.6)
Exemplo 8 Resolva-se o PVI x0 = (sen t)x+sen t, x (0) = 1. Como a (t) = sen t e b (t) = sen t
são funções contínuas em R, a solução está definida em R. Considere-se em primeiro lugar,
ξ (t) =
Z
(sen t) dt = − cos t,Z
b (t) e−ξ(t)dt =
Z
(sen t) e−ξ(t)dt
=
Z
(sen t) ecos tdt
= −ecos t.
A solução geral vem então,
x (t) = eξ(t)
µZ
b (t) e−ξ(t)dt+ c
¶
= e− cos t
¡−ecos t + c¢
= −1 + e− cos tc
Considerando agora x (0) = 1, tem-se
x (0) = 1⇔ −1 + e− cos 0c = 1⇔ c = 2e.
20
Figura 1-5: Curva x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ [0, 10]
2 4 6 8 10
t
2
4
6
8
10
12
14
x
Figura 1-6: Curva x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ [0, 200]
50 100 150 200
t
2
4
6
8
10
12
14
x
Assim, a solução do PVI é x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ R [poderíamos também ter considerado
a equação (1.6)]. A representação gráfica de x (t) no intervalo t ∈ [0, 10] é dada na figura 1-5;
a mesma representação mas no intervalo t ∈ [0, 200] é dada na figura 1-6. Observe-se que a
solução é periódica.
Exemplo 9 Considere-se a ED x0 = −x/t+ 2, t > 0. A solução geral é x (t) = t+ c/t, t > 0.
O facto de x (t) não estar definido para t = 0 não causa surpresa pois a (t) = −1/t não é
contínua no ponto t = 0. Com efeito, o teorema 1 só garante a existência de uma única solução
de x0 = −x/t + 2 no intervalo onde a (t) = −1/t e b (t) = 2 são contínuas. É no entanto
interessante observar que a ED com a condição inicial x (1) = 1 tem por solução particular
21
x (t) = t e esta solução está definida para t ∈ R. Conclusão: se a (t) e b (t) forem contínuas em
I a solução de um PVI está necessariamente bem definida em I. Pode no entanto suceder que a
solução exista para outros pontos não contidos em I. Mas, se a solução não está definida para
certos valores de t é porque nesses mesmos pontos a (t) e/ou b (t) não são contínuas.
1.2.2 Equação Com Variáveis Separáveis
A ED x0 = f (t, x) designa-se por equação com variáveis separáveis se f (t, x) = f1 (t) f2 (x) . Ou
seja, nestas condições, f (t, x) pode decompor-se no produto de duas funções, uma dependendo
apenas de t e a outra dependendo apenas de x. Suponha-se que f1 (t) e f2 (x) são contínuas em
I1 e I2, respectivamente, e f2 (x) 6= 0 em I2. Tem-se x0 = f1 (t) f2 (x)⇔ dx/dt = f1 (t) f2 (x) e,
portanto, com f2 (x) 6= 0 em I2,
dx
f2 (x)
= f1 (t) dt ou
dx (t)
f2 (x (t))
= f1 (t) dt (1.7)
Integrando ambos os termos da última equação com respeito a t, obtém-se a solução da ED em
I1 Z t 1
f2 (x (s))
dx (s) =
Z t
f1 (s) ds+ c
onde c é uma constante arbitrária. A equação anterior pode-se escrever na forma
Z x(t) 1
f2 (y)
dy =
Z t
f1 (s) ds+ c, (1.8)
ou ainda Z
1
f2 (x)
dx =
Z
f1 (t) dt+ c. (1.9)
Mostre-se que (1.8) é solução da ED. Definindo
F (t) = Φ (t, x (t) , c) =
Z x(t) 1
f2 (y)
dy −
Z t
f1 (s) ds− c = 0
22
vem, pela fórmula da derivação da função implícita, dF (t) /dt = ∂Φ (t, x, c) /∂t+∂Φ (t, x, c) /∂x dx/dt =
0 e pelo teorema fundamental do cálculo integral,
−f1 (t) + 1
f2 (x)
x0 = 0
isto é, x0 = f1 (t) f2 (x) . Resulta imediato que o PVI x0 = f1 (t) f2 (x) , x (t0) = x0 tem por
solução4 Z x(t)
x0
1
f2 (y)
dy =
Z t
t0
f1 (t) dt. (1.10)
Observação 6 Suponha-se que f2 (x) se anula no ponto a, i.e. f2 (a) = 0. Então x (t) ≡ a é
também solução da equação pois a0 = 0 e f (t, a) = 0. Se a solução obtida em (1.8) [ou (1.9)] não
contemplar como solução particular x (t) ≡ a então esta solução foi perdida no processo formal
de separação de variáveis (note-se que a equação (1.7) apenas está definida para f2 (x) 6= 0).
Exemplo10 Considere-se x0 = t
√
x. A função f (t, x) pode decompor-se no produto f1 (t) f2 (x)
onde f1 (t) = t e f2 (x) =
√
x, x ≥ 0. Aplicando a fórmula (1.9) vem R 1√
x
dx =
R
tdt + c i.e.
2
√
x = 12t
2 + c . A solução na forma explícita é x (t) = 116 t
4 + 14 t
2c + 14c
2. Observa-se que
x (t) ≡ 0 é também solução pois f2 (0) =
√
0 = 0.
Exemplo 11 Considere-se o PVI x0 = x2, x (0) = 1. Aplicando a fórmula (1.9) vem
R
1
x2 dx =R
dt + c ou seja − 1x = t + c ou ainda x (t) = −1/ (t+ c) . Para determinar c faz-se x (0) =
−1/ (0 + c) = 1 o que implica c = −1. A solução do PVI é portanto x (t) = 1/ (1− t) para
−∞ < t < 1. Observe-se que a solução ”explode” em tempo finito, i.e. limt↑1 x (t) = +∞.
ED com soluções deste tipo, geralmente não servem para modelarem fenómenos naturais e
económicos. Uma discussão mais ampla sobre esta problemática é apresentada no ponto 2.1.
1.2.3 Equação Homogénea
A ED x0 = f (t, x) (com f contínua, como habitualmente) designa-se por equação homogénea
se f (t, x) é uma função homogénea de grau zero (em relação a t e x). Recorda-se que f (t, x)
é uma função homogénea de grau n em relação às variáveis t e x se se tiver para todo o
4Com efeito, seja F a primitiva de 1/f2. A solução (1.10) pode-se escrever na forma F (x (t)) = F (x0) +
t
t0
f1 (t) dt e é imediato que F (x (t0)) = F (x0) .
23
λ, f (λt, λx) = λnf (t, x) . As funções homogéneas de grau zero possuem a particularidade
de f (t, x) ser igual a f (1, x/t) (t 6= 0). Basta considerar n = 0 e λ = 1/t na expressão
f (λt, λx) = λnf (t, x) . Assim, se f é homogénea de grau zero vem
f (t, x) = f
³
1,
x
t
´
. (1.11)
Sob a hipótese (1.11) a ED inicial pode-se escrever na forma x0 = f (1, x/t) . Considere-se a
mudança de variável y = x/t. A partir das relações x = yt e x0 = y0t+y obtemos uma nova ED
y0t+ y = f (1, y) que é uma ED com variáveis separáveis. Ponha-se y0t+ y = f (1, y) na forma
y0
f (1, y)− y =
1
t
.
Depois de se integrar ambos os termos da equação vem
Z
1
f (1, y)− ydy =
Z
1
t
dt+ c
ou ainda Z
1
f (1, y)− ydy = log |t|+ c. (1.12)
Esta equação fornece a solução da ED y0t + y = f (1, y) . Para obter a solução da ED original
basta substituir na solução obtida em (1.12) y por x/t.
Exemplo 12 Considere-se x0 = f (t, x) =
¡
x+ 2te−x/t
¢
/t, t > 0. Verifique-se em primeiro
lugar que f (t, x) é homogénea de grau zero:
f (λt, λx) =
λx+ 2 (λt) e−(λx)/(λt)
λt
= λ0
x+ 2te−x/t
t
= f (t, x) .
Logo com λ = 1/t e y = x/t fica
f
³
1,
x
t
´
=
x/t+ 2 (t/t) e−(x/t)/1
1
= y + 2e−y = f (1, y) .
24
Figura 1-7: x (t) = (log (2 log t+ 1)) t para t > e−
1
2
1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
6
8
Aplicando a fórmula (1.12) resulta
Z
1
y + 2e−y − ydy = log t+ c⇔
Z
1
2e−y
dy = log |t|+ c
e a solução na forma implícita é
1
2
ey = log t+ c.
A solução da ED original na forma implícita é
1
2
ex/t = log t+ c.
Resolvendo em ordem a x vem x (t) = (log (2 log t+ 2c)) t com t tal que 2 log t + 2c > 0.
Suponha-se agora que a condição inicial é x (1) = 0. Assim x (1) = (log (2 log 1 + 2c)) 1 =
(log (2c)) = 0 ⇒ 2c = 1, i.e. c = 1/2. Assim a solução do PVI é x (t) = (log (2 log t+ 1)) t
para t > e−
1
2 . O intervalo
³
e−
1
2 ,+∞
´
designa-se por intervalo de existência da solução e, como
veremos oportunamente, o intervalo é maximal. Na figura 1-7 representa-se a solução do PVI.
1.2.4 Equação Total Exacta
Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm
derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R.
25
Definição 5 A ED M (t, x) dt +N (t, x) dx = 0 designa-se por ED total exacta se existe uma
função F : R ⊆ R2 → R tal que
dF (t, x) =M (t, x) dt+N (t, x) dx.
A solução na forma implícita é naturalmente F (t, x) = c. Colocam-se duas questões:
primeiro, em que condições existe esta função F?; segundo, como determinar F , ou seja,
como determinar a solução? O teorema seguinte e a respectiva demonstração esclarecem estas
questões.
Teorema 2 Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo
R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. Então a
condição
∂M (t, x)
∂x
=
∂N (t, x)
∂t
. (1.13)
implica a existência de uma função F : R ⊆ R2 → R (designada primitiva da diferencial) tal
que
dF (t, x) =M (t, x) dt+N (t, x) dx, (t, x) ∈ R. (1.14)
Reciprocamente, se existe F nas condições de (1.14) então verifica-se (1.13).
Dem. Suponha-se que (1.14) é um diferencial total de F . Então dF (t, x) = F 0tdt + F 0xdx
e, como se sabe do cálculo diferencial, necessariamente F 00tx = F 00xt se F 00tx e F 00xt são funções
contínuas. Mas F 00tx ≡ ∂M(t,x)∂x e F 00xt ≡ ∂N(t,x)∂t são funções contínuas, por hipótese. Logo (1.13)
é uma condição necessária para que M (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 seja um diferencial total. Falta
mostrar o recíproco, i.e. que (1.13) é suficiente para que exista uma função F nas condições
do teorema. Em particular dever-se-á ter F 0t = M e F 0x = N. Suponha-se válida a condição
(1.13). Considere-se uma função F tal que F 0t (t, x) = M (t, x) . Tem-se, integrando em ordem
à variável t,
F (t, x) =
Z t
t1
M (u, x) du+ φ (x)
onde t1 é a abcissa dum ponto arbitrário no domínio de existência da solução e φ (x) é uma
função com derivada contínua em R (constante para a derivação em t). Observe-se que
26
∂F (t, x)
∂x
=
Z t
t1
∂M (u, x)
∂x
du+ φ0 (x) .
A derivada parcial F 0x é igual a N se e só se
∂F (t, x)
∂x
= N (t, x)⇔
Z t
t1
∂M (u, x)
∂x
du+ φ0 (x) = N (t, x)
mas como ∂M∂x =
∂N
∂t vem
R t
t1
∂N(u,x)
∂t du+ φ
0 (x) = N (t, x) i.e. [N (u, x)]tt1 + φ
0 (x) = N (t, x) ou
ainda N (t, x)−N (t1, x) + φ0 (x) = N (t, x) e, portanto, φ0 (x) = N (t1, x) . Resulta
φ (x) =
Z x
x1
N (t1, z) dz
(x1 é uma constante arbitrária). Consequentemente,
F (t, x) =
Z t
t1
M (u, x) du+ φ (x) =
Z t
t1
M (u, x) du+
Z x
x1
N (t1, z) dz (1.15)
Se tomarmos o diferencial desta última expressão juntamente com a equação (1.13) chega-se a
(1.14)5, isto é, provámos que sob a hipótese (1.13) existe uma função F , dada pela expressão
(1.15), tal que o diferencial é dF (t, x) =M (t, x) dt+N (t, x) dx.¥
O teorema anterior e a respectiva demonstração permite estabelecer o seguinte: 1) a ED
M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 é exacta sse a condição (1.13) se verifica; 2) a solução da ED é
definida implicitamente por F (t, x) = c, c ∈ R i.e.
Z t
t1
M (u, x) du+
Z x
x1
N (t1, z) dz = c. (1.16)
Exemplo 13 Considere-se o PVI
¡
et + 2x
¢
dx+etxdt = 0, x (0) = 1. A ED não é de variáveis
separáveis nem homogénea. No entanto, com N = et + 2x, M = etx tem-se
∂M
∂x
=
∂N
∂t
= et
5Note-se que a derivada de t
t1
M (u, x) du +
x
x1
N (t1, z) dz em ordem a t é M (t, x) e em ordem a x é
t
t1
(∂M (u, x) /∂x) du+N (t1, x) =
t
t1
(∂N (u, x) /∂t) du+N (t1, x) = N (t, x) . Logo o diferencial da expressão
(1.15) é efectivamente dF =M (t, x) dt+N (t, x) dx.
27
e, portanto, a ED é total exacta (i.e. a igualdade ∂M/∂x = ∂N/∂t garante a existência de
uma função F nos termos da definição 5). Aplicando a fórmula (1.16), a solução (ou família
de curvas integrais) na forma implícita é
Z t
t1
euxdu+
Z x
x1
¡
et1 + 2z
¢
dz = c⇔ etx− et1x+ et1x+ x2 − x1et1 − x21 = c
ou etx (t)+x (t)2 = c (note-se que x1et1 e x21 são constantes arbitrárias; podemos fazer x1 = 0).
Atendendo a x (0) = 1⇔ e0+1 = c a solução do PVI na forma implícita é etx (t)+ x (t)2 = 2.
1.2.5 Equação Redutível a Total Exacta
Considere-se a ED M (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 ondeM (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo
rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo
R. Vimos no ponto anterior que a condição (1.13) é necessária e suficiente para que a ED
M (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 seja uma ED total exacta. Suponha-se agora que
∂M (t, x)
∂x
6= ∂N (t, x)
∂t
.
Definição 6 Uma ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 diz-se redutível a uma ED total exacta se
existir uma função não nula µ (t, x) tal que
µ (t, x)M (t, x) dt+ µ (t, x)N (t, x) dx = 0 (1.17)é uma ED total exacta. A função µ (t, x) designa-se factor integrante.
A situação é, portanto, a seguinte: a ED M (t, x) dt +N (t, x) dx = 0 não é uma ED total
exacta e não se sabe resolver; por outro lado (1.17) é uma ED total exacta e sabe-se resolver.
De facto, com M̃ (t, x) = µ (t, x)M (t, x) e Ñ (t, x) = µ (t, x)N (t, x) a solução de (1.17) é, pela
fórmula (1.16), Z t
t1
M̃ (u, x) du+
Z x
x1
Ñ (t1, z) dz = c. (1.18)
Deixa-se como exercício mostrar que (1.18) é solução da ED (1.17). Impõem-se as seguintes
questões: a) a solução de (1.17), i.e. (1.18), é também solução da ED inicial M (t, x) dt +
28
N (t, x) dx = 0? b) como determinar µ? A resposta a a) é positiva. Com efeito, seja x (t)
a solução da ED (1.17) (considere-se Φ (t, x, c) = 0, no caso de não ser possível obter uma
solução explícita). Logo x (t) satisfaz a ED µ (t, x)M (t, x) dt + µ (t, x)N (t, x) dx = 0 ou seja
µ (t, x) (M (t, x) dt+N (t, x) dx) = 0. Como µ é uma função não nula, resulta que x (t) satisfaz
também a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 e, portanto, x (t) é solução da ED M (t, x) dt +
N (t, x) dx = 0.6
Relativamente à alínea b) iremos mostrar como determinar µ nos casos em que µ depende
apenas de t ou apenas de x (outros casos são possíveis - ver exercícios). Para que a ED (1.17)
seja uma ED total exacta é necessário e suficiente que
∂ (µ (t, x)M (t, x))
∂x
=
∂ (µ (t, x)N (t, x))
∂t
,
ou seja
µ
∂M
∂x
+
∂µ
∂x
M = µ
∂N
∂t
+
∂µ
∂t
N. (1.19)
A equação (1.19) é uma ED parcial com função desconhecida µ. A solução de (1.19) é, em
geral, difícil de obter. No entanto, se µ = µ (t) (µ depende apenas de t) ou µ = µ (x) (depende
apenas de x) então (1.19) é uma ED ordinária com solução conhecida. Formule-se a hipótese
Ht: µ = µ (t). Nestas circunstâncias, a equação (1.19) pode escrever-se na forma
µ
∂M
∂x
= µ
∂N
∂t
+
dµ
dt
N
ou ainda na forma
1
µ
dµ = h1 (t) dt, h1 (t) =
∂M
∂x − ∂N∂t
N
(1.20)
A equação (1.20) é uma ED com variáveis separáveis (com função incógnita µ) com solução
µ = e h1(t)dt.
6No entanto, algumas soluções podem perder-se. Por exemplo, se o factor integrante for µ = 1/x, x 6= 0 e
uma das soluções da ED M (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 for x (t) ≡ 0, pode suceder que a solução da ED (1.17) não
revele a solução x (t) ≡ 0.
29
No caso Hx: µ = µ (x) pode-se mostrar que
µ = e h2(x)dx, h2 (x) =
∂N
∂t − ∂M∂x
M
.
Existem outras hipóteses simplificadoras. Por exemplo, µ = µ (xy) ou µ = (x+ y) .
Num exercício concreto, µ é desconhecido pelo que não se sabe de que forma µ depende
de t e/ou x (ou mesmo se µ existe nas condições da definição 6). Nestas circunstâncias, pode-
se seguir o seguinte procedimento quando se procura determinar µ: 1) formular a hipótese
Ht: µ = µ (t) ; 2) calcular h1; 3) se h1 depender apenas de t, aceita-se a hipótese Ht e o factor
integrante é µ = exp
¡R
h1 (t) dt
¢
. A solução da ED é dada pela expressão (1.18). Se h1 depende
de x rejeita-se Ht e passa-se ao passo 4): formular a hipótese Hx: µ = µ (x) ; 5) calcular h2; 6)
se h2 depender apenas de x, aceita-se a hipótese Hx e o factor integrante é µ = exp (h2 (x) dx) .
A solução da ED é dada pela expressão (1.18). Se h2 depende de t deve-se procurar outro
método de resolução (ou, eventualmente, investigar outras hipóteses relativas a µ).
Exemplo 14 Considere-se a ED
¡
x+ tx2
¢
dt− tdx = 0. Tem-se M = x+ tx2 e N = −t. Como
∂M/∂x = 1+2tx 6= ∂N/∂t = −1 a ED não é total exacta. Analise-se a hipótese Ht: µ = µ (t) .
Tem-se
h1 =
∂M
∂x − ∂N∂t
N
=
1 + 2tx− (−1)
−t = −2
1 + tx
t
.
Como h1 depende explicitamente de t e x (devia depender apenas da variável t) a hipótese Ht
não é válida. Investigue-se a hipótese Hx: µ = µ (x) . Tem-se
h2 =
∂N
∂t − ∂M∂x
M
=
−1− 1− 2tx
x+ tx2
=
−2 (1 + tx)
x (1 + tx)
= −2
x
e a hipótese Hx é válida, pelo que o factor integrante é
µ = e h2(x)dx = e −
2
x
dx = e−2 log x =
1
x2
.
30
Assim, multiplicando a ED inicial por 1/x2 obtém-se a ED total exacta¡
x+ tx2
¢
x2
dt− t
x2
dx = 0 ou
µ
1
x
+ t
¶
| {z }
M̃
dt− t
x2|{z}
Ñ
dx = 0,
cuja solução é
Z t
t1
M̃ (u, x) du+
Z x
x1
Ñ (t1, z) dz = c i.e.
Z t
t1
µ
1
x
+ u
¶
du+
Z x
x1
µ
− t1
z2
¶
dz = c
ou ainda 2t+t
2x−2t1−t21x
2x − t1 x−x1xx1 = c. Com t1 = 0 vem 2t+t
2x
2x = c ou seja (na forma explícita)
x (t) = 2t
2c−t2 .
1.3 Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais
de Primeira Ordem
Certas ED de ordem superior à primeira podem ser transformadas numa ED de primeira ordem
através de uma mudança de variáveis. As ED lineares de ordem superior a um são abordadas
no ponto 4.1.
1.3.1 Equações do Tipo x00 = f (t, x0)
Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de x. Considerando
a mudança de variável y (t) = x0 (t) tem-se y0 = f (t, y) que é uma ED de primeira ordem.
Resolvendo a ED y0 = f (t, y) obtém-se y (t) que, por integração dá x (t) .
Exemplo 15 Considere-se a ED tx00−x0 = t2et que verifica as condições x (1) = −1 e x0 (1) =
0. Considerando a mudança de variável y = x0 vem ty0 − y = t2et, i.e.,
y0 =
1
t
y + tet, y (1) = 0
que é uma ED linear de primeira ordem.
31
Aplicando a fórmula (1.6) vem
ξ (t) =
Z
a (t) dt =
Z
1
t
dt = log t
y (t) = eξ(t)
= t
µZ t
1
sese− log sds+ 0
¶
= t
µZ t
1
esds
¶
= t
¡
et − e¢ .
Assim
x (t) =
Z
y (t) dt, x (1) = −1
=
Z
t
¡
et − e¢ dt
= tet − et − 1
2
t2e+ c
e, portanto, x (1) = −1⇒ c = 12e− 1.
Observação 7 A ED x(n) = f
¡
t, x(n−1)
¢
sem x resolve-se de forma similar, considerando a
mudança de variável y (t) = x(n−1) (t) .
1.3.2 Equações do Tipo x00 = f (x, x0)
Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de t. Considerando a
mudança de variável y (x) = x0 (t) tem-se
x00 (t) =
d (y (x (t)))
dt
=
dy
dx
dx
dt
= y0 (x) y (x) .
Logo a ED x00 = f (x, x0) pode escrever-se na forma
y0 (x) y (x) = f (x, y)
32
que é uma ED de primeira ordem (com variável independente x). Resolvendo esta ED obtém-se
y (x). Dada a relação y (x) = x0 (t) , obtém-se x (t) resolvendo
1
y (x)
dx = dt
que é uma ED de variáveis separáveis.
Exemplo 16 Resolva-se a ED x00 = 2x0x. Com a mudança de variável y (x) = x0 (t) obtém-se
y0y = 2yx, i.e. y0 = 2x (ED com variável independente x) cuja solução é y = x2 + c1. Para
obter x (t) resolve-se agora a ED
1
x2 + c1
dx = dt
cuja solução, na forma implícita é
arctg
³
x√
c1
´
√
c1
= t+ c2.
1.4 Aplicação (Modelos Populacionais)
1.4.1 Introdução
Seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias, de predadores, etc.) no in-
stante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continuamente7. Seja r (t, x) a difer-
ença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade (por unidade de tempo) no momento
t. A variação da população num certo intervalo de tempo ∆ > 0 pode ser traduzida pela igual-
dade (x (t+∆)− x (t)) /x (t) = r (t, x (t))∆ ou seja (x (t+∆)− x (t)) /∆ = r (t, x (t))x (t) .
Com ∆ → 0 tem-se a ED x0 = r (t, x)x. No caso r (t, x) = r (constante) a equação x0 = rx
é conhecia como a equação de Malthus. Sabendo-se o valor da população x0 num dado mo-
mento t0, é imediato concluir-se que a solução (do PVI) é x (t) = x0er(t−t0). Toda a espécie
que satisfaça a lei de Malthus cresce exponencialmente no tempo. O modelo, apesar de atrac-
tivo (pela sua simplicidade) é pouco realista. Se tomarmos para r o valor 0.02 para dados
7Na verdade x (t) varia discretamente com t pelo que x (t) não é uma função diferenciável (nem mesmo con-
tínua) com respeito a t. No entanto, se o valor da população é alto a variação de uma unidade tem pouca expressão
comparada com o valor da população. Nestas circunstâncias pode-se admitir, com um erro negligenciável, que
x (t) é uma função contínua e mesmo diferenciável.
33
anuais (estimativa obtida a partir de dados da população dos EUA) qualquer previsão a longo
prazo é desprovida de significado8. Mesmo assim, o modelo de Malthus pode aproximar ra-
zoavelmente o crescimento de populações de dimensão reduzida (ver Braun, 1993). Todavia,
quando o valor da populaçãoexcede certo limiar os indivíduos passam a competir entre si pelos
recursos disponíveis (espaço, recursos naturais e alimentação). Esta competição abranda ou
trava o crescimento da população. Para contemplar este efeito é necessário definir na ED um
termo (função) tal que, quando x é alto ou muito alto, x0 deve abrandar ou diminuir. Uma
possibilidade consiste em adicionar o termo −bx2 (b > 0) na equação de Malthus, ficando
x0 = r1x− bx2, r, b > 0.
Esta equação, designada por equação logística, foi proposta pelo matemático e biologista Ver-
hulst em 1837. Normalmente o parâmetro b é pequeno, comparado com o de r1. Assim, quando
o valor da população é baixo a quantidade −bx2 é negligenciável e a população evolui aproxi-
madamente de acordo com a regra x0 = r1x. À medida que x aumenta, o termo −bx2 passa a
exercer um efeito de contracção no crescimento da população. A resolução da equação logística,
embora fácil é trabalhosa. Trata-se de uma ED com variáveis separáveis,
1
r1x− bx2dx = dt
cuja família de curvas integrais é
Z
1
r1x− bx2dx =
Z
dt+ c.
Para primitivar a função 1
r1x−bx2 em ordem a x é necessário decompor a função em fracções
simples. Deixa-se como exercício verificar que
1
r1x− bx2 =
−1
r1
b
bx− r1 +
1
r1
1
x
8Por exemplo, se a população mundial crescer de acordo com o modelo x0er(t−t0), r = 0.02, no ano de 2515 a
área disponível para cada habitante no planeta, incluindo mares, rios e lagos será inferior a um metro quadrado
(ver Braun, 1993, pp. 26-27).
34
Figura 1-8: Cronograma da População dos EUA (em milhões de Hab.)
0
50
100
150
200
250
300
18
00
18
10
18
20
18
30
18
40
18
50
18
60
18
70
18
80
18
90
19
00
19
10
19
20
19
30
19
40
19
50
19
60
19
70
19
80
19
90
20
00
e Z µ−1
r1
b
bx− r1 +
1
r1
1
x
¶
dx = ... = − 1
r1
log
¯̄̄̄
bx− r1
x
¯̄̄̄
.
A família de curvas integrais na forma explícita é
x (t) =
r1
b− e−r1tc1 , (c1 é uma constante).
Dada a condição inicial x (0) = x0, a solução do PVI é
x (t) =
x0r1
bx0 + e−tr1 (r1 − bx0) .
Vai analisar-se a qualidade dos modelos x0 = rx e x0 = rx − bx2 com base nos dados
da população dos EUA. Na figura 1-8 apresenta-se a evolução da população dos EUA desde
1800. Existe claramente uma tendência crescente, porém a ritmos decrescentes, como se pode
observar na figura 1-9, onde se apresenta a variação relativa da população ao longo do tempo
(log (x (t+∆) /x (t)) ≈ (x (t+∆)− x (t)) /x (t)). Se o modelo de Malthus fosse correcto a
expressão r = log (x (t+∆) /x (t)) /∆ deveria ser (aproximadamente) constante ao longo dos
anos.
35
Figura 1-9: Variação Relativa da População (log (x (t+∆) /x (t)))
0.09
0.14
0.19
0.24
0.29
0.34
18
10
18
20
18
30
18
40
18
50
18
60
18
70
18
80
18
90
19
00
19
10
19
20
19
30
19
40
19
50
19
60
19
70
19
80
19
90
20
00
1.4.2 Estimação dos Parâmetros
Uma das fases mais importantes em qualquer estudo empírico consiste na estimação dos parâmet-
ros dos modelos especificados. Esta tarefa apenas pode ser resolvida cabalmente no contexto
de um modelo probabilístico, que exigiria, no nosso caso, acrescentar-se às ED um termo es-
tocástico construído a partir dos chamados processos de Wiener (ou movimentos Brownianos).
Como não pode entrar-se nessa área, vai apresentar-se um procedimento mecânico de estimação
dos parâmetros9.
Convencione-se: t = 0⇔ ano 1800; t = 1⇔ ano 1810 e assim sucessivamente. Em qualquer
dos modelos a condição inicial pode ser fixada como x (0) = 5.3. O modelo de Mathus vem
então
xM (t) = 5.3e
rt.
A questão é estimar o parâmetro desconhecido r. Devemos escolher r de tal forma que a diferença
entre os valores efectivamente observados x (t) e o modelo xM (t) seja mínima. Trata-se então
9Poderá provar-se que os resultados que se obtêm por este método mecânico são idênticos aos que se al-
cançariam se se usasse o método de estimação dos Mínimos Quadrados Condicionados, o qual fornece estimadores
consistentes em sentido probabilístico.
36
de um problema de minimização em ordem a r, i.e.,
min
r>0
d


x (1)
x (2)
...
x (n)
 ,

xM (1)
xM (2)
...
xM (n)


onde d (a, b) representa uma distância entre os vectores a e b e n representa o número de obser-
vações disponíveis. Considerando o critério habitual (minimização das diferenças quadráticas10)
d (a, b) = (a− b)T (a− b) =Pt (at − bt)2 o problema de optimização é então
min
r>0
20X
t=1
(x (t)− xM (t))2 = min
r>0
20X
t=1
¡
x (t)− 5.3ert¢2 .
Qualquer programa de estatística (por ex., GAUSS, TSP, EXCEL11) resolve facilmente este
problema de optimização. A solução é r̂ = 0.20712 (taxa de crescimento na unidade 10 anos -
note-se que t = 1 representa 10 anos; numa base anual a taxa de crescimento é de 0.020712)12.
Uma medida do erro associado ao modelo é
20X
t=1
³
x (t)− 5.3er̂t
´2
= 908.9.
Relativamente ao modelo logístico o problema de minimização é
min
r1,b>0
20X
t=1
(x (t)− xL (t))2 = min
r1,b>0
20X
t=1
µ
x (t)− 5.3r1
b5.3 + e−tr1 (r1 − b5.3)
¶2
10O estimador dos mínimos quadrados do modelo de regressão clássico (para modelos discretos) baseia-se neste
princípio, como se verá na cadeira de econometria.
11Opção Solver em Tools (escolher Add-Ins caso a opção não esteja disponível).
12Uma estimativa alternativa pode-se obter tendo em conta que log xM (t) = log 5.3+ rt. O problema de opti-
mização é agora minr>0
20
t=1 (log x (t)− log xM (t))2 = minr>0 20t=1 (log x (t)− log 5.3− rt)2 . É fácil deduzir,
aplicando a condição de primeira ordem do problema de optimização, que
r̂ =
20
t=1 log xM − n log 5.3
20
t=1 ti
= 0.23.
Esta estimativa não coincide com a anterior. A estimativa "correcta"dependeria do modelo probabilístico que
se considerasse. Por exemplo, se o modelo fosse log xM (t) = log 5.3+ rt+ e (t) sendo e (t) uma variável aleatória
com "boas propriedades"então a estimativa "correcta"seria r̂ = 0.23. Se o modelo fosse xM (t) = 5.3ert + e (t) a
estimativa "correcta"seria r̂ = 0.20712.
37
Figura 1-10: Ajustamento: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico
0
50
100
150
200
250
300
350
400
18
00
18
10
18
20
18
30
18
40
18
50
18
60
18
70
18
80
18
90
19
00
19
10
19
20
19
30
19
40
19
50
19
60
19
70
19
80
19
90
20
00
Pop.
Pop. Est (Malthus)
Pop. Est (Logis.)
cuja solução é r̂1 = 0.2754 e b̂ = 0.000823. Os erros de ajustamentos são agora
20X
t=1
x (t)− 5.3r̂1
b̂5.3 + e−tr̂1
³
r̂1 − b̂5.3
´
2 = 31.23.
Observa-se com o modelo logístico uma redução muito forte dos erros de ajustamento. Também
a figura 1-10, na qual se compara o valor observado x (t) com os valores estimados pelos dois
modelos, corrobora essa ideia.
Os modelos podem também servir para prever o valor futuro de x (t) . Por exemplo, a
previsão do modelo de Malthus para o ano 2140 é xM (34) = 5.3er̂×34 = 6062 (milhões)13. Na
figura 1-11 mostram-se as previsões dos dois modelos até ao ano 2140. Enquanto o modelo
logístico estabelece uma estabilização da população dos EUA em torno do valor 334 (milhões),
o modelo de Malthus prevê valores arbitrariamente altos à medida que t→ +∞.
13Note-se que se convencionou que t = 0 corresponde ao ano 1800, t = 1 ao ano 1810 e assim sucessivamente.
Procedendo assim t = 34 corresponde ao ano 2140.
38
Figura 1-11: Previsão: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
18
00
18
30
18
60
18
90
19
20
19
50
19
80
20
10
20
40
20
70
21
00
21
30
Pop.
Pop. Est (Malthus)
Pop. Est (Logis.)
1.4.3 Comentários Finais
Retomando o modelo logístico, é interessante verificar que
lim
t→+∞x (t) = limt→+∞
x0r1
bx0 + e−tr1 (r1 − bx0) =
r1
b
, r1, b > 0
Assim a população tende para o valor r1/b quando t→ +∞. Observe-se também que no ponto
x = r1/b a função f (t, x) = f (x) = r1x − bx2 é nula pelo que, nesse ponto, a população não
cresce nem decresce (digamos, está em equilíbrio). No capítulo Estabilidade designaremos o
valor r1/b como um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. No contextodo exemplo
anterior, obteve-se r̂1 = 0.2754 e b̂ = 0.000823. Assim, a previsão de (muito) longo prazo para
o valor da população é 0.2754/0.000823 = 334. 63 (milhões de indivíduos), valor que a figura
1-11 também confirma.
39
Exercícios
1. Classifique as ED (ordem, linearidade e autonomia) apresentadas nos restantes exercícios
do Cap. 1.
2. Mostre que x (t) = cecos t, c ∈ R é solução da ED x0 = −x sen t = 0 em R.
3. Mostre que x (t) = c1et + c2tet+2+ t, c1, c2 ∈ R é solução da ED x00 − 2x0+ x = t em R.
4. Mostre que log (t+ 1)− x (t) + log ¡ex(t) + 1¢+ c = 0, c ∈ R é solução (implícita) da ED
x0 = (ex + 1) / (t+ 1) em t > −1.
5. Mostre que x (t) = 2t/
¡
3− t2¢ é solução do PVI x0 = x/t+x2, x (1) = 1 em I = £1,√3¢ .
6. Mostre que x (t) = log
¡
t2/2− 2¢ é solução do PVI x0 = te−x, x ¡√6¢ = 0 em I = ]2,+∞[ .
7. Obtenha a solução geral da ED x0 = −x/t+ 2, t > 0.
8. Obtenha a solução geral da ED x0 − (n/t)x = ettn, n ∈ R, t > 0.
9. Resolva x2
¡
1 + x02
¢
= k2, obtenha as curvas envolventes à família de curvas integrais e
mostre que estas curvas são soluções singulares.
10. Resolva o PVI t2 x
0
x + 2t log x = 0, x (1) = e
1.
11. Resolva x0 + 1+x
3
tx2(1+t2)
= 0.
12. Resolva o PVI x0 = xt
¡
1 + log xt
¢
, x (1) = e.
13. Resolva x0 = tx/
¡
t2 − x2¢ .
14. Resolva 2t
x3
+ x
2−3t2
x4
x0 = 0.
15. Resolva o PVI x0 = −x+ g (t) , x (0) = 0 onde
g (t) =
 2 0 ≤ t ≤ 10 t > 1.
16. Dada a ED x0 = a (t)x + b (t) com a e b contínuas e a e f tais que a (t) ≤ −k < 0 e
limt→+∞ b (t) = 0, mostre que qualquer solução tende para zero quando t→ +∞.
40
17. Mostre que uma ED com variáveis separáveis pode sempre se escrever como uma ED total
exacta (suponha verificadas certas condições de regularidade).
18. Mostre que uma ED do tipo M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 onde M e N são funções ho-
mogéneas do mesmo grau é uma ED homogénea.
19. (Exame) Resolva o seguinte PVI
¡
t3 + 3x2t+ 5
¢
dx+
¡
3t2x+ x3 + 2
¢
dt = 0, x (1) = 1.
20. Mostre que a ED (de Bernoulli) x0+P (t)x = Q (t)xn, n 6= 1, n 6= 0, onde P (t) e Q (t) são
funções contínuas pode-se transformar-se através de mudança de variável z (t) = x (t)1−n
na ED linear z0 + (1− n)P (t) z = (1− n)Q (t) . Como aplicação resolva x0 + tx = t3x3.
21. (Exame) Resolva o PVI
x0 =
x
t
³
1 + log
x
t
´
, x (1) = e.
22. Considere a EDM (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 comM eN funções reais de classe C1 definidas
em D =
©
(t, x) ∈ R2 : t > 0, x > 0ª .
(a) Considere a hipótese de o factor integrante µ depender apenas do produto tx, i.e.
µ = µ (tx) com µ definido em D e de classe C1. Fazendo a substituição z = tx, mostre
que esta hipótese é válida se dado
h3 =
∂N
∂t − ∂M∂x
tM − xN
a função h3 depender apenas de z = tx. Conclua, nesse caso, que o factor integrante
é µ (z) = e h3(z)dz.
(b) Como aplicação resolva x2t+ 1/t+
¡
1/x− t2x¢x0 = 0.
23. (Exame) Considere a equação diferencial linear posta na forma
dx+ (a (t)x+ b (t)) dt = 0
41
onde a e b são funções contínuas em R.
(a) Mostre que esta equação é redutível a uma equação diferencial total exacta (para o
efeito determine o factor integrante).
(b) Encarando a equação linear como uma equação redutível a uma equação diferen-
cial total exacta, obtenha a solução geral para o caso a (t) = b (t) = 2t e calcule
limt→+∞ x (t) .
24. Resolva o PVI x00 = (x0)2 /x, x0 (0) = 1, x (0) = −1.
25. Resolva a ED x00 = x
0
t
³
1 + log x
0
t
´
.
26. (Exame) Considere o PVI
x0 = −ax+ g (t, x) , x (0) = x0, a: constante positiva.
(a) Mostre que
x (t) = e−atx0 + e−at
Z t
0
easg (s, x (s)) ds
é solução do PVI.
(b) Admita as seguintes hipóteses:
H1: |g (t, x)| ≤ b (t) |x| , b (t) ≥ 0
H2:
R +∞
t0
b (t) dt < +∞, t0 ∈ R.
Mostre que |x (t)| tende para zero quando t → +∞. Considere o seguinte lema: seja c
uma constante não negativa e z (t) e v (s) funções não negativas. Se
z (t) ≤ c+
Z t
0
z (s) v (s) ds
então
z (t) ≤ ce t0 v(s)ds.
42
Capítulo 2
Existência, Unicidade e
Prolongamento das Soluções
2.1 Existência e Unicidade das Soluções
2.1.1 Introdução
Um PVI pode não ter solução, ter uma única solução ou ter mais do que uma solução (por
exemplo, uma infinidade delas).
Exemplo 17 a) Se f é a função Dirichlet,
f (t, x) =
 1 se t é racional0 se t é irracional
não é naturalmente possível encontrar uma função x (t) que satisfaça x0 = f (t, x) . b) Considere-
se a ED x02 + x2 = 0. A única solução real é x (t) ≡ 0. Assim o PVI x02 + x2 = 0, x (0) = 1
não tem solução. c) O PVI x0 =
√
x, x (0) = 0 tem mais do que uma solução: x (t) ≡ 0 e
x (t) = t2/4. d) O PVI x0 = ex, x (0) = 0 tem uma única solução x (t) = − log (1− t) em
t ∈ (−∞, 1) . e) O PVI x0 + x = 0, x (0) = 1 tem uma única solução, x (t) = e−t em R.
Modelos sem soluções não têm obviamente interesse. Problemas de valores iniciais com
várias soluções colocam o problema de se saber qual é a solução que efectivamente traduz o
43
comportamento do fenómeno. Modelos deste tipo geralmente estão mal especificados (i.e., a
função f (t, x) não está bem definida).
Estes problemas não ocorrem com ED lineares, as quais possuem, como vimos no teorema
1, uma única solução. Além disso, a solução é conhecida (i.e. é sempre possível obter uma
solução fechada). Com as ED não lineares a situação é diferente. Se a solução é conhecida
é possível discutir-se a questão da existência da solução directamente a partir da respectiva
expressão analítica. Por exemplo, considere-se o PVI x0 = x2, x (0) = 1. A solução deste PVI é
x (t) = 1/ (1− t) e claramente se verifica que a solução existe para −∞ < t < 11. Mas, se for
impossível obter uma solução fechada para o PVI x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 como poderemos
garantir que o PVI admite uma solução única? E será esta questão relevante? Afinal de contas,
mesmo que a solução exista e seja única é impossível obtê-la. É importante verificar que, na
prática, mesmo desconhecendo-se a solução, é possível, através de métodos numéricos (fazendo-
se uso da função f (t, x)), obter-se aproximações tão precisas quanto se deseje. Por outro lado,
as propriedades limites (assimptóticas) da solução podem também ser estudadas apenas a partir
da função f (t, x) e sem o conhecimento da solução fechada. No entanto, a aplicação de métodos
numéricos e o estudo das propriedades limites da solução só fazem sentido no caso em que a
solução existe e é única. Assim, é fundamental estudarmos a questão da existência e unicidade
das soluções.
2.1.2 Teorema de Existência e Unicidade das Soluções
O caso linear x0 = a (t)x+ b (t), onde a (t) e b (t) são funções contínuas em I, foi abordado no
teorema 1 e observação 5. Vimos que a solução do PVI x0 = a (t)x+ b (t) , x (t0) = x0 existe e
é única em I.
O caso não linear é tratado a seguir (até ao final do corrente ponto). A demonstração do
teorema de existência e unicidade para o PVI
x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 (2.1)
1É incorrecto dizer-se que a solução existe para t 6= 1, embora a função 1/ (1− t) esteja definida para t 6= 1.
De facto, a solução passa no ponto (t, x) = (0, 1) e ”explode” ou "extingue-se"quando t ↑ 1. Não se admite,
portanto, que a solução possa continuar para valores de t tais que t > 1.
44
consiste em mostrar que, sob as condições do teorema, que iremos especificar, existe uma
sequência de funções {xn (t) , n ≥ 1} construídas a partir do PVI tal que, a) xn (t) converge
para x (t), b) x (t) é a solução do PVI, c) x (t) é uma função contínua e d) x (t) é solução única.
Para demonstrarmos o teorema de existência e unicidade é necessário estabelecer alguns
resultados preliminares.
Considere-se o conjunto compacto
Ra,b = {(t, x) : |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b} . (2.2)
Lema 1 Se a função f (t, x) é contínua em Ra,b então o PVI (2.1) é equivalente à equação
integral
x (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, x (s)) ds (2.3)
para t tal que |t− t0| ≤ a.
Dem. Devido à continuidade de f em Ra,b tem-se o seguinte. Se x (t) é uma solução
de (2.1) então integrando (2.1) no intervalo [t0, t] obtemos (2.3). Reciprocamente, derivando
(2.3) obtém-se x0 = f (t, x(t)). Além disso, considerando t = t0 na expressão (2.3) obtém-se
x (t0) = x0 + 0 = x0.¥
Nas condições do lema anterior uma equação integral é uma forma de escrever uma ED e
vice-versa, i.e. as duas representações são equivalentes.
Definição 7 (Condição de Lipschitz) Diz-se que a função f (t, x) satisfaz a condição de
Lipschitz com respeito a x no conjunto Ra,b se existe um K > 0 tal que para todo o (t, x) , (t, y) ∈
Ra,b se tem
|f (t, x)− f (t, y)| ≤ K |x− y| . (2.4)
(K designa-se por constante de Lipschitz).
A condição de Lipschitz (com respeito a x) pode ser entendida como uma condição forte de
continuidade (com respeito a x). Com efeito, veja-se, por exemplo em Agudo (1989), a seguinte
relação: f satisfaz a condição Lipschitz em Ra,b ⇒ f é uniformemente é contínua2 em Ra,b ⇒
2Diz-se que g : D ⊂ R→ R é uniformemente contínua em S ⊆ D se, para cada δ > 0 existe ε > 0 tal que
45
f é contínua em Ra,b. É imediato verificar que
Observação 8 a) Se ∂f/∂x é contínua Ra,b então f satisfaz a condição de Lipschitz com
respeito a x no mesmo conjunto. Com efeito, pelo teorema do valor médio,
f (t, x) = f (t, y) +
∂f (t, ξ)
∂x
(x− y) , ξ = θx+ (1− θ) y, 0 ≤ θ ≤ 1
e, portanto,
|f (t, x)− f (t, y)| =
¯̄̄̄
∂f (t, ξ)
∂x
(x− y)
¯̄̄̄
=
¯̄̄̄
∂f (t, ξ)
∂x
¯̄̄̄
|x− y| .
Ora, como ∂f/∂x é contínua no conjunto compacto Ra,b (logo limitada) segue-se que existe um
K < +∞ tal que |∂f (t, x) /∂x| ≤ K para (t, x) ∈ Ra,b. Logo
|f (t, x)− f (t, y)| ≤ K |x− y| .
Se o conjunto de referência é R2 então é necessário exigir que ∂f/∂x seja contínua e limitada
(só assim se garante a existência de um K < +∞ tal que |∂f (t, x) /∂x| ≤ K). b) O recíproco
de a) não é verdade. Isto é, existem certas funções que satisfazem a condição de Lipschitz em
certo conjunto mas não possuem derivadas contínuas com respeito a x nesse mesmo conjunto.
Por exemplo, f (t, x) = |x| satisfaz a condição de Lipschitz num intervalo que contenha o ponto
0, pois
|f (t, x)− f (t, y)| = ||x|− |y|| ≤ |x− y|
mas ∂f (x) /∂x não existe no ponto 0.
Exemplo 18 a) A função f (t, x) = f (x) =
√
x definida em S = [0, c] , c > 0 (embora
uniformemente contínua em S) não satisfaz a condição de Lipschitz em S. Com efeito, tomando
y = 0 na equação (2.4), vem: ∀K > 0 ∃x0 ∈ ]0, ε] , ε > 0 : 0 < x < x0 ⇒ √x > Kx. b) A
|g (x)− g (y)| < δ sempre que |x− y| < ε (x, y ∈ S). Analiticamente:
∀δ > 0,∃ ε > 0 : ∀x, y ∈ S, |x− y| < ε⇒ |g (x)− g (y)| < δ.
Por outro lado, g não é uniformemente contínua em S se
∃ δ > 0,∀ ε > 0 : ∃x, y ∈ S, |x− y| < ε⇒ |g (x)− g (y)| > δ.
46
função f (t, x) = 1/x definida em S = ]0, 1] , não satisfaz a condição de Lipschitz em S. Basta
mostrar que f (t, x) = 1/x não é uniformemente contínua em S.3 Com efeito, seja x = ε/2
e y = ε (logo |x− y| < ε). Vem |1/x− 1/y| = |2/ε− 1/ε| = 1/ε. Para todos os valores de
x, y < 1, i.e. ε < 1, tem-se |x− y| < ε ⇒ |f (x)− f (y)| > 1.4 c) A função f (t, x) = t2e−x
satisfaz a condição de Lipschitz no rectângulo R = {(t, x) : |t| ≤ 1, |x| ≤ 1} . Basta considerar a
observação 8. Com efeito, ∂f/∂x = −t2e−x é contínua em R.
Definição 8 (Iterações de Picard) As aproximações sucessivas ou iterações de Picard para
o PVI x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 definem-se como a sucessão de funções {xn (t) , n ≥ 0} onde
x0 (t) = x0
x1 (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, x0 (s)) ds
...
xn (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, xn−1 (s)) ds
para n = 0, 1, ....
Exemplo 19 Calcular as iterações de Picard para o PVI x0 = x, x (0) = 1. Tem-se, com
f (t, x) = x,
x0 (t) = 1
x1 (t) = 1 +
Z t
0
f (s, x0 (s)) ds = 1 +
Z t
0
1ds = 1 + t
x2 (t) = 1 +
Z t
0
f (s, x1 (s)) ds = 1 +
Z t
0
(1 + s) ds = 1 + t+
t2
2
3Dada a relação, (a) f satisfaz a condição Lipschitz em Ra,b ⇒ (b) f é uniformemente é contínua em Ra,b,
conclui-se que (b) é uma condição necessária para que (a) se realize.
4Uma forma mais simples de negar a condição de Lipschitz consiste em mostrar que, para certo valor de y,
y0 ∈ S, a função em x, |f (x)− f (y0)| / |x− y0| não é limitada quando x varia num certo subconjunto de S. No
exemplo em análise é fácil verificar que, para y = 1, a expressão |1/x− 1| / |x− 1| = 1/ |x| não é limitada quando
x varia no intervalo ]0, 1] . Este raciocínio pode também servir para mostrar que
√
x definida em S = [0, c] , c > 0
não satisfaz a condição de Lipschitz em S. Com efeito, tomando y = 0 observa-se que |√x− 0| / |x− 0| = 1/ |x|
não é limitada em S.
47
e, em geral,
xn (t) = 1 +
Z t
0
f (s, xn−1 (s)) ds = 1 +
Z t
0
µ
1 + s+ ...+
sn−1
(n− 1)!
¶
ds
= 1 + t+
t2
2!
+ ...+
tn
n!
.
Conclui-se xn (t)→ et i.e. xn (t) converge para a solução x (t) = et do PVI.
Considere-se M = max(t,x)∈Ra,b |f (t, x)|, h = min (a, b/M) , J = {t : |t− t0| ≤ h} e Rh,b =
{(t, x) : |t− t0| ≤ h, |x− x0| ≤ b} .
Lema 2 Assuma-se f contínua no rectângulo Rh,b. Então: a) as iterações de Picard {xn (t) , n ≥ 1}
existem e são contínuas para t ∈ J; b) (t, xn (t)) ∈ Rh,b para t ∈ J.
Dem. a) Para x0 (t) = x0 é óbvio que x0 (t) existe e é contínua para t tal que |t− t0| ≤ h.
Naturalmente, f (t, x0 (t)) é contínua pois a composição de funções contínuas é ainda uma
função contínua. Pelo teorema fundamental do cálculo integral, resulta que x1 (t) é contínua.
Por indução facilmente se conclui que todos os elementos da sucessão {xn (t) , n ≥ 1} são funções
contínuas. b) Temos de provar que |xn (t)− x0| ≤ b para t tal que |t− t0| ≤ h. Em primeiro
lugar verifique-se o seguinte. Como f é contínua no conjunto compacto Rh,b então existe um
M > 0 tal que
|f (t, x)| ≤M para (t, x) ∈ Rh,b.
Assim, dado que (t, x0 (t)) ∈ Rh,b podemos escrever,
|x1 (t)− x0| =
¯̄̄̄Z t
t0
f (s, x0 (s)) ds
¯̄̄̄
≤
Z t
t0
|f (s, x0 (s))| ds
≤
Z t
t0
Mds =M |t− t0| ≤Mh ≤ b.
O resto da demonstração resulta por indução. Assuma-se para t ∈ J que
|xk (t)− x0| ≤ b, k = 1, 2, ..., n− 1.
48
Figura 2-1: Iterações de Picard
x
tat −0 ht −0 ht +0 at +0
( )00 ttMxx −−=− ( )00 ttMxx −=−
bx +0
bx −0
( )00 , xt
A
B C
D
( )txn
P
Isto implica (t, xn−1 (t)) ∈ Rh,b e, portanto, |f (t, xn−1 (t))| ≤M. Logo
|xn (t)− x0| ≤M |t− t0| ≤Mh ≤ b
i.e., (t, xn (t)) ∈ Rh,b.¥
Observação 9 Se t permitíssemos que t variasse no conjunto {t : |t− t0| ≤ a} então teríamos
|x1 (t)− x0| ≤ Ma, com Ma eventualmente superior a b. Não poderíamos assim garantir
|f (t, x1 (t))| ≤ M (pois f estaria a ser avaliada num ponto (t, x) não pertencente ao conjunto
Ra,b) e, portanto, a quantidade |x2 (t)− x0| ≤
R t
t0
|f (s, x1 (s))| ds não poderia ser majorada
(nem obviamente todos os demais termos |xk (t)− x0|, k = 1, 2, ..., n− 1). Naturalmente, todas
as propriedades que se asseguram para f no conjunto Ra,b não podem garantir-se se a função
f é avaliada fora do conjunto Ra,b.
Na figura 2-1 mostra-se que as iterações de Picard estão contidas nos triângulos APB e
CPD. Se permitirmos que t varie até t0 − a ou, no sentido inverso, até t0+ a então é claro que
as iterações de Picard {xn (t) , n ≥ 1} poderão sair dos limites x0 ± b.
49
Lema 3 Suponha-se w (t) contínua e não negativa satisfazendo a desigualdade
w (t) ≤ k
Z t
t0
w (s) ds. (2.5)
Então w (t) ≡ 0.
Dem. Ver Braun (1993), p. 78.¥
Apresenta-se agora o resultado fundamental.
Teorema 3 (Existência e Unicidade das Soluções - Caso Escalar) Se f (t, x) é contínua
em Ra,b = {(t, x) : |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b} e, além disso, satisfaz a condição de Lipschitz em
Ra,b com respeito a x, então existe uma solução única para o PVI x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 em
t ∈ J = {t : |t− t0| ≤ h} onde h = min (a, b/M) .
Dem. Assume-se que t ∈ [t0, t0 + h]. O caso t ∈ [t0 − h, t0] demonstra-se de forma similar.
A demonstração consiste em provar o seguinte: a) xn (t) → x (t) quando n → +∞; b) x (t)
satisfaz o PVI; c) x (t) é uma função contínua e d) Se z (t) é também uma solução do PVI
necessariamente se tem x (t) = z (t) . Comecemos por verificar a). Por construção tem-se
xn (t) = x0 (t) + [x1 (t)− x0 (t)] + ...+ [xn (t)− xn−1 (t)]
= x0 (t) +
nX
k=1
[xk (t)− xk−1 (t)] .
Ora xn (t) converge sse
P+∞
n=1 [xn (t)− xn−1 (t)] converge. Para o efeitoé suficiente mostrar que
+∞X
n=1
|xn (t)− xn−1 (t)| < +∞.
Vamos em primeiro lugar estabelecer uma desigualdade para o termo geral da série, |xn (t)− xn−1 (t)| ≤
δ (n) e depois mostramos que
P
n≥1 δ (n) < +∞.
50
Atendendo a (2.3) e a (2.4) vem para t ∈ [t0, t0 + h]
|xn (t)− xn−1 (t)| =
¯̄̄̄Z t
t0
[f (s, xn−1 (s))− f (s, xn−2 (s))] ds
¯̄̄̄
≤
Z t
t0
|f (s, xn−1 (s))− f (s, xn−2 (s))| ds
≤
Z t
t0
K |xn−1 (s)− xn−2 (s)| ds. (2.6)
Observe-se que a função f satisfaz a condição de Lipchtiz, i.e., para todo o (t, xi (t)) , (t, xi−1 (t)) ∈
Rh,b tem-se |f (t, xi (t))− f (t, xi−1 (t))| ≤ K |xi (t)− xi−1 (t)|. Esta garantia é dada (para além
do enunciado do teorema em análise) pelo lema 2 que estabelece (t, xi (t)) ∈ Rh,b ⊆ Ra,b,
i = 1, ..., n pois t ∈ [t0, t0 + h]. Se permitíssemos que t variasse no conjunto [t0, t0 + a] poderia
suceder, por exemplo, que |x1 (t)− x0 (t)| ≤ Ma com Ma eventualmente superior a b. Logo
(t, x1 (t)) poderia sair do conjunto Ra,b e não haveria garantia que a função f satisfizesse a
condição de Lipchtiz. Usa-se agora a desigualdade (2.6) sucessivamente para n = 2, n = 3, etc.
Para n = 2 e considerando |x1 (t)− x0 (t)| =
¯̄̄R t
t0
f (s, x0 (s)) ds
¯̄̄
≤ R tt0 Mds = M (t− t0)
vem
|x2 (t)− x1 (t)| ≤
Z t
t0
K |x1 (s)− x0 (s)| ds
≤
Z t
t0
KM (s− t0) ds
=
KM (t− t0)2
2
;
para n = 3,
|x3 (t)− x2 (t)| ≤
Z t
t0
K |x2 (s)− x1 (s)| ds
≤
Z t
t0
K2M (s− t0)2
2
ds
=
K2M (t− t0)3
3!
.
Por indução chega-se a
|xn (t)− xn−1 (t)| ≤ K
n−1M (t− t0)n
n!
.
51
Finalmente podemos concluir:
+∞X
n=1
|xn (t)− xn−1 (t)| = |x1 (t)− x0 (t)|+ |x2 (t)− x1 (t)|+ ...+ |xn (t)− xn−1 (t)|+ ...
≤ M (t− t0) + KM (t− t0)
2
2!
+ ...+
Kn−1M (t− t0)n
n!
+ ...
=
M
K
+∞X
n=1
(K (t− t0))n
n!
≤ M
K
+∞X
n=0
(K (t− t0))n
n!
=
M
K
eK(t−t0) < +∞
para t ∈ [t0, t0 + h]. Provámos que, para cada t ∈ [t0, t0 + h] , a sequência xn (t) converge
(pontualmente) para x (t). Prova-se a seguir que xn (t) → x (t) uniformemente em t ∈ J , i.e.,
supt∈J |xn (t)− x (t)|→ 0 quando n→ +∞.5 Tem-se
sup
t∈J
|xn (t)− x (t)| = sup
t∈J
¯̄̄̄Z t
t0
(f (s, xn−1 (s))− f (s, x (s))) ds
¯̄̄̄
≤ sup
t∈J
Z t
t0
|f (s, xn−1 (s))− f (s, x (s))| ds
≤ K sup
t∈J
Z t
t0
|xn−1 (s)− x (s)| ds
Atendendo a
xn−1 (t) = x0 (t) +
n−1X
k=1
[xk (t)− xk−1 (t)] , x (t) = x0 (t) +
+∞X
k=1
[xk (t)− xk−1 (t)] .
vem
|xn−1 (s)− x (s)| =
¯̄̄̄
¯
+∞X
k=n
[xk (s)− xk−1 (s)]
¯̄̄̄
¯ ≤
+∞X
k=n
Kk−1M (s− t0)k
k!
e, portanto,
sup
t∈J
|xn (t)− x (t)| ≤ K sup
t∈J
Z t
t0
|xn−1 (s)− x (s)| ds ≤ K sup
t∈J
Z t
t0
+∞X
k=n
Kk−1M (s− t0)k
k!
ds
≤ K sup
t∈J
+∞X
k=n
Kk−1Mhk
k!
Z t
t0
ds ≤Mh
+∞X
k=n
(Kh)k
k!
→ 0.
5Nesta alínea a) é suficiente considerar-se a convergência pontual. A convergência uniforme é invocada nas
alíneas seguintes.
52
Vejamos agora a alínea b). Para mostrar que o limite de xn (t), x (t) , satisfaz o PVI basta
mostrar, atendendo ao lema 1, que x (t) satisfaz a equação integral
x (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, x (s)) ds.
Considerando a iteração de Picard,
xn+1 (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, xn (s)) ds
e tomando o limite em ambos os termos da equação quando n→ +∞ obtém-se
x (t) = x0 + lim
n→+∞
Z t
t0
f (s, xn (s)) ds.
Para mostrar que a equação anterior é igual a x (t) = x0+
R t
t0
f (s, x (s)) ds é necessário mostrar
em primeiro lugar que limn→+∞
R t
t0
f (s, xn (s)) ds =
R t
t0
limn→+∞ f (s, xn (s)) ds. A permutação
do limite com o integral não é geralmente válida. Sabe-se, no entanto, que se f (t, xn (t))
converge uniformemente para f (t, x (t)) então a referida permutação é válida. Nas condições
do teorema pode-se provar que f (t, xn (t)) converge uniformemente para f (t, x (t)) 6 ,7, pelo
que o limite pode permutar com o integral. Falta mostrar que
R t
t0
limn→+∞ f (s, xn (s)) ds =R t
t0
f (s, x (s)) ds. Este resultado é imediato devido à continuidade de f e à alínea a). Prove-se
c). Como xn (t) é contínua e converge uniformemente em t ∈ J a função limite, x (t) é também
contínua (ver Sarrico, 1999, teorema 7.2.1). Finalmente, veja-se d). Mostramos agora que se
z (t) é também uma solução do PVI necessariamente se tem x (t) = z (t). Assim,
x (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, x (s)) ds, z (t) = x0 +
Z t
t0
f (s, z (s)) ds.
6De facto, como f satisfaz a condição de Lipschitz e supt∈J |xn (t)− x (t)| → 0 tem-se
supt∈J |fn (t, xn (t))− f (t, x (t))| ≤ K supt∈J |xn (t)− x (t)|→ 0 quando n→ +∞.
7Alternativamente, invocando o teorema da convergência dominada de Lebesgue, imediatamente se conclui
que a permutação do limite com o integral é válida [Teorema da convergência dominada de Lebesgue: suponha-se
que f, g são tais que |f | < ∞ e |g| < ∞. Se |fn| ≤ |g| para n = 1, 2, ... e lim fn = f então limn fn = f ].
De facto, xn (t) é limitada (está contido em Rh,b), t varia num intervalo limitado e f é contínua em Ra,b. Logo
t
t0
|f (s, xn (s))| ds < +∞.
53
Considerando |x (t)− z (t)| e atendendo ao facto de f satisfazer a condição de Lipschitz,
|x (t)− z (t)| =
¯̄̄̄Z t
t0
[f (s, x (s))− f (s, z (s))] ds
¯̄̄̄
≤
Z t
t0
|f (s, x (s))− f (s, z (s))| ds
≤
Z t
t0
K |x (s)− z (s)| ds.
Aplicando agora o lema 3 com w (t) = |x (t)− z (t)| resulta x (t) = z (t) .¥
O teorema anterior exige que a função f seja contínua e satisfaça a condição de Lipschitz
em certo rectângulo. Se a condição de Lipschitz falha é possível ainda assim estabelecer um
teorema de existência nas seguintes condições.
Teorema 4 (Existência) Admita-se que f (t, x) é contínua no conjunto
S = {(t, x) : t0 ≤ t ≤ t0 + a, |x− x0| ≤ b} .
Então o PVI (2.1) admite pelo menos uma solução no intervalo [t0, t0 + a] .
Exemplo 20 Determine-se um intervalo de existência e unicidade para o PVI x0 = 1 + x +
x2 cos t, x (1) = 2 em R = {(t, x) : |t− 1| ≤ 3, |x− 2| ≤ 4} (note-se t0 = 1, x0 = 2, a = 3,
b = 4). A função f (t, x) é contínua e ∂f/∂x = 1 + 2x cos t é contínua em R (logo limitada e,
portanto, satisfaz a condição de Lipschitz - ver observação 8, p. 46). Por outro lado,
M = max
(t,x)∈R
|f (t, x)| = 1 + 6 + 62 = 43.
Pelo teorema 3 existe uma solução única em t ∈ J = {t : |t− 1| ≤ h} onde h = min (3, 4/43) =
4/43. Assim um intervalo de existência e unicidade é J = {t : |t− 1| ≤ 4/43} = [−39/43, 47/43] .
Exemplo 21 Para determinar o intervalo de existência da solução do PVI x0 = x2, x (0) = 2,
t ≥ 0, usando o teorema 3, considera-se:
R = {(t, x) : 0 ≤ t ≤ a, |x− 2| ≤ b} , M = max
(t,x)∈R
|f (t, x)| = (b+ 2)2 .
54
A função f (t, x) é contínua e ∂f/∂x = 2x é contínua em R (logo limitada). Pelo teorema
3 a solução existe no intervalo 0 ≤ t ≤ h = min
³
a, b/ (b+ 2)2
´
. Tem obviamente interesse
obter o maior h possível. A questão é portanto maximizar h. Como max b/ (b+ 2)2 = 1/8,
podemos seleccionar a = 1/8 e, portanto, pelo teorema 3 existe uma solução única no intervalo
0 ≤ t ≤ 1/8. Como o PVI admite uma solução fechada tem interesse verificar se o maior
intervalo de existência estabelecido pelo teorema 3 corresponde de facto ao maior intervalo de
existência do PVI. Pode-se mostrar que x (t) = 2/ (1− 2t) é a solução do PVI e a solução está
claramente definida em 0 ≤ t < 1/2.
O exemplo anterior mostra que o teorema 3 não fornece necessariamente o maior intervalo
de existência. De facto o teorema 3 é um teorema local de existência e unicidade.
2.2 Prolongamento das Soluções
Estabelecem-se agora condições que permitem prolongar o intervalo J definido pelo teorema
3 caso J não coincida com o maior intervalo de existência (intervalo maximal de existência)
mantendo-se as condições de existência e unicidade.
Definição 9 (Prolongamento, Extensão, Solução Maximal e Intervalo Maximal) Seja
x (t) , t ∈ I, uma solução de um certo PVI. Suponha-se que existe uma solução y (t) , t ∈ I1 do
mesmo PVI tal que y (t) = x (t) para t ∈ I e I ⊂ I1. Nestas circunstância diz-se que y (t) é
um prolongamento de x (t) e I1 é uma extensão de I. Se não existe y (t) nas condições enunci-
adas então x (t) designa-se por solução maximal e I o intervalo maximal de existência (ou não
prolongável).
Teorema 5 (Prolongamento) Seja f (t, x) contínua