Exericico fixação-146

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26. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi/2] \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{\pi}{4} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
27. Problema: Encontre a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^3} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 Explicação: Esta é a série de Basel, cuja soma é conhecida. 
 
28. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = \frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: A concavidade é para cima em \( (-\infty, 0) \) e para baixo em \( (0, +\infty) \). 
Não existem pontos de inflexão. 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
29. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e os eixos \( x 
\) e \( y \) no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e os eixos \( x 
\) e \( y \) no intervalo dado. 
 
30. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto 
onde \( x = 4 \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{1}{4}x + 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
31. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \) com a 
condição inicial \( y(1) = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y = 1 - \frac{1}{x} \).