Problemas de Cálculo Avançado

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Resposta: A solução é \(y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{4}\cos(2x)\), onde \(C_1\) 
e \(C_2\) são constantes arbitrárias. Explicação: Usamos o método dos coeficientes a 
determinar. 
 
23. Problema: Determine o comprimento do arco da curva \(y = \ln(\cos(x))\) de \(x = 0\) a 
\(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: O comprimento do arco é \(\ln(\sqrt{2} + 1)\). Explicação: Usamos a fórmula 
do comprimento do arco para uma função dada. 
 
24. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \(xy' - 2y = x^2\). 
 Resposta: A solução geral é \(y = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x^2}\), onde \(C\) é uma 
constante arbitrária. Explicação: Esta é uma equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
25. Problema: Calcule a integral tripla de \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) sobre a esfera de 
raio 2 centrada na origem. 
 Resposta: A integral tripla é \(\frac{32}{3}\pi\). Explicação: Usamos coordenadas 
esféricas para simplificar a integral. 
 
26. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\). Explicação: Usamos a regra da 
cadeia e as derivadas do seno e do cosseno. 
 
27. Problema: Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x' = -2x + y \\ 
 y' = x - 2y 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: A solução é \(x = Ae^{-t} \cos(t) + Be^{-t} \sin(t)\) e \(y = -Ae^{-t} \sin(t) + Be^{-t} 
\cos(t)\), onde \(A\) e \(B\) são constantes arbitrárias. Explicação: Podemos resolver este 
sistema usando o método da matriz fundamental. 
 
28. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pela curva \(y 
= e^x\), o eixo \(x\) e as linhas \(x = 1\) e \(x = 3\).