Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: A segunda derivada de \( f(x) \) é \( -\cos(x) \). 
 
43. Resolva a equação \( 3^x = 27 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). 
 
44. Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 \) no intervalo \( [0, 
1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{3} \) unidades quadradas. 
 
45. Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( -\frac{\cos(x)}{x^2} - \frac{\sin(x)}{x} \). 
 
46. Calcule a integral indefinida de \( \int x^3 \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{4}x^4 + C \). 
 
47. Encontre a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x} \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{1}{2}\ln|x| + C \). 
 
48. Resolva a inequação \( x^2 - 4x - 5 > 0 \). 
 Resposta: Os valores de \( x \) que satisfazem a inequação são \( x < -1 \) e \( x > 5 \). 
 
49. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \), uma forma do número de Euler ser definido. 
 
50. Calcule a derivada segunda de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: A segunda derivada de \( f(x) \) é \( \sec^2(x) \). 
 
51. Resolva a equação \( \log_{10}(2x) = 3 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 50 \). 
 
52. Encontre a área da região entre as curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) no intervalo \( [1, e] 
\).