AULA SOBRE DESCONTOS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
APLICADA 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Anteriormente, estudamos o pagamento de um montante em uma única 
vez após um período de tempo, mas como realizar os cálculos quando o 
pagamento ocorre em parcelas? Quais são os principais conceitos que 
precisamos levar em consideração? 
De acordo com Castanheira e Macedo (2008), a sucessão de depósitos 
ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épocas diferentes, destinados a 
formar um capital ou a pagar (ou receber) uma dívida, é denominada renda ou 
série uniforme. Essa sucessão de pagamentos pode se destinar ao pagamento 
de uma dívida, o que caracteriza uma amortização ou pode se destinar a uma 
poupança, uma capitalização. 
Nesta aula, abordaremos as definições de fluxo de caixa e classificações 
das rendas, bem como as principais séries de pagamentos ou recebimentos que 
formam a base para os principais modelos de financiamentos de dívidas 
existentes no mercado. Estudaremos também a relação de equivalência 
existente entre fluxos de caixa e o cálculo do valor presente e futuro das 
diferentes rendas. 
CONTEXTUALIZANDO 
Provavelmente você já fez ou conhece alguém que tenha efetuado um 
financiamento tendo uma sucessão de pagamentos a realizar. Esses 
pagamentos chamamos de renda, mas esta não é apenas o pagamento de uma 
dívida, pois também podemos realizar uma série de depósitos para aplicação de 
um determinado valor. Dessa forma, segundo Castanheira (2016), a definição 
completa de renda é uma sucessão de pagamentos, de recebimentos ou de 
depósitos. 
Imagine que você pretende fazer uma compra e, para isso, realiza várias 
pesquisas no mercado a fim de comparar e encontrar o melhor preço. Após muita 
procura, constata que o melhor preço é R$ 5.000,00, mas esse valor só é válido 
à vista; caso seja parcelado, a taxa de juros inviabiliza a compra. Dessa forma, 
você faz as contas e verifica em seu orçamento que não possui o valor, mas não 
quer perder a oportunidade, que é muito vantajosa. Para tanto, encontra a 
alternativa de efetuar quatro depósitos mensais iguais numa conta remunerada 
a uma taxa de juros de 5% a.m, sendo que, no final deste período, você terá o 
 
 
3 
valor que precisa para pagamento à vista. Como o valor da mercadoria 
permanecerá inalterado, a poupança será uma opção, avaliando que o dinheiro 
estará rendendo durante o período da aplicação. 
No exemplo acima, temos a sucessão de depósitos para formar uma 
poupança e assim comprar o item desejado à vista. Considerando os dados 
apresentados, podemos calcular o valor dos depósitos a serem realizados. Para 
efetuar estes e outros cálculos, vamos estudar os principais conceitos 
envolvendo fluxo de caixa e rendas. 
TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA E CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS 
De acordo com Castanheira (2008), a sucessão de depósitos e/ou saques 
ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos, em dinheiro (caixa), previstos para 
determinado tempo, é denominada fluxo de caixa. Também podemos considerar 
as seguintes definições: 
• Série de pagamentos ou recebimentos que juntos formam uma operação 
financeira; 
• Representação de receitas e despesas ocorridas em diferentes períodos; 
• Sucessão de entradas e saídas de dinheiro no tempo; 
• Entradas e saídas de caixa ao longo de um período de tempo. 
Um fluxo de caixa pode ser representado de forma analítica ou gráfica. Na 
forma gráfica, a linha do tempo ou diagrama ilustra o fluxo evidenciando sua 
distribuição ao longo do período, em que o eixo horizontal representa a linha do 
tempo iniciada a partir de uma data zero (data inicial ou data atual). As setas 
voltadas para baixo são as saídas de dinheiro representando despesas, 
aplicações, custos ou parcelas, e as setas voltadas para cima são as entradas 
de dinheiro, representando receitas ou economias realizadas. No exemplo a 
seguir, temos uma saída de R$ 5.000 no período zero e entradas de R$ 500 nos 
demais períodos. 
 
 
 
 
 
 
4 
Figura 1 – Exemplo de fluxo de caixa 
 
 
Quando ocorrer, em um mesmo período, um pagamento e um 
recebimento, podemos representar os movimentos com uma seta para cima e 
outra para baixo ou indicar apenas uma seta com a diferença entre eles. No 
exemplo acima, vamos considerar que no período 2 ocorreu uma entrada de R$ 
500 e uma saída de R$ 800, então podemos representar apenas uma seta para 
baixo com uma saída de R$ 300 (R$ 500 – R$ 800 = - R$ 300). 
Já na forma analítica, ilustramos o fluxo de caixa utilizando uma tabela 
com a representação das entradas e saídas. Considere um fluxo de caixa em 
que, no período inicial zero, serão investidos R$ 5.000,00; no período 1 e 2, 
ocorrerão recebimentos, respectivamente, de R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00; no 
período 3, ocorrerá um novo investimento de R$ 1.000,00; e no período 4, 
recebimento de R$ 9.000,00. O fluxo de caixa analítico das movimentações é 
representado da seguinte forma: 
Tabela 1 – Exemplo de fluxo de caixa (1) 
Período Entradas Saídas 
0 5.000,00 
1 2.000,00 
2 4.000,00 
3 1.000,00 
4 9.000,00 
Podemos também representar as entradas de dinheiro como positivas e 
as saídas negativas. Assim a representação do mesmo fluxo de caixa seria: 
 
0 1 2 3 4 
5000 
500 500 500 500 
 
 
5 
Tabela 2 – Fluxo de caixa (2) 
Instantes Entradas (+) 
Saídas (-) 
0 - 5.000,00 
1 + 2.000,00 
2 + 4.000,00 
3 - 1.000,00 
4 + 9.000,00 
Vimos no início desta aula que renda, de acordo com Castanheira e 
Macedo (2008), é a sucessão de depósitos ou de pagamentos (ou de 
recebimentos), em épocas diferentes, destinados a formar um capital 
(capitalização) ou a pagar (ou receber) uma dívida (amortização). Francisco 
(1991) define rendas como um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis 
em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida. 
As rendas podem ser classificadas considerando quatro parâmetros: o 
prazo, o valor, o período e a forma. Quanto ao prazo, as rendas podem ser: 
• Temporárias: a duração é limitada, o número dos termos que compõe a 
renda é finito, possui um prazo final. Por exemplo, um financiamento de 
12 prestações iguais; 
• Perpétuas: a duração é ilimitada, o número de períodos que compõe a 
renda é infinito, por exemplo, seguros de vida e aposentadoria. 
Quanto ao valor, as rendas são classificadas como: 
• Constantes: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos 
possuem valores iguais, por exemplo, um financiamento que possui 12 
prestações iguais de R$ 500; 
• Variáveis: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos não 
possuem valores iguais. Se um dos pagamentos for de valor diferente dos 
demais, a renda é variável, por exemplo, realizo depósitos diferentes em 
uma poupança, sendo no 1º mês R$ 200, no 2º mês R$ 500 e no 3º mês 
R$ 800. 
Considerando a periodicidade, as rendas podem ser classificadas em: 
 
 
6 
• Periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, recebimentos, 
saques ou depósitos são iguais. Por exemplo, pagamentos mensais, 
semestrais ou anuais; 
• Não periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, 
recebimentos, saques ou depósitos não são iguais entre si. O intervalo 
entre dois períodos consecutivos é variável. 
Quanto à forma de pagamento ou de recebimento, temos: 
• Imediatas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito ocorre 
no primeiro período, podendo ser: 
o Postecipado: quando a ocorrência é no final do período, ou seja, 
sem entrada. Por exemplo, uma compra financiada em três 
pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro pagamento 30 dias 
após a compra ou ainda as compras realizadas no cartão de crédito 
onde o pagamento ocorrerá após o vencimento do cartão; 
o Antecipado: quando a ocorrência é no início do período, ou seja, 
com entrada sendo que o valor da entrada é igual ao valor das 
demais parcelas. Por exemplo, uma comprafinanciada em três 
pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro pagamento no ato da 
compra (1 + 2). 
• Diferidas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito não 
ocorre no primeiro período, havendo, um prazo de carência. Por exemplo, 
realizamos uma compra hoje e os pagamentos terão início após 120 dias. 
As rendas diferidas podem ser: 
o Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre um período 
após o término da carência; 
o Antecipada: quando o primeiro pagamento coincide com o final da 
carência. 
TEMA 2 – MODELO BÁSICO DE RENDA 
No tema 1, estudamos a classificação das rendas e neste tema 
estudaremos o modelo básico que consiste em uma renda que é 
simultaneamente temporária, constante, imediata, postecipada e periódica. 
 
 
7 
De acordo com Castanheira (2016), para determinarmos o valor atual (ou 
valor presente) de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o 
valor atual do desconto racional composto de cada parcela da renda, ou seja, o 
valor atual de cada parcela da série de pagamentos ou recebimentos pelo 
desconto racional composto e, em seguida, somamos os valores encontrados. 
Para calcular o valor atual, aplicamos a seguinte fórmula: 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 ou 
( )
( ) 





+
−+
=
ii
iPMTPV n
n
.1
11
 
onde: 
V = Valor atual, Valor Presente (PV ou VP), capital (C), valor à vista ou 
valor da renda na data focal zero. 
p = valor das prestações ou parcelas. 
Obs.: quando utilizamos a HP 12C, o valor das prestações é simbolizado 
por PMT. 
i = taxa de juro composto da operação. 
n = número de prestações ou número de pagamentos ou número de 
parcelas. 
Exemplo 1 
Determinar o valor à vista de um produto que foi comprado em 10 
prestações iguais a R$ 2.000,00, vencíveis mensalmente, sendo o pagamento a 
partir do primeiro mês (sem entrada), com taxa de juro composto de 2% ao mês. 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• n = 10 
• p = 2000 
• i = 2% a.m. / 100 = 0,02 a.m. 
Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar o valor à vista do produto: 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 
( )
( ) 







+
−+
=
02,0.02,01
102,012000 10
10
V
 
 
 
8 
( )
( ) 






 −
=
02,0.02,1
102,12000 10
10
V
 





 −
=
02,0.21899442,1
121899442,12000V
 






=
02437989,0
21899442,02000V
 
98258442,8.2000=V
 
V = 17965,17 
Podemos resolver esse exemplo utilizando a calculadora financeira 
HP12C, seguindo os passos: 
f REG (limpa os registros / memórias) 
f 2 (duas casas decimais no visor) 
2000 CHS PMT (define o valor da prestação) 
10 n (define o número de prestações) 
2 i (define a taxa de juro composto) 
PV (calcula o valor atual) 
PV = R$ 17.965,17 
Também podemos calcular o valor à vista utilizando a função VP do Excel: 
VP (taxa, NPER, pgto) 
onde: 
• NPER = número de períodos 
• PGTO = o valor das prestações. 
Assim: 
= VP(2%;10;-2000) 
VP = 17.965,17 
O valor à vista do produto é de R$ 17.965,17. 
Exemplo 2 
Qual é o valor da prestação a ser paga pelo comprador que deseja adquirir 
um produto que custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser financiado sem entrada, 
em 10 prestações mensais iguais, à taxa de 3% ao mês? 
 
 
9 
• V = 5.000 
• i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
• n = 10 
• p = ? 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 
( )
( ) 





+
−+
=
03,0.03,01
103,015000 10
10
p 





=
040317,0
343916,05000 p
 
( )530297,85000 p= 
530297,8
5000
=p
 
15,586=p 
Utilizando a calculadora financeira HP12C, temos: 
f REG (limpa os registros (memórias) financeiros) 
f 2 (duas casas decimais no visor) 
5000 CHS PV (define o valor presente) 
10 n (define o número de prestações) 
3 i (define a taxa de juro composto) 
PMT (calcula o valor das prestações) 
PMT = R$ 586,15 
Podemos também calcular o valor da prestação utilizando a função PGTO 
do Excel: 
PGTO (taxa, NPER, VP) 
onde: 
• NPER = número de períodos 
• VP = o valor presente de um investimento. 
Assim: 
=PGTO(3%;10;-5000) 
 
 
10 
= 586,15 
O valor da prestação a ser paga é de R$ 586,15. 
Além de calcular o valor presente, podemos encontrar o valor futuro (VF 
ou FV) ou montante (M) no final do período. Para determinar o montante de uma 
renda postecipada, podemos somar os montantes de cada depósito ou utilizar a 
seguinte fórmula: 
( )





 −+
=
i
ipM
n 11
 ou 
( )





 −+
=
i
iPMTFV
n 11
 
Exemplo 3 
Uma pessoa deposita mensalmente na poupança o valor de R$ 100,00. 
Considerando uma renda média de 1,4% ao mês, quanto essa pessoa possuirá 
no momento do último depósito, supondo que realizou 120 depósitos na data 
prevista? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• p = 100 
• i = 1,4% a.m. / 100 = 0,014 a.m. 
• n = 120 
• M = ? 
( )





 −+
=
014,0
1014,01100
120
M
 
( )







 −
=
014,0
1014,1100
120
M
 





 −
=
014,0
1303403,5100M
 






=
014,0
303403,4100M
 
385929,307.100=M 
59,738.30=M 
Pela calculadora financeira HP12C, temos: 
 
 
11 
f REG 
f 2 
100 CHS PMT 
120 n 
1,4 i 
FV (calcula o valor futuro, montante) 
FV = R$ 30.738,59 
Podemos calcular o valor futuro (Montante) utilizando a função VF do 
Excel: 
VF (taxa, NPER, pgto, VP) 
onde: 
• NPER = número de períodos 
• PGTO = o valor das prestações 
• VP = o valor presente de um investimento 
=VF(1,4%;120;-100) 
VF = 30.738,59 
O valor do montante no final dos 120 depósitos será de R$ 30.738,59. 
Exemplo 4 
Quanto possuirá no final de 2 anos uma pessoa que deposita R$ 1.000,00 
mensalmente, sabendo que está rendendo 2% ao mês? 
• M = ? 
• p = 1000 
• i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
• n = 2 anos = 24 meses 
Obs.: temos a taxa em meses e o período em anos, assim transformamos 
o período para mês. 
( )





 −+
=
02,0
102,011000
24
M
 





 −
=
02,0
160843725,11000M
 






=
02,0
60843725,01000M
 
 
 
12 
4218625,30.1000=M 
86,421.30=M 
Utilizando a calculadora financeira HP12C seguir os passos: 
f REG 
f 2 
1000 CHS PMT 
24 n (considerado o período em meses para estar na mesma unidade da taxa) 
2 i 
FV (calcula o valor futuro, montante) 
FV = R$ 30.421,86 
A pessoa possuirá R$ 30.421,86 no final dos 2 anos. Pelo Excel temos: 
=VF(2%;24;-1000) 
TEMA 3 – RENDA ANTECIPADA 
Segundo Castanheira (2016), a renda é antecipada em relação ao valor 
atual quando a primeira parcela ocorre na data zero, ou seja, é dada uma entrada 
de mesmo valor que as demais parcelas. Para o cálculo do valor atual, utiliza-se 
o mesmo conceito de rendas postecipadas. No entanto, como os pagamentos 
ou recebimentos ocorrem com a antecipação de um período, multiplicamos a 
fórmula da renda postecipada por (1 + i). 
( )
( )
)1.(
.1
11 i
ii
ipV n
n
+







+
−+
= ou ( )
( )
)1.(
.1
11 i
ii
iPMTPV n
n
+





+
−+
= 
Para o cálculo do Valor Futuro (FV) ou montante (M), utilizamos a fórmula: 
( ) )1.(11 i
i
ipM
n
+




 −+
= ou ( ) )1.(11 i
i
iPMTFV
n
+




 −+
= 
Exemplo 1 
Um produto é anunciado em 12 prestações mensais iguais de R$ 
8.400,00, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra (entrada). 
Qual o preço à vista desse produto, sabendo que a taxa de juro utilizada foi de 
2,5% ao mês? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• p = 8.40013 
• i = 2,5% a.m. / 100 = 0,025 a.m. 
• n = 12 
Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar o valor à vista do produto: 
( )
( )
)1.(
.1
11 i
ii
ipV n
n
+







+
−+
= 
( )
( )
)025,01.(
025,0.025,01
1025,018400 12
12
+







+
−+
=V
 
( )
( )
)025,1.(
025,0.025,1
1025,18400 12
12







 −
=V
 
)025,1.(
025,0.34488882,1
134488882,18400 




 −
=V
 
)025,1.(
025,0.34488882,1
134488882,18400 




 −
=V
 
)025,1.(
03362222,0
34488882,08400 





=V
 
)025,1).(25776466,10.(8400=V 
35,88319=V
 
Utilizando a calculadora financeira HP12C seguimos os passos abaixo: 
f REG 
f 2 
g BEG 
8400 CHS PMT 
12 n 
2,5 i 
PV 
PV = R$ 88.319,35 
Obs.: neste exercício, temos uma renda antecipada. Assim, é necessário 
manter visível a expressão BEGIN, logo utilizamos as teclas g BEG no início dos 
cálculos. 
 
 
14 
Também podemos calcular o valor atual utilizando a função VP do Excel, 
acrescentando no tipo o número 1 para indicar renda antecipada: 
VP(taxa, nper, pgto, [vf], [tipo]) 
=VP(2,5%;12;-8400;0;1) 
O preço à vista do produto é de R$ 88.319,35. 
Exemplo 2 
Uma pessoa deposita, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia 
de R$ 100,00. Calcule o valor futuro, sabendo que a instituição financeira paga 
juros de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• p = 100 
• i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
• n = 5 meses 
Agora vamos aplicar a fórmula do montante: 
( ) )1.(11 i
i
ipM
n
+




 −+
= 
( ) )02,01.(
02,0
102,01100
5
+




 −+
=M
 
( ) )02,1.(
02,0
102,1100
5







 −
=M
 
)02,1.(
02,0
1104080,1100 




 −
=M
 
)02,1.(
02,0
104080,0100 





=M
 
( ) )02,1.(2040,5100=M
 
81,530=M 
Pela calculadora financeira HP12C temos: 
f REG 
f 2 
g BEG 
100 CHS PMT 
 
 
15 
5 n 
2 i 
FV 
FV = R$ 530,81 
Podemos calcular o valor futuro utilizando a função VF do Excel, mas 
precisamos indicar no tipo o número 1, pois estamos trabalhando com renda 
antecipada: 
VF(taxa,nper,pgto,[vp],[tipo]) 
=VF(2%;5;-100;0;1) 
O valor futuro será de R$ 530,81. 
Exemplo 3 
Uma pessoa deseja ter R$ 48.000,00 daqui a 6 meses. Quanto deverá 
aplicar no início de cada mês considerando uma taxa de 1,8% ao mês? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• M = 48000 
• n = 6 meses 
• i = 1,8% a.m. / 100 = 0,018 a.m 
Agora vamos aplicar a fórmula do montante para encontrar o valor das 
prestações: 
( ) )1.(11 i
i
ipM
n
+




 −+
=
 
( ) )018,01.(
018,0
1018,0148000
6
+






 −+
= p
 
( ) )018,1.(
018,0
1018,148000
6







 −
= p
 
)018,1.(
018,0
111297823,148000 




 −
= p
 
)018,1.(
018,0
11297823,048000 





= p
 
( ) )018,1.(27656833,648000 p=
 
 
 
16 
38954656,6.48000 p=
 
38954656,6
48000
=p
 
27,7512=p
 
Podemos também isolar a variável p na fórmula do montante e obter uma 
fórmula para o cálculo do valor da prestação, assim: 
( ) )1].(11[
.
ii
iMp n +−+
=
 
Pela calculadora financeira HP12C temos: 
f REG 
f 2 
g BEG 
48000 CHS FV 
6 n 
1,8 i 
PMT 
PMT = R$ 7.512,27 
Podemos realizar este cálculo utilizando a função PGTO do Excel. Como 
temos uma renda antecipada vamos considerar no tipo o número 1 que indica 
que os vencimentos ocorrem no início do período. Assim: 
PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo]) 
=PGTO(1,8%;6;0;-48000;1) 
Para obter R$ 48.000,00 daqui a 6 meses, será necessário aplicar R$ 
7.512,27 no início de cada mês. 
TEMA 4 – RENDA DIFERIDA 
Estudamos no tema 1 que uma renda pode ser classificada como diferida 
sempre que existir um prazo de carência, podendo ser postecipada ou 
antecipada. Na renda diferida antecipada, a primeira parcela vence justamente 
com a carência; já na diferida postecipada a primeira parcela vence um período 
após a carência. 
 
 
17 
Para efetuar os cálculos envolvendo rendas diferidas, utilizamos as 
mesmas fórmulas do modelo básico de renda que estudamos no tema 2 e a 
fórmula de capitalização composta que estudamos anteriormente. 
Exemplo 1 
Uma compra foi financiada em quatro pagamentos mensais, postecipados 
no valor de R$ 3.000,00. Considerando-se uma carência de 2 meses e uma taxa 
de juros de 3% a.m, qual é o valor à vista da compra efetuada? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• p = 3000 
• n = 4 meses 
• carência = 2 meses 
• i = 3% a.m. / 100 = 0,03 a.m 
Primeiramente vamos aplicar a fórmula do valor atual da renda 
postecipada: 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 
( )
( ) 







+
−+
=
03,0.03,01
103,013000 4
4
V
 
( )
( ) 






 −
=
03,0.03,1
103,13000 4
4
V
 





 −
=
03,0.1255088,1
11255088,13000V
 






=
0337653,0
1255088,03000V 
 
( )71709418,33000=V 
28,11151=V 
 
Pela calculadora financeira HP12C temos: 
f REG 
f 2 
3000 CHS PMT 
4 n 
 
 
18 
3 i 
PV 
Trabalhamos com uma renda postecipada. Assim, o valor do V que 
encontramos representa o valor atual um período antes do primeiro pagamento, 
por isso será necessário considerar o período de carência para encontrar o valor 
atual na data zero. Para esse cálculo, vamos utilizar a fórmula do juro composto 
que estudamos anteriormente: 
ni
MC
)1( +
= 
2)03,01(
28,11151
+
=C 
2)03,1(
28,11151
=C 
0609,1
28,11151
=C 
15,10511=C 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
11151,28 CHS FV 
2 n 
3 i 
PV 
O valor à vista da compra efetuada foi de R$ 10.511,15. 
Exemplo 2 
Uma compra foi financiada em 12 pagamentos mensais iguais a R$ 
20.000,00. Considerando uma carência de 12 meses e uma taxa de juros de 4% 
a.m, qual o valor atual sendo que as prestações vencem no início do intervalo? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
• p = 20000 
• n = 12 meses 
 
 
19 
• carência = 12 meses 
• i = 4% a.m. / 100 = 0,04 a.m 
Primeiramente vamos aplicar a fórmula do valor atual da renda 
postecipada: 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 
( )
( ) 







+
−+
=
04,0.04,01
104,0120000 12
12
V
 
( )
( ) 






 −
=
04,0.04,1
104,120000 12
12
V
 





 −
=
04,0.60103222,1
160103222,120000V
 






=
06404129,0
60103222,020000V
 
( )38507360,920000=V
 
47,187701=V 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
20000 CHS PMT 
12 n 
4 i 
PV 
O enunciado indica que temos uma renda diferida antecipada, pois o 
pagamento será realizado no início do intervalo, logo vamos considerar um 
intervalo a menos de carência, ou seja, vamos utilizar no cálculo a carência de 
11 meses. 
ni
MC
)1( +
=
 
 
 
20 
11)04,01(
47,187701
+
=C
 
11)04,1(
47,187701
=C
 
53945406,1
47,187701
=C
 
30,121927=C
 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
187701,47 CHS FV 
11 n 
4 i 
PV 
O valor atual é de R$ 121.927,30. 
TEMA 5 – EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DECAIXA 
No tema 1, estudamos os principais conceitos envolvendo fluxo de caixa 
e agora vamos verificar quando dois ou mais fluxos são considerados 
equivalentes. De acordo com Castanheira e Macedo (2008), a equivalência de 
fluxos de caixa depende da taxa de juro e, se dois fluxos são equivalentes a certa 
taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. 
Para avaliarmos a equivalência entre fluxos de caixa, precisamos calcular 
o valor atual de cada fluxo e avaliar se os resultados são iguais. Dessa forma, 
se os fluxos possuem o mesmo valor atual a uma taxa de juros, os seus 
montantes após n períodos serão necessariamente iguais. 
Exemplo 
Considere os seguintes fluxos de caixa e avalie se são equivalentes à taxa 
de 1,8% ao mês: 
a. Pagamento único com montante de R$ 1.112,98 em seis meses; 
b. Oito parcelas mensais, sem entrada, de R$ 135,34. 
 
 
21 
Para avaliar se os fluxos apresentados são equivalentes, precisamos 
calcular os valores atuais considerando a taxa de 1,8% ao mês. Para o primeiro 
fluxo temos um pagamento único, então vamos calcular o valor atual utilizando 
a fórmula de juro composto: 
 ni
MC
)1( +
=
 
6)018,01(
98,1112
+
=C
 
6)018,1(
98,1112
=C
 
112978226,1
98,1112
=C
 
1000=C
 
Pela calculadora financeira HP12C temos: 
f REG 
f 2 
1112,98 CHS FV 
6 n 
1,8 i 
PV 
No segundo fluxo, temos oito parcelas mensais, sem entrada, de R$ 
135,34. Assim, vamos utilizar a fórmula da renda postecipada para encontrar o 
valor atual: 
( )
( ) 







+
−+
=
ii
ipV n
n
.1
11
 
( )
( ) 







+
−+
=
018,0.018,01
1018,0134,135 8
8
V
 
 
 
22 
( )
( ) 






 −
=
018,0.018,1
1018,134,135 8
8
V
 






=
02076131,0
15340605,034,135V
 
( )38903518,734,135=V
 
1000=V 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
135,34 CHS PMT 
8 n 
1,8 i 
PV 
Avaliando os resultados obtidos, concluímos que os valores atuais são 
iguais, assim os fluxos são equivalentes considerando a taxa de 1,8% ao mês. 
TROCANDO IDEIAS 
Nesta aula, estudamos as definições e características de cada tipo de 
renda e vimos as diferenças entre renda postecipada, também conhecida como 
modelo básico, antecipada e diferida. Logo, antes de realizar os cálculos, é 
importante identificar o tipo de renda com que estamos trabalhando. 
Considere que um produto foi vendido por R$ 324,00 de entrada, mais 
seis prestações mensais e iguais de R$ 200,00 com uma taxa de juro de 2,5% 
ao mês. Analisando este exemplo, qual é o tipo de renda que está sendo 
utilizada? 
Neste exemplo, temos uma entrada de R$ 324,00 mais seis prestações 
de R$ 200,00, logo a entrada não possui o mesmo valor das parcelas, assim não 
temos uma renda antecipada. Devemos considerar como renda as seis 
prestações, que são características do modelo básico de renda (renda 
postecipada). Caso seja necessário calcular o preço à vista desse produto, deve-
 
 
23 
se aplicar a fórmula da renda postecipada e somar ao resultado o valor da 
entrada. 
NA PRÁTICA 
Nesta aula, estudamos o cálculo do valor presente, futuro e prestações 
dos diferentes tipos de rendas. Para praticar os assuntos estudados nesta aula, 
vamos resolver os seguintes exercícios. 
Exercício 1 
Uma loja vende uma máquina por R$ 2.000,00 à vista. Considerando a 
taxa de juros de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, determine o valor 
da prestação para cada um dos seguintes planos de financiamento: 
a. 20% de entrada e o saldo financiado em 24 prestações mensais e iguais 
sendo a primeira prestação vencendo um mês após a compra. 
Neste plano, temos uma entrada de 20%. Assim, a entrada será de R$ 
400, ou seja: 
2000 x 0,20 = 400 
Descontando a entrada de R$ 400, teremos um financiamento de R$ 
1.600 (2000 – 400 = 1600). Com base nesse valor, vamos calcular as prestações 
considerando o modelo básico de renda e utilizando a HP12C: 
1600 CHS PV 
24 n 
1,25 i 
PMT 
PMT = R$ 77,58 
b. 1+24 prestações mensais. 
Nesse plano, temos uma entrada que é do mesmo valor das demais 
parcelas, assim consideramos uma renda antecipada. Vamos calcular o valor 
das prestações utilizando a HP12C: 
g BEG 
2000 CHS PV 
25 n 
1,25 i 
PMT 
 
 
24 
PMT = R$ 92,49 
Exercício 2 
Um empréstimo de R$ 3.000,00 pode ser pago em qualquer um dos 
planos indicados a seguir. Verifique se os planos são equivalentes considerando 
a taxa de 2,5% ao mês de juro composto. 
a. Quatro parcelas mensais e iguais a R$ 400,00 sem entrada nos primeiros 
quatro meses mais uma parcela de R$ 1.821,77 no final do oitavo mês; 
b. Três parcelas mensais sendo no primeiro mês o valor de R$ 492,00, no 
segundo mês R$ 1.596,95 e no terceiro mês R$ 1.076,89. 
 Para avaliar se os fluxos apresentados são equivalentes, precisamos 
calcular os valores atuais considerando a taxa de 2,5% ao mês. No primeiro 
fluxo, temos quatro parcelas mensais e iguais a R$ 400,00 sem entrada. Assim, 
calcule o valor atual utilizando a fórmula da renda postecipada: 
( )
( ) 







+
−+
=
025,0.025,01
1025,01400 4
4
V
 






=
027595322,0
103812891,0400V
 
( )761974258,3400=V
 
789703,1504=V
 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
400 CHS PMT 
4 n 
2,5 i 
PV 
Como temos mais uma parcela de R$ 1.821,77 no final do oitavo mês, 
será necessário aplicar a fórmula do juro composto: 
 
 
25 
8)025,01(
77,1821
+
=C
 
218402898,1
77,1821
=C
 
 
Pela calculadora financeira HP12C: 
f REG 
f 2 
1821,77 CHS FV 
8 n 
2,5 i 
PV 
Para finalizar, somamos os resultados obtidos: 
3000211480,1495789703,1504 =+
 
No segundo fluxo, temos três parcelas mensais, sendo no primeiro mês o 
valor de R$ 492,00; no segundo mês, R$ 1.596,95; e no terceiro, R$ 1.076,89. 
Como as parcelas são diferentes, vamos aplicar a fórmula do juro composto para 
cada uma delas e somar os resultados: 
480
)025,01(
492
1 =+
=C
 
1520
)025,01(
95,1596
2 =
+
=C
 
1000999,999
)025,01(
89,1076
3 ==
+
=C
 
Pela calculadora financeira HP12C: 
492 CHS FV 
1 n 
2,5 i 
PV = 480
 1596,95 CHS FV 
211480,1495=C
 
 
26 
2 n 
2,5 i 
PV = 1.520
 1076,89 CHS FV 
3 n 
2,5 i 
PV = 999,99 = 1.000
 
480 + 1520 + 1000 = 3000 
Comparando os resultados, concluímos que os fluxos são equivalentes à 
taxa de 2,5% ao mês. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, vimos os principais conceitos envolvendo fluxo de caixa, bem 
como os cálculos e caraterísticas de cada tipo de renda. Estudamos também que 
as rendas possuem a seguinte classificação e, com base nessa classificação, 
efetuamos os cálculos de valor presente, valor futuro e prestação. 
Quadro 1 – Classificação das rendas 
 
Fonte: Francisco, 1991. 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2008. 
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991. 
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem 
descomplicada.São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
PUCCINI, E. C. Matemática financeira. Yumpu, 2007. Disponível em: 
<https://www.yumpu.com/pt/document/read/14514487/matematica-financeira-
ernesto-coutinho-puccinipdf>. Acesso em: 5 maio 2021. 
 
 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	Trocando ideias
	Na prática
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS