Problemas de Cálculo e Álgebra

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43. Resolva a equação diferencial \( y'' + 9y = \cos(3x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x) + \frac{1}{10}\cos(3x) \). Explicação: Usando 
o método da superposição para resolver a equação não homogênea. 
 
44. Calcule a integral \( \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + x} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}\ln|x^2 + 1| - \frac{1}{2}\ln|x| + C \), onde \( C \) é uma constante 
de integração. Explicação: Usando decomposição em frações parciais. 
 
45. Determine a solução do sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x + 2y - z = 4 \\ 
 2x - y + 3z = 7 \\ 
 3x + y - 2z = 8 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \( x = 1, \, y = 2, \, z = 3 \). Explicação: Usando métodos de álgebra linear para 
resolver sistemas de equações. 
 
46. Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = \ln(x) \), e \( x = 1 \). 
 Resposta: \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Encontrando os pontos de 
interseção das curvas e integrando. 
 
47. Calcule a derivada de \( y = \tan(x) + \sec(x) \). 
 Resposta: \( y' = \sec^2(x) + \tan(x)\sec(x) \). Explicação: Usando as regras de derivadas 
trigonométricas. 
 
48. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = xe^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^x + \frac{1}{2}xe^x \). Explicação: Usando o método do 
fator integrante para equações não homogêneas. 
 
49. Calcule a integral \( \int_0^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \, dx \).