Cálculos Matemáticos

Prévia do material em texto

18. Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \left[ x^2 + x \right]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 \). 
Explicação: Aplicamos a fórmula da integral definida e substituímos os limites de 
integração. 
 
19. Qual é a solução para a equação \( \tan(x) = 1 \) no intervalo \( [0, 2\pi] \)? 
 Resposta: As soluções são \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{5\pi}{4} \). Explicação: 
Usamos a definição de tangente para encontrar os valores de \( x \) no intervalo dado. 
 
20. Determine a matriz inversa de \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: A matriz inversa é \( \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \). 
Explicação: Utilizamos o método de matriz adjunta para encontrar a inversa. 
 
21. Encontre a soma dos primeiros 10 termos da sequência aritmética \( 3, 7, 11, 15, ... \). 
 Resposta: A soma dos primeiros 10 termos é \( S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{10}{2}(3 + 
39) = 210 \). Explicação: Utilizamos a fórmula da soma dos termos de uma PA. 
 
22. Calcule o produto escalar entre os vetores \( \mathbf{v} = \langle 2, -3 \rangle \) e \( 
\mathbf{w} = \langle 4, 5 \rangle \). 
 Resposta: O produto escalar é \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (2 \times 4) + (-3 \times 
5) = 8 - 15 = -7 \). Explicação: Multiplicamos os componentes correspondentes dos 
vetores e somamos os resultados. 
 
23. Qual é a solução para a equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi] \)? 
 Resposta: As soluções são \( x = \frac{\pi}{6} \) e \( x = \frac{5\pi}{6} \). Explicação: 
Usamos a definição de seno para encontrar os valores de \( x \) no intervalo dado. 
 
24. Determine a equação da parábola que tem foco \( F(0, 3) \) e diretriz \( y = -3 \). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{4}x^2 + 3 \). Explicação: Utilizamos a 
definição de uma parábola para encontrar sua equação. 
 
25. Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{x} \). Explicação: A derivada da função 
logarítmica \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \).