Cálculos Matemáticos Básicos

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. Determine a soma dos termos de uma série geométrica infinita com primeiro termo \( 4 \) 
e razão \( \frac{1}{3} \). 
 Resposta: \( \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{12}{2} = 6 \). Explicação: Use a fórmula da 
soma de uma série geométrica infinita. 
 
64. Encontre a derivada da função \( f(x) = \arcsin(\sqrt{x}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada 
do arcsin. 
 
65. Calcule a integral definida de \( \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ \ln|x| \right]_1^4 = \ln(4) - \ln(1) = \ln(4) \). Explicação: Aplique a regra 
fundamental do cálculo. 
 
66. Resolva a equação \( 5^x = 125 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). Explicação: Use as propriedades dos logaritmos para resolver a 
equação exponencial. 
 
67. Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \). Explicação: Use a regra da cadeia e a 
derivada de \( \ln(x) \). 
 
68. Calcule a integral indefinida de \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{3}e^{x^3} + C \). Explicação: Use a substituição \( u = x^3 \). 
 
69. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( y = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
70. Determine a soma dos termos de uma série aritmética infinita com \( a_1 = 8 \) e \( a_6 
= 32 \). 
 Resposta: \( S_{\infty} = \frac{a_1 + a_6}{2} = \frac{8 + 32}{2} = 20 \). Explicação: Use a 
fórmula da soma dos termos de uma série aritmética infinita. 
 
71. Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\sec(x)) \).