AV2 - CALCULO INTEGRAL

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Pergunta 1 -- /0,1
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são muito úteis 
para resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e 
encontrar a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é 
essencial.
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos estudados em 
Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus respectivos significados:
1. Integral definida.
2. Limites fundamentais.
3. Derivada da função no ponto.
4. Diferencial.
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido.
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada.
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável.
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 3, 4.
Resposta correta1, 4, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
1, 2, 4, 3.
3, 4, 2, 1.
Pergunta 2 -- /0,1
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo 
uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de 
Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um 
coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral 
representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido.
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Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 
vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
II e IV.
II e III.
Resposta corretaI, II e III.
I e III.
Pergunta 3 -- /0,1
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações 
das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem 
sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de 
forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites 
que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e III.
I, II e IV.
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,
II, III e IV.
I e IV.
II e III.
Pergunta 4 -- /0,1
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar uma 
ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o 
estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite 
fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque:
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite.
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1.
Resposta correta
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses 
dois elementos.
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico.
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite.
Pergunta 5 -- /0,1
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto 
menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa 
divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde 
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aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No 
entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite 
desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise 
as afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo 
ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
II, e IV.
I, II, III.
Resposta corretaII, III e IV.
I, II, III e IV.
III e IV.
Pergunta 6 -- /0,1
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de 
funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função 
mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e 
pelo gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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Resposta corretaV, F, V, V.
F, F, V, V.
V, F, V, F.
V, V, F, F.
V, V, V, F.
Pergunta 7 -- /0,1
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas 
vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos 
referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona 
inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de 
diferencial.
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que eleé 
relevante porque:
torna dispensável o uso do limite.
é pouco útil para a fundamentação do cálculo.
é útil na aplicação da regra de L’Hospital.
Resposta corretaestá relacionado com a ideia de infinitésimo.
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa.
Pergunta 8 -- /0,1
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Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma 
função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, 
novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais 
rápida e simples.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e 
integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))).
IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, F.
V, V, F, F.
V, V, F, V.
Resposta corretaF, F, V, V.
V, F, V, V.
Pergunta 9 -- /0,1
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado 
para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções 
polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter 
outros conhecimentos.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade 
v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o 
conteúdo estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x).
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III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do primeiro 
grau.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é 
constante e vale 2m/s².
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
II e IV.
I, II, III.
II, III.
Resposta corretaIII e IV.
Pergunta 10 -- /0,1
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de 
outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso 
que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos 
f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x).
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas 
de funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
Resposta corretaI e IV.
II e IV
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II, III e IV.