Material extenso de matematica (177)

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2x - y + 3z = 10 \\ 
 3x + 4y + 2z = 15 
 \end{cases} 
 \] 
 Resolução: Podemos resolver este sistema utilizando o método de eliminação 
gaussiana. Após os cálculos, obtemos \( x = 1 \), \( y = 2 \), e \( z = 3 \). 
 
21. Problema: Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \sqrt{x} \) 
em torno do eixo \( x \) no intervalo \( [0,1] \). 
 Resolução: A área é dada pela integral \( \int_{0}^{1} 2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx \), onde \( 
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Resolvendo, obtemos \( \frac{\pi}{6}(3\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})) \). 
 
22. Problema: Determine a equação do círculo que tem centro em \( (2,-3) \) e passa pelo 
ponto \( (1,4) \). 
 Resolução: A equação do círculo é da forma \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), onde \( (h,k) \) 
é o centro do círculo e \( r \) é o raio. Substituindo \( (2,-3) \) e \( (1,4) \), obtemos \( (1 - 2)^2 
+ (4 + 3)^2 = r^2 \), então \( r^2 = 34 \). Portanto, a equação é \( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 34 \). 
 
23. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução é da forma \( y(x) = e^{rx} \). Substituindo na equação, 
ob 
 
temos \( r^2 - 4r + 4 = 0 \). As raízes são \( r = 2 \) (com multiplicidade 2). Portanto, a 
solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \). 
 
24. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por 
\( y = x^2 \) e \( y = 4x \) em torno do eixo \( y \). 
 Resolução: Usando o método dos discos, a integral para o volume é \( \pi \int_{0}^{4} 
(4x)^2 - (x^2)^2 \, dy \). Resolvendo, obtemos \( \frac{392\pi}{3} \). 
 
25. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = e^x + \ln(x) \) no ponto \( 
(1,1 + e) \). 
 Resolução: A derivada da função é \( y' = e^x + \frac{1}{x} \). Substituindo \( x = 1 \), 
obtemos \( y'(1) = e + 1 \). Portanto, a equação da reta tangente é \( y = (e + 1)(x - 1) + (1 + e) 
\).