Cálculos Matemáticos

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21. Determine a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x) \). Explicação: A derivada da função tangente é a secante ao 
quadrado. 
 
22. Calcule a integral definida de \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ -\cos(x) \right]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 \). Explicação: Aplique a regra 
fundamental do cálculo. 
 
23. Resolva a equação \( 3^x = 27 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). Explicação: Use as propriedades dos logaritmos para resolver a 
equação exponencial. 
 
24. Encontre a soma dos termos de uma série geométrica finita com \( a_1 = 5 \), \( r = 
\frac{1}{3} \) e \( n = 4 \). 
 Resposta: \( S_4 = \frac{5(1 - (\frac{1}{3})^4)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{170}{9} \). Explicação: 
Use a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica finita. 
 
25. Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). Explicação: Use a regra do quociente. 
 
26. Calcule a integral indefinida de \( \int x e^{2x} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \). Explicação: Use integração por 
partes. 
 
27. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) \). 
 Resposta: \( y = -\cos(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Explicação: 
Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
28. Determine a soma dos termos de uma série aritmética infinita com \( a_1 = 7 \) e \( a_5 
= 19 \). 
 Resposta: \( S_{\infty} = \frac{a_1 + a_5}{2} = \frac{7 + 19}{2} = 13 \). Explicação: Use a 
fórmula da soma dos termos de uma série aritmética infinita.