Problemas de Cálculo Matemático

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36. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = 3x^2 - 2y^2 \) no ponto 
\( (-1, 2) \) na direção do vetor \( \langle 2, 1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( D_{\mathbf{v}}f(-1, 2) = -10 \). Utilize a fórmula da 
derivada direcional. 
 
37. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}x^n \). 
 Resposta: \( R = 3 \). Utilize o teste da razão para determinar o raio de convergência. 
 
38. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( 0 \). Esta é uma integral que se anula devido à simetria da função. 
 
39. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \frac{2}{x+3} \). 
 Resposta: A função inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{2}{x} - 3 \). Troque \( x \) e \( y \) e resolva 
para \( y \). 
 
40. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y\tan(x) = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y(x) = \sin(x) + ce^{-\ln|\cos(x)|} \). Esta é uma equação diferencial linear de 
primeira ordem. 
 
41. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x, y) = \cos(xy) \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = -x\sin(xy) \). 
 
42. Problema: Determine a solução da equação \( \log_3(x-1) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 10 \). Utilize as propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
43. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt 
 
{x} \) e \( y = 2x - x^2 \). 
 Resposta: \( \frac{4}{3} \). Calcule a integral da diferença entre as duas funções. 
 
44. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{x^2}{x^3 + 1} \, dx \).