Problemas de Cálculo e Séries

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1. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \). 
 Resposta: A integral definida de \( x^2 \) de 0 a 1 é \( \frac{1}{3} \). 
 Explicação: A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Substituindo os limites de 
integração, obtemos \( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \). 
 
2. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = e^x \cos(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) = e^x \cos(x) \) é \( e^x (\cos(x) - \sin(x)) \). 
 Explicação: Use a regra do produto para encontrar a derivada de \( f(x) \). 
 
3. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 Resposta: A solução é \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integre ambos os lados da equação em relação a \( x \) para encontrar \( y \). 
 
4. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser resolvido usando a regra de 
L'Hôpital ou por expansão em série de Taylor. 
 
5. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^k} \) converge. 
 Resposta: A série converge para \( k > 1 \). 
 Explicação: Isso é uma aplicação do teste de convergência p. 
 
6. Problema: Encontre a solução particular da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 \) 
que satisfaz \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução particular é \( y = \frac{x^3}{3} + 1 \). 
 Explicação: Resolva a equação diferencial e use a condição inicial para encontrar a 
constante de integração. 
 
7. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n^2} \). 
 Resposta: O raio de convergência é 1.