Problemas de Matemática

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Explicação: Utilize o método da matriz adjunta para calcular a inversa de uma matriz 
2x2. 
 
92. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Resolva a equação característica associada à equação diferencial 
homogênea de segunda ordem. 
 
93. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y 
= x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( \frac{1}{6} \) unidades de área. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral definida da 
diferença entre as duas funções. 
 
94. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: \( \frac{128\pi}{15} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize o método dos discos ou cascas para calcular o volume. 
 
95. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 2y = 0 \) com condições iniciais \( 
y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = e^x - e^{-2x} \). 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea e aplique as condições iniciais 
para encontrar as constantes. 
 
96. Problema: Calcule a integral imprópria \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilize o método da substituição trigonométrica ou calcule o limite \( \lim_{R 
\to \infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 
97. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^x + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias.