Problemas de Cálculo Avançado

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79. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 2y = 0 \) com condições iniciais \( 
y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = e^x - e^{-2x} \). 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea e aplique as condições iniciais 
para encontrar as constantes. 
 
80. Problema: Calcule a integral imprópria \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilize o método da substituição trigonométrica ou calcule o limite \( \lim_{R 
\to \infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 
81. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^x + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e depois use o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
82. Problema: Encontre a derivada parcial de segunda ordem \( \frac{\partial^2 f}{\partial x 
\partial y} \) para a função \( f(x, y) = x^2y + \sin(xy) \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 + y\cos(xy) \). 
 Explicação: Calcule primeiramente a derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e 
depois derive novamente em relação a \( y \). 
 
83. Problema: Calcule a integral tripla \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( V \) é o 
sólido delimitado pelos planos \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \) e \( x + y + z = 1 \). 
 Resposta: \( \frac{1}{60} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar a integral tripla. 
 
84. Problema: Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \sqrt{x} \) 
de \( x = 0 \) a \( x = 4 \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: \( 8\pi \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilize a fórmula da área da superfície de revolução. 
 
85. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 4y = 2e^{-4x} \).