Prévia do material em texto
Resposta: \( \frac{32}{3} \) 64. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = xe^{-x} \). Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-x} + xe^{-x} - 2 \) 65. Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \) 66. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = e^{xy^2} \) em relação a \( x \). Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy^2} \) 67. Resolva a equação diferencial \( y'' + 6y' + 9y = e^{3x} \). Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} + \frac{1}{6}e^{3x} \) 68. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^6 - 6x^4 + 9x^2 \). Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, -\sqrt{3}) \) e \( (\sqrt{3}, \infty) \), para baixo em \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), ponto de inflexão em \( (-\sqrt{3}, 0) \) e \( (\sqrt{3}, 0) \). 69. Calcule a integral \( \int \frac{e^x}{1+e^{x}} \, dx \). Resposta: \( x - \ln(1+e^x) + C \) 70. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) \). Resposta: \( y = x - 1 \) 71. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x^2e^{2x} \). Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{2x} + \frac{1}{2}x^2e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 \) 72. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4} \). Resposta: \( \frac{\pi^4}{90} \)