Raízes de Equações de 2º Grau

Prévia do material em texto

y
y 3 8
3
1° membro 2° membro
5
=
103
 50. Fatore o 1º membro de cada equação e determine suas raízes.
a ) x 2 + 6x + 9 = 4 
b ) x 2 + 18x + 81 = 36 
c ) x 2 + 14x + 49 = 16 
d ) x 2 − 24x + 144 = 25 
e ) x 2 − 12x + 36 = 0 
Assim, para que a expressão x 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x seja um trinômio quadrado perfeito, precisamos 
acrescentar 5 2 a ela. trinômio quadrado perfeito
 x 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 5 2 = x 2 + 10x + 25 
Logo, para não alterar a igualdade x 2 + 10x = − 9 , precisamos acrescentar 5 2 aos dois 
membros:
 x 2 + 10x + 5 2 = − 9 + 5 2 
 x 2 + 10x + 25 = 16 
 • Fatorando o 1º membro da equação, obtemos suas raízes.
Para comprovar se − 1 e − 9 
são as raízes, substitua cada 
uma na equação (x + 5) 2 = 16 
e verifique que a relação de 
igualdade permanece.
Atenção! (x + 5) 2 = 16 
ou
 x + 5 = + √ 
_
 16 
 x + 5 = 4 
 x = 4 − 5 
 x = − 1 
 x + 5 = − √ 
_
 16 
 x + 5 = − 4 
 x = − 4 − 5 
 x = − 9 
Portanto, as raízes da equação x 2 + 10x + 9 = 0 são − 1 e − 9 .
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
Em todas as equações desta atividade, o 1º membro 
é um trinômio quadrado perfeito.
Atenção!
Para escrever a equação, 
considere a medida da 
área total das figuras em 
cada membro.
Atenção!
 51. Utilizando o método de completar quadrados, determine as raízes de cada equação.
a ) x 2 + 8x + 12 = 0 
b ) x 2 + 6x − 16 = 0 
c ) x 2 + 12x − 28 = 0 
d ) x 2 + 10x + 21 = 0 
e ) x 2 + 2x − 8 = 7 
f ) x 2 + 20x + 105 = 6 
 52. De acordo com as figuras, escreva no caderno uma equação do 2º grau e determine as 
suas raízes.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
50. Respostas: a) (x + 3) 2 = 4 ; − 5 e − 1 ; 
b) (x + 9) 2 = 36 ; − 15 e − 3 ; c) (x + 7) 2 = 16 ; − 11 e − 3 ;
d) (x − 12) 2 = 25 ; 17 e 7; e) (x − 6) 2 = 0; 6.
51. Respostas: a) − 6 e − 2 ; b) 2 e − 8 ; c) 2 e − 14 ; d) − 3 e − 7 ; e) 3 e − 5 ; f) − 11 e − 9 .
52. Resposta: y 2 + 6y = 40 ; − 10 e 4.
103
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na atividade 50, re-
tome o processo de fatoração e 
obtenção das raízes da equação 
x 2 + 6x + 9 = 36 , exposto no subtó-
pico Fatoração na página 101.
• Ao trabalhar com a atividade 51, 
permita que os estudantes a resol-
vam em duplas. Desse modo, eles 
poderão trocar ideias e estratégias. 
Se julgar conveniente, resolva o item 
a com eles. Durante essa resolução, 
faça questionamentos, como: “O 
1o membro da equação é um tri-
nômio quadrado perfeito?”; “Que 
número precisamos adicionar em 
ambos os membros da equação 
para que seja possível escrever um 
trinômio quadrado perfeito?”. Per-
mita que exponham suas respostas 
e, com base nelas, obtenha as raízes 
da equação.
• Na atividade 52, os estudantes 
devem calcular a medida da área 
das figuras em cada membro, igua-
lando-as. Para resolver a equação, 
verifique se completam a figura 
correspondente ao 1o membro, de 
modo a obter um quadrado com 
comprimento do lado medindo 
y + 3 . Para isso, deve-se acrescen-
tar na figura do primeiro membro 
um quadrado de dimensões medin-
do 3, cuja medida de área deve ser 
acrescentada ao 2o membro.
Aproveite esta atividade para en-
fatizar que duas figuras planas po-
dem ter a mesma medida de área. 
Destaque ainda que, embora essa 
equação tenha duas raízes reais, 
somente y = 4 é aceitável para re-
presentar a medida de um compri-
mento, pois a outra raiz é negativa.
x x²
x
b
2a
b
2a
x
b
2a
xb
2a
x x²
x
b
2a
b
2a
x
b
2a
xb
2a
b
2a
b
2a
x x²
x
b
2a
x + b
2a
b
2a
x
b
2a
xb
2a
x + b
2a
b
2a
²
( )
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
104
Fórmula resolutiva
Anteriormente, estudamos como resolver equações completas do 2º grau por meio da 
fatoração e do método de completar quadrados. Outra maneira de obter as raízes desse 
tipo de equação é por meio da fórmula resolutiva, que é uma generalização desse método.
A seguir, deduziremos a fórmula resolutiva utilizando o método de completar quadrados.
Para isso, começamos com a equação a x 2 + bx + c = 0 , com a , b e c números reais e 
a ≠ 0 .
 • Primeiro, dividimos cada termo dessa equação por a e isolamos, no 2º membro, o termo 
independente.
 a _ a x 
2 + b _ a x + c _ a = 0 
 x 2 + b _ a x = − c _ a 
 • Agora, representamos geometricamente o 1º membro da equação.
Para facilitar essa representação, trocamos b _ a ⋅ x pela expressão algébrica equivalente 
2 ⋅ b _ 2a ⋅ x .
 x 2 + b _ a x = x 2 + 2 ⋅ b _ 2a x 
medida da área de 
um quadrado cujo 
comprimento dos 
lados mede x 
medida da área 
de um retângulo 
cujas dimensões 
medem b _ 2a e x 
Na figura ao lado, percebemos que, para completar o 
quadrado, é necessário acrescentar a ela um quadrado 
cujo comprimento dos lados mede b _ 2a .
1º. 2º.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
104
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades para compreender os 
procedimentos apresentados nes-
ta e na página seguinte, escreva-os 
na lousa explicando cada um deles. 
Durante esta dinâmica, faça ques-
tionamentos aos estudantes a fim 
de verificar se eles estão compre-
endendo o processo.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
105
Assim, para que o 1º termo da equação seja um trinômio quadrado perfeito, precisamos 
acrescentar ( b _ 2a ) 
2
 aos dois membros da equação:
 x 2 + b _ a x + ( b _ 2a ) 
2
 = ( b _ 2a ) 
2
 − c _ a 
trinômio quadrado 
perfeito (x + b _ 2a ) 
2
 
 b 2 _ 4 a 2 
 • Fatoramos o 1º membro da equação obtida e a desenvolvemos até isolarmos a incógnita 
x no 1º membro.
O símbolo ± (lê-se mais 
ou menos) indica que há 
dois valores associados: um 
positivo e outro negativo.
Atenção! (x + b _ 2a ) 
2
 = b 2 _ 4 a 2 − c _ a 
 (x + b _ 2a ) 
2
 = b 2 − 4ac _ 4 a 2 
 x + b _ 2a = ± √ 
_
 b 2 − 4ac _ 4 a 2 
 x = − b _ 2a ± 
√ 
_
 b 2 − 4ac _ 2a 
Se b 2 − 4ac é maior ou 
igual a zero, podemos 
extrair a raiz quadrada 
dos dois membros da 
equação.
SO
U
 S
O
U
 0
7/
SH
U
TT
ER
ST
O
C
K
As letras gregas são muito utilizadas em notações matemáticas, entre elas, a delta, que é a 4ª letra do 
alfabeto grego.
 x = − b ± √ 
_
 b 2 − 4ac ______________ 2a ou x = − b ± √ 
_
 Δ _ 2a 
fórmula resolutiva
Podemos substituir b 2 − 4ac por 
Δ (lê-se delta), que é chamado 
discriminante da equação.
105
• Na fórmula resolutiva, diga aos 
estudantes que, para a equação do 
2o grau admitir solução no conjunto 
dos números reais, o discriminante 
deve ser maior ou igual a zero.
• Ao apresentar o alfabeto grego 
para os estudantes, peça a eles que 
indiquem as letras que conhecem e 
em que conteúdo elas costumam 
ser utilizadas.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
106
Usando a fórmula resolutiva, podemos obter, por exemplo, as raízes da equação 
x 2 − 3x + 2 = 0 . Nela, temos a = 1 , b = − 3 e c = 2 . Assim, calculando o valor do discrimi-
nante da equação, obtemos:
 Δ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = (− 3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 
Sendo assim:
 x = − b ± √ 
_
 Δ _________ 
2a
 = 
− (− 3) ± √ 
_
 1 
 ___________ 
2 ⋅ 1
 = 3 ± 1 _____ 
2
 
Consequentemente:
 x 1 = 3 + 1 _____ 
2
 = 4 __ 
2
 = 2 x 2 = 3 − 1 _____ 
2
 = 2 __ 
2
 = 1 
Portanto, as raízes dessa equação são x 1 = 2 e x 2 = 1 .
Para verificarse a resolução está correta, substituímos os valores de x 1 e x 2 na equação 
x 2 − 3x + 2 = 0 .
De fato, x 1 = 2 e x 2 = 1 são as raízes da equação.
Equações literais
Na equação a seguir, de incógnita x , também aparece a letra p . Nesse caso, a letra p , 
chamada parâmetro, faz parte dos coeficientes da equação.
 x 2 + 4px − 5 p 2 = 0 
Nessa equação, temos a = 1 , b = 4p e c = − 5 p 2 . Esse tipo de equação é chamado equa-
ção literal. 
Podemos resolvê-la usando a fórmula resolutiva.
 Δ = b 2 − 4ac = (4p) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 5 p 2 ) = 36 p 2 
 x = − b ± √ 
_
 Δ _________ 
2a
 = 
− 4p ± √ 
_
 36 p 2 
 ____________ 
2 ⋅ 1
 = 
− 4p ± 6p
 _________ 
2
 
Consequentemente:
 x 1 = 
− 4p + 6p
 _________ 
2
 = p x 2 = 
− 4p − 6p
 _________ 
2
 = − 5p 
Portanto, as raízes dessa equação são x 1 = p e x 2 = − 5p .
 (2) 2 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 
 4 − 6 + 2 = 0 
 0 = 0 
 x 1 = 2 
 (1) 2 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0 
 1 − 3 + 2 = 0 
 0 = 0 
 x 2 = 1 
106
• Enfatize o fato de que, para ve-
rificar se as raízes obtidas estão 
corretas, basta substituir os valo-
res obtidos na equação e verificar 
se a igualdade é satisfeita. Se julgar 
conveniente, peça-lhes que deter-
minem, por exemplo, se 2 e 3 são 
raízes da equação x 2 + 5x + 6 = 0 e 
da equação x 2 − 5x + 6 = 0 .
• Explique aos estudantes que as 
equações literais são assim chama-
das quando em seus coeficientes há 
parâmetros, ou seja, uma letra que 
assume valores no conjunto dos nú-
meros reais. No exemplo apresen-
tado no livro, atribua alguns valores 
para o parâmetro p e escreva na 
lousa as equações e suas respecti-
vas raízes.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
107
Considere agora a equação x 2 + 5x − 4m = 0 , de incógnita x , que tem uma das raízes 
igual a 3. Para obter a outra raiz dela, podemos substituir a incógnita x pela raiz conhecida e, 
assim, determinamos o valor do parâmetro m . Em seguida, resolvemos a equação.
 3 2 + 5 ⋅ 3 − 4m = 0 
 9 + 15 − 4m = 0 
 m = 24 ___ 
4
 
 m = 6 
Substituímos o valor de m e resolvemos a equação.
 x 2 + 5x − 4 ⋅ 6 = 0 
 x 2 + 5x − 24 = 0 
Consequentemente, x 1 = − 8 e x 2 = 3 .
Portanto, a outra raiz dessa equação é − 8 .
Equações fracionárias
As equações que apresentam pelo menos uma fração com incógnita em seu denomina-
dor são chamadas equações fracionárias. Nelas, o denominador de cada fração deve ser 
diferente de zero.
Acompanhe como podemos obter as raízes da equação fracionária 3 _____ 
x − 4
 − 2 = 5 __ x , com 
x ≠ 4 e x ≠ 0 .
Calculamos inicialmente o mmc de x e x − 4 , que é x ⋅ (x − 4) , e multiplicamos cada ter-
mo da equação pelo mmc para eliminarmos os denominadores. Em seguida, simplificamos 
a equação, deixando-a na forma reduzida, e usamos a fórmula resolutiva, obtendo, assim, 
as raízes da equação.
As raízes desta equação 
devem ser diferentes de 
0 e de 4. Caso contrário, 
um dos denominadores 
se anularia.
Atenção!
 3 _____ 
x − 4
 − 2 = 5 __ x 
 3 _____ 
 x − 4 
 ⋅ x ⋅ (x − 4) − 2 ⋅ x ⋅ (x − 4) = 5 __ x ⋅ x ⋅ (x − 4) 
 3x − 2x (x − 4) = 5 (x − 4) 
 3x − 2 x 2 + 8x = 5x − 20 
 − 2 x 2 + 6x + 20 = 0 
Utilizando a fórmula resolutiva, por exemplo, obtemos x 1 = − 2 e x 2 = 5 .
Por fim, verificamos se as raízes obtidas atendem às condições de existência da equação.
 − 2 ≠ 0 − 2 ≠ 4 5 ≠ 0 5 ≠ 4 
Portanto, as raízes da equação são x 1 = − 2 e x 2 = 5 .
107
• Se necessário, resolva com os estu-
dantes as equações x 2 + 5x − 24 = 0 
e − 2 x 2 + 6x + 20 = 0 na lousa.
Medida da área: 24 m² x + 1
2x
x + 1
3x − 2
Medida da
área: 6 m²
2x + 1
3x + 3
x + 6
6x − 3
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
108
Atividades
 53. Resolva no caderno as equações do 
2º grau a seguir usando a fórmula reso-
lutiva.
a ) x 2 − 7x + 6 = 0 
b ) a 2 + 3a − 18 = 0 
c ) 2 y 2 − 6y − 20 = 0 
d ) 4 y 2 + 8y + 3 = 0 
e ) 7 x 2 − 21x = 0 
f ) a 2 − 2a − 9 = 0 
 54. Jorge é professor de Matemática e 
sempre que lhe fazem alguma pergunta 
durante a aula, gosta de usar a Mate-
mática em sua resposta. Analise o que 
ele respondeu quando lhe perguntaram 
a idade de seus filhos.
Faça as atividades 
no caderno.
Qual é a idade dos filhos do professor 
Jorge?
 55. No caderno, escreva cada equação na 
forma reduzida e, em seguida, resolva-
-as da maneira que preferir.
a ) 3 (6x − 6) + 2 x 2 = x 2 + 11x − 28 
b ) − 5 (− 2x + 3) − 3 x 2 = 1 − 2 x 2 
c ) 2x (x − 4) + 5 = − x 2 + 7x − 7 
d ) (x + 2) (2x − 3) = 5 x 2 + x − 114 
 57. As medidas indicadas no triângulo a se-
guir estão expressas em centímetros.
B.
A.
a ) Utilizando a medida do perímetro 
desse triângulo, escreva uma equa-
ção que possibilite determinar o va-
lor de x .
b ) Utilizando a medida da área desse 
triângulo, escreva uma equação que 
possibilite determinar o valor de x .
c ) Entre as equações obtidas nos itens 
a e b, qual é do 2º grau?
d ) Determine a medida do comprimen-
to de cada lado do triângulo resol-
vendo a equação escrita no item b.
Medida do 
perímetro: 36 cm 
Medida da área: 
54 cm 2 
 56. Sabendo que as medidas dos compri-
mentos dos lados das figuras a seguir 
estão indicadas em metros, determine 
o valor de x e a medida do perímetro 
de cada figura.
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
AN
D
RÉ
 A
G
U
IA
R/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Professor Jorge, 
qual é a idade de 
seus filhos?
Paula é mais velha 
do que Henrique, e a 
idade deles, em anos, 
corresponde às raízes 
dessa equação.
53. Respostas:
a) 1 e 6; b) − 6 e 3;
c) − 2 e 5; d) − 1 __ 
2
 e 
 − 3 __ 
2
 ; e) 0 e 3; 
f) 1 + √ 
_
 10 e 1 − √ 
_
 10 .
54. Resposta: Paula: 15 anos; 
Henrique: 11 anos.
55. Respostas: a) x 2 + 7x + 10 = 0 ; − 5 e − 2 ; b) − x 2 + 10x − 16 = 0 ; 2 e 8; 
c) 3 x 2 − 15x + 12 = 0 ; 1 e 4; d) − 3 x 2 + 108 = 0 ; − 6 e 6.
56. Respostas: A. x = 3 ; 
20 m ; B. x = 2 ; 12 m .
57. Respostas: a) 10x − 30 = 0 ; b) 3 x 2 + 21x − 90 = 0 ;
c) A equação obtida no item b; d) 9 cm , 12 cm e 15 cm .
108
• Ao trabalhar com a atividade 53, 
verifique se os estudantes compre-
endem a possibilidade de resolver 
equações do 2o grau incompletas 
usando a fórmula resolutiva. No ca-
so do item e, questione-os a respei-
to do valor de c.
• Durante o trabalho com as ativi-
dades 53 e 54, oriente os estudan-
tes a verificar, de acordo com os 
procedimentos apresentados na 
página 106, se a solução obtida está 
correta.
• Na atividade 55, oriente os es-
tudantes a utilizar a propriedade 
distributiva da multiplicação e, em 
seguida, reduzir os termos seme-
lhantes. Deixe-os livres para resol-
ver a equação do 2o grau da manei-
ra que preferirem. Se achar neces-
sário, escreva na lousa os métodos 
de resolução trabalhados anterior-
mente e peça a eles que resolvam 
uma mesma equação recorrendo a 
mais de uma estratégia.
• As atividades 56 e 57 envolvem 
cálculo da medida de perímetros e 
de áreas de figuras planas e resolu-
ções de equações do 2o grau. Com 
isso, essas atividades relacionam as 
unidades temáticas Álgebra, Geo-
metria e Grandezas e medidas. Na 
atividade 56, peça aos estudantes 
que calculem a medida da área de 
cada figura e obtenham a equação 
que represente essa medida. Após 
calcularem as raízes da equação, 
enfatize que, por se tratar de me-
didas, somente as raízes positivas 
serão consideradas.
Se necessário, relembre que a me-
dida do perímetro de umpolígono 
é igual à soma das medidas dos 
comprimentos de seus lados.
x + 24
2x − 1
r s t
u
v
3x
2x + 6
2x
2x − 4
r//s//t
20 m
30 m
x
x + 8
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
109
 58. Ao determinar as raízes da equação 
x 2 − x − 6 = 0 , obtemos dois números:
a ) pares.
b ) ímpares.
c ) cuja soma é igual a 1.
d ) cujo produto é igual a − 1 .
 59. Sabendo que a soma dos quadrados de 
dois números inteiros e consecutivos é 
113, determine esses números.
 60. Calcule no caderno o valor de x na fi-
gura a seguir.
 63. Escreva no caderno uma equação para 
representar as informações de cada 
item, usando a incógnita x , e resolva-a.
a ) O quadrado de um número é igual a 
8 menos o dobro desse número.
b ) O quadrado de um número mais 
seu dobro é igual a esse número 
mais 2.
 64. Para produzir morangos, um agricultor 
utiliza um terreno retangular cuja medi-
da da área é 600 m 2 . Com o objetivo 
de aumentar a produção, o agricultor 
decidiu aumentar as medidas do terre-
no em x metros na largura e x + 8 me-
tros no comprimento.
Qual deve ser o valor de x para que a 
medida da área de plantio seja aumen-
tada em 1000 m 2 ?
 n : quantidade de lados
 D : quantidade de diagonais
Usando essa fórmula, podemos calcu-
lar, por exemplo, quantos lados tem 
um polígono convexo com 14 diagonais, 
da seguinte maneira:
 14 = 
n (n − 3) 
 _______ 
2
 
 n (n − 3) = 14 ⋅ 2 
 n 2 − 3n = 28 
 n 2 − 3n − 28 = 0 
No caderno, resolva essa equação e 
determine quantos lados tem esse po-
lígono convexo.
H
EL
O
ÍS
A 
PI
N
TA
RE
LL
I/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 62. As medidas indicadas no paralelepípedo 
reto retângulo estão em centímetros. 
Calcule a medida do volume desse pa-
ralelepípedo, sabendo que a medida da 
área de sua planificação é 188 cm 2 .
 61. Para obtermos a quantidade de diago-
nais de um polígono convexo, pode-
mos utilizar a seguinte fórmula:
 D = 
n (n − 3) 
 _______ 
2
 
58. Resposta: Alternativa c.
59. Resposta: 7 e 8 e − 8 e − 7 .
62. Resposta: 168 cm 3 .
60. Resposta: x = 12 .
63. Respostas: a) x 2 = 8 − 2x ; − 4 e 2; b) x 2 + 2x = x + 2 ; − 2 e 1.
64. Resposta: 12 m .61. Resposta: 7 lados.
109
• Ao trabalhar com a atividade 58, 
se julgar necessário, oriente os 
estudantes a calcular as raízes da 
equação utilizando o método que 
julgarem mais adequado. Em se-
guida, escolha alguns deles para 
apresentar os procedimentos aos 
colegas. 
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldade na atividade 59, orien-
te-os a indicar o número inteiro 
desconhecido por x. Em seguida, 
verifique se eles percebem que o 
número consecutivo a x é x + 1 . Se 
julgar conveniente, na lousa, escreva 
com os estudantes a equação que 
possibilita resolver esse problema.
• As atividades 60 e 61 relacionam 
as unidades temáticas Álgebra e 
Geometria. Se julgar conveniente, 
antes de propor a atividade 60, re-
tome o teorema de Tales com os 
estudantes. Na atividade 61, veri-
fique se eles percebem que, após 
resolver a equação do 2o grau, a 
única raiz que satisfaz o problema é 
n = 7 , pois n indica a quantidade de 
lados do polígono.
• Na atividade 62, peça aos estu-
dantes que identifiquem cada face 
do paralelepípedo e, em seguida, 
calculem a medida da área de cada 
uma em função de x . Se necessário, 
faça na lousa alguns cálculos com a 
ajuda deles. Para obter uma equa-
ção do 2o grau, eles devem adicio-
nar os polinômios que correspon-
dem às medidas das áreas de cada 
face e reduzir os termos semelhan-
tes. Comente com os estudantes 
que a medida do volume de um pa-
ralelepípedo é igual ao produto das 
medidas das três dimensões.
• A atividade 63 tem por objetivo 
representar algebricamente uma 
equação do 2o grau dada em lingua-
gem materna e resolvê-la. Após ob-
ter os possíveis valores desconheci-
dos, sugira aos estudantes que fa-
çam a substituição na equação para 
verificar se a solução está correta.
• Na atividade 64, verifique se os 
estudantes percebem que a medida 
da área de plantio passará a ser de 
1600 m 2 . Após obterem o valor de x , 
peça a eles que indiquem as me-
didas dos lados do terreno após o 
aumento.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
110
 69. Em cada equação, com incógnita x , foi 
apresentada uma das raízes. Determine 
no caderno a outra raiz.
 65. Usando a fórmula da atividade 61, efe-
tue os cálculos no caderno e determine 
quantos lados tem um polígono conve-
xo com:
a ) 20 diagonais;
b ) 35 diagonais;
c ) 65 diagonais;
d ) 90 diagonais.
 66. O produto de um número inteiro x por 
seu consecutivo é igual a 380. Quais 
são esses números?
 67. Determine as raízes das equações lite-
rais, a seguir, com incógnita x .
a ) x 2 − 3px − 4 p 2 = 0 
b ) − 9 x 2 + 6px + 3 p 2 = 0 
c ) 3p x 2 + 2px − 5p = 0 
d ) 3 p 2 x 2 − 5px − 2 = 0 
e ) 6 x 2 − 12px = 0 
f ) 2p x 2 − 8p = 0 
 68. Obtenha, se existirem, as raízes das 
equações fracionárias a seguir.
a ) x __ 
2
 + 9 ___ 
2x
 = − 5 , com x ≠ 0 .
b ) x + 10 _ x = 5 , com x ≠ 0 .
c ) x − 21 ______ 
11
 = − 11 _____ 
x + 1
 , com x ≠ − 1 .
d ) 4 _____ 
x − 2
 = 2 − 6 __ x , com x ≠ 0 e x ≠ 2 .
e ) 4 __ x + 2 = 3 _____ 
x + 1
 , com x ≠ 0 e x ≠ − 1 .
f ) x _______ 
2 (x + 1) 
 + x _______ 
− 3x + 1
 = 0 , com x ≠ − 1 
e x ≠ 1 __ 
3
 .
g ) 2 _____ 
x + 1
 − 3 __ x = 2 − x _____ 
x + 1
 , com x ≠ 0 e 
x ≠ − 1 .
a ) Resolva no caderno essa equação e 
determine quantas pessoas distribu-
íram os panfletos.
b ) Quantos panfletos cada pessoa en-
tregou?
 70. Para que a expressão x + 1 _____ x , com x ≠ 0 , 
seja igual a 2x − 3 ______ 
4
 , qual deve ser o va-
lor de x ?
 71. Para divulgar uma peça de teatro que 
seria apresentada na escola, Leandro e 
alguns amigos ficaram responsáveis pe-
la distribuição de 84 panfletos. No dia 
da distribuição, 3 pessoas não puderam 
participar dela. Com isso, cada pessoa 
entregou 9 panfletos a mais. Para saber 
quantas pessoas entregaram os panfletos, 
podemos representar por x o número de 
pessoas que combinaram de distribuí-los 
e escrever a seguinte equação.
 x 2 − 9m − 4 = 0 
Raiz: x = − 7 
 x 2 + 6x − 4m = 0 
Raiz: x = 2 
B.
A.
 84 _____ 
x − 3
 = 84 ___ x + 9 , com x ≠ 3 e x ≠ 0 
quantidade de 
panfletos que 
seriam distribuídos 
por pessoa
quantidade de 
panfletos distribuídos 
por pessoa
65. Respostas: 
a) 8 lados; 
b) 10 lados; 
c) 13 lados; 
d) 15 lados.
66. Resposta: 19 e 20 ou − 20 e − 19 .
67. Respostas:
a) 4p e − p ;
b) − 
p
 __ 
3
 e p ;
c) − 5 __ 
3
 e 1 ;
d) 2 __ p e − 1 ___ 
3p
 , 
com p ≠ 0 ;
e) 0 e 2p ;
f) − 2 e 2.
68. a) Resposta: − 9 e − 1 .
68. c) Resposta: 10.
68. d) Resposta: 1 e 6.
68. e) Resposta: Não tem raízes reais.
68. f) Resposta: 0 e 3.
68. g) Resposta: Não tem raízes 
reais.
69. Respostas: A. x = − 8 ; B. x = 7 .
70. Resposta: − 1 __ 
2
 ou 4.
71. Respostas: a) x = 7 ; 4 pessoas; 
b) 21 panfletos.
68. b) Resposta: Não tem raízes reais.
110
• Na atividade 65, verifique se os 
estudantes lembram as caracterís-
ticas de um polígono convexo. Se 
necessário, mostre um exemplo na 
lousa. Enfatize que a incógnita n 
representa a quantidade de lados 
de um polígono. Logo, são aceitos 
somente valores inteiros positivos.
• Ao trabalhar com a atividade 66, 
se necessário, dê explicações se-
melhantes às sugeridas no comen-
tário correspondente à atividade 59 
na página anterior.
• Na atividade 67, oriente os estu-
dantes a destacar os coeficientes 
da equaçãoe utilizar a fórmula re-
solutiva. Nos itens e e f, outra pos-
sibilidade é fatorar os termos da 
equação e colocar o fator comum 
em evidência. 
• As atividades 68, 70 e 71 têm por 
objetivo resolver equações fracio-
nárias. Para resolvê-las, reúna os es-
tudantes em duplas. Se necessário, 
retome o trabalho com o mínimo 
múltiplo comum. No item c da ati-
vidade 68 e na atividade 70, basta 
“multiplicar em cruz”.
• Na atividade 69, com questiona-
mentos, leve os estudantes a perce-
ber que, inicialmente, é necessário 
obter o valor de m. Além disso, ve-
rifique se compreendem que, para 
obter esse valor, basta substituir a 
raiz dada na equação. 
• Ao envolver o contexto do teatro, 
a atividade 71 se relaciona com as 
culturas juvenis, uma vez que se 
trata de um tipo de arte apreciado 
pelos jovens. Portanto, faça per-
guntas como: “Alguém da turma se 
interessa por teatro?”. Aproveite o 
momento e questione: “Vocês pre-
ferem teatro ou cinema?”; “Vocês 
conhecem alguma peça ou artista 
teatral? Se sim, qual?”. Envolva to-
dos na discussão, desperte o ânimo 
dos estudantes e converse a respei-
to do tema. Obtenha informações 
sobre culturas juvenis nas orienta-
ções gerais deste manual.
A soma dos quadrados de 3 nú-
meros naturais consecutivos é igual 
a 365. Qual é o produto desses nú-
meros?
Atividade a mais Resolução e comentários
Sejam x , x + 1 e x + 2 esses números. Então 
x 2 + (x + 1) 2 + (x + 2) 2 = 365 . Resolvendo os produ-
tos notáveis e reduzindo os termos semelhantes, 
obtemos:
 x 2 + (x + 1) 2 + (x + 2) 2 = 365 
 x 2 + x 2 + 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 
 3 x 2 + 6x + 5 = 365 
 3 x 2 + 6x + 5 − 365 = 365 − 365 
 3 x 2 + 6x − 360 = 0 
Resolvendo essa equação pela fórmula resolutiva, 
obtemos x = 10 ou x = − 12 . Como x é um número 
natural, então x = 10 . Logo, o produto desses nú-
meros é dado por:
 10 ⋅ (10 + 1) ⋅ (10 + 2) = 10 ⋅ 11 ⋅ 12 = 1320 
111
De modo geral, na resolução de qualquer equação do 2º grau, temos três casos.
 • Se Δ é um número positivo ( Δ > 0 ), a equação tem duas raízes reais e diferentes.
 • Se Δ é igual a zero ( Δ = 0 ), a equação tem duas raízes reais e iguais.
 • Se Δ é um número negativo ( Δ < 0 ), a equação não tem raízes reais.
Relações envolvendo as raízes e os coeficientes
Usando os coeficientes de uma equação do 2º grau na forma a x 2 + bx + c = 0 , podemos 
escrever duas relações envolvendo a soma ( S ) e o produto ( P ) de suas raízes x 1 e x 2 .
Para determinar essas relações, consideremos x 1 e x 2 da seguinte maneira:
 x 1 = − b + √ 
_
 Δ _________ 
2a
 e x 2 = − b − √ 
_
 Δ _________ 
2a
 , em que Δ = b 2 − 4ac 
Podemos estabelecer essas relações da seguinte maneira.
Soma das raízes
 S = x 1 + x 2 = − b + √ 
_
 Δ _________ 
2a
 + − b − √ 
_
 Δ _________ 
2a
 = − b + √ 
_
 Δ − b − √ 
_
 Δ __________________ 
2a
 = − b − b _______ 
2a
 = − 2 b ____ 
 2 a
 = − b __ a 
Estudo das raízes de uma equação 
do 2º grau
O discriminante e a quantidade de raízes
Analise três equações do 2º grau que Bruna resolveu. Em cada resolução, verifique o valor 
de Δ e a quantidade de raízes de cada equação.
B.A. C.
 
Δ = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 4) 
 
Δ = 9 + 16 
 
Δ = 25 
 
 x 2 + 3x − 4 = 0 
 
 x 2 + 6x + 9 = 0 
 
2 x 2 + 2x + 7 = 0 
 
Δ = 2 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 7 
 
Δ = 4 − 56 
 
Δ = − 52 
Δ = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 
 Δ = 36 − 36 
 Δ = 0 
 x = − 3 ± √ 
_
 25 __________ 
2 ⋅ 1
 
Consequentemente:
 x 1 = − 3 + 5 _______ 
2
 = 1 
 x 2 = − 3 − 5 _______ 
2
 = − 4 
 x = − 6 ± √ 
_
 0 _________ 
2 ⋅ 1
 
Consequentemente:
 x 1 = − 6 + 0 _______ 
2
 = − 3 
 x 2 = − 6 − 0 _______ 
2
 = − 3 
 x 1 = x 2 = − 3 
 
x = − 2 ± √ 
_
 − 52 ___________ 
2 ⋅ 2
 
A equação não 
tem raízes reais, 
pois não existe 
raiz quadrada de 
número negativo 
no conjunto dos 
números reais.
111
• Verifique a possibilidade de pro- 
por aos estudantes a situação apre- 
sentada nesta página antes de abor- 
dá-la no livro, a fim de que, em 
duplas, eles tentem relacionar a 
quantidade de raízes ao valor do 
discriminante. Para isso, escreva 
na lousa cada uma das três equa-
ções e peça a eles que calculem 
suas raízes, se existirem, utilizando 
a fórmula resolutiva. Depois, con-
siderando as estratégias e as reso-
luções propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente as explicações 
encontradas no livro.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
112
Note que, tanto na relação da soma das raízes quanto na de produto, chegamos à mes-
ma solução. Logo, a outra raiz dessa equação é x 2 = 3 .
Produto das raízes
 P = x 1 ⋅ x 2 = − b + √ 
_
 Δ _________ 
2a
 ⋅ − b − √ 
_
 Δ _________ 
2a
 = 
 (− b + √ 
_
 Δ ) ⋅ (− b − √ 
_
 Δ ) 
 ______________________ 
4 a 2 
 = 
 (− b) 2 − ( √ 
_
 Δ ) 
2
 
 ____________ 
4 a 2 
 = 
 = b 2 − Δ ______ 
4 a 2 
 = 
 b 2 − ( b 2 − 4ac) 
 _____________ 
4 a 2 
 = b 2 − b 2 + 4ac ____________ 
4 a 2 
 = 4ac ___ 
4 a 2 
 = c __ a 
Assim:
 
S = x 1 + x 2 = − b __ a 
 
P = x 1 ⋅ x 2 = c __ a 
As relações de soma e produto 
das raízes possibilitam resolver 
algumas equações do 2º grau 
de maneira prática.
Atenção!
Quando o coeficiente a da equação do 2º grau é 1, podemos obter mentalmente suas 
raízes utilizando as relações de soma e produto.
 S = − b __ a = − b __ 
1
 = − b P = c __ a = c _ 
1
 = c 
Assim, se a = 1 , a soma das raízes é o oposto do coeficiente b e o produto das raízes é 
o próprio coeficiente c .
Podemos obter as raízes da equação x 2 + 7x + 10 = 0 usando essas relações da seguinte 
maneira.
 • Inicialmente, determinamos dois números cuja soma seja o oposto do coeficiente b , 
nesse caso, − (+ 7) = − 7 . Algumas possibilidades são:
 − 1 e − 6 − 2 e − 5 − 4 e − 3 − 10 e 3 − 9 e 2
 • Como o produto das raízes é o coeficiente c , ou seja, 10, as raízes são − 2 e − 5 , pois 
elas satisfazem as duas relações.
 S = − 2 + (− 5) = − 7 e P = (− 2) ⋅ (− 5) = 10 
Analise, agora, a seguinte situação.
 x 1 + x 2 = − b __ a 
 1 __ 
2
 + x 2 = − 
 (− 7) 
 ____ 
2
 
 x 2 = 7 __ 
2
 − 1 __ 
2
 
 x 2 = 6 __ 
2
 
 x 2 = 3 
 x 1 ⋅ x 2 = c __ a 
 1 __ 
2
 ⋅ x 2 = 3 __ 
2
 
 
 x 2 __ 
2
 = 3 __ 
2
 
 x 2 = 3 
Uma das raízes da equação 2 x 2 − 7x + 3 = 0 é x 1 = 1 __ 
2
 . Podemos obter a outra 
raiz dessa equação sem utilizar a fórmula resolutiva. Faremos isso de duas maneiras, 
utilizando as relações de soma ( S ) e produto ( P ) das raízes.
112
• A resolução de uma equação do 
2o grau utilizando as relações de so-
ma e produto de suas raízes nem 
sempre é prática. A escolha de qual 
método utilizar (fatoração, com-
pletar quadrados, fórmula resoluti-
va ou relações de soma e produto) 
vai depender dos coeficientes da 
equação e de suas raízes. De modo 
geral, as relações de soma e produ-
to podem ser práticas, por exem-
plo, quando o coeficiente a é 1, 
quando as raízes são números in-
teiros “fáceis” de serem obtidos ou 
quando uma das raízes é igual a 1.