Avaliação de Renda Fixa

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Prof. Alex Gama
Avaliação de Renda Fixa
Mercado de Renda Fixa – Avaliação de Bônus
• Bônus são títulos representativos de contratações de
empréstimos pelas empresas, os quais prometem pagar a
seus investidores determinados fluxos futuros de
rendimentos.
• Os títulos de renda fixa definem, em sua emissão, as
condições de negociação, como a taxa de juros
prometida, prazo de emissão, forma de pagamento dos
juros (ao final ou em parcelas periódicas).
Os principais riscos a que um investidor está exposto ao
adquirir esses títulos são:
▪ Oscilações nas taxas de juros de mercado;
▪ Inadimplência do emitente.
▪ Liquidez de mercado.
▪ Oportunidades de reinvestimentos dos fluxos de caixa
recebidos pelo investidor.
Mercado de Renda Fixa – Avaliação de Bônus
Renda Fixa: Risco, Retorno e Liquidez
• Risco de taxa de juros : o preço do mercado de títulos
comporta-se de forma inversa ao da taxa de juros.
Sempre que a taxa de juros sobe o título perde valor,
quando a taxa de juros cai o valor do título aumenta.
• Risco de reinvestimentos: o reinvestimento dos fluxos
intermediários de caixa assume o risco da redução das
taxas de juros de mercado. Sempre que as taxas caírem,
os rendimentos dos reinvestimentos também diminuem.
Porém se a taxa de juros aumentam os ganhos dos
reinvestimentos também se elevam.
• Risco de negociação antecipada: o resgate antecipado
de um título segue os juros de mercado. Quanto mais
incerta a taxa de juros no mercado, mais alta se
apresenta o risco de uma negociação antecipada do
título.
• Risco de liquidez: a liquidez de um título de renda fixa
afeta seu risco. Liquidez é a capacidade de um título ser
rapidamente negociado no mercado, mantendo uma
certa estabilidade em seu preço, ou seja, sem
necessidade do titular conceder desconto relevantes em
seu preço.
Renda Fixa: Risco, Retorno e Liquidez
Mercado de Renda Fixa Avaliação de Bônus
• 1 Yield to maturity – YTM
• 2 Preço de mercado de um bond
• 3 Duration
• 4 Volatilidade
• 5 Duration de uma carteira
• 6 Duration modificado
Avaliação de Bônus
• Os Bônus são títulos de renda fixa representativos de
empréstimos contratados pelas empresas, que
prometem pagar aos investidores um determinado
fluxo futuro de rendimentos.
• São notas promissórias emitidas sem garantia real, que
pagam juros periódicos ou determinado montante no
final do período.
• Os títulos de renda fixa com prazos menores de um
ano são identificados como instrumentos de curto
prazo, títulos públicos, commercial papers e CDB.
• Títulos com maturidade superior a um ano são
denominados Bônus ou Bonds.
• Emitidos por governos e empresas.
• Os bônus de mais baixo risco são emitidos pelo
governo. Os títulos emitidos por instituições que não
o tesouro remuneram o investidor com um prêmio
pelo risco, como forma de compensar a possibilidade
de não serem pagos os juros e/ou o principal. O
percentual deste prêmio é geralmente obtido por
empresas especializadas em classificação de risco de
crédito.
Avaliação de Bônus
1. Yield to Maturity - YTM
• YTM reflete o rendimento (yield) efetivo dos títulos de renda
fixa até seu vencimento (maturity).
• Sua metodologia equivale à medida da taxa interna de retorno
(IRR), que é a taxa de desconto que iguala, em determinada
data, entradas e saídas previstas de caixa de um investimento.
• O YTM, por derivar do conceito IRR, assume o pressuposto de
reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa à própria
taxa de juros prometida pelo investimento. Para que a IRR
ocorra, o investidor deve manter o título em seu poder até seu
vencimento.
• Os títulos que oferecem um só pagamento no final, são
chamados zero cupon bond.
CÁLCULO DO YTM DE UM BÔNUS, COM JUROS 
PERIÓDICOS
( ) ( ) ( )n
nn
YTM
PC
YTM
C
YTM
C
YTM
C
P
+
+
++
+
+
+
+
+
=
1
...
111
3
3
2
21
0
PARA UM ÚNICO PAGAMENTO NO FINAL DO PERÍODO SE USA
A SEGUINTE FÓRMULA:
( )n
nn
YTM
CP
P
+
+
=
1
0
YTM
0P = Preço corrente de mercado
nCCC ,....,, 21
= Fluxos de caixa prometidos por período
nP = valor nominal (de face) do título
= Taxa de juro que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor 
presente igual ao preço corrente do bônus
Po
Pn +C
n
Zero Cupon Bond
O PREÇO DE MERCADO DE UM BÔNUS SE CALCULA
DE FORMA SIMILAR A FORMULAÇÃO DO YTM,
UTILIZANDO COMO TAXA DE DESCONTO A
REMUNERAÇÃO EXIGIDA PELO MERCADO (K)
( ) ( ) ( ) ( ) 




+
+
++
+
+
+
+
+
=
n
nn
K
PC
K
C
K
C
K
C
P
1
...
111
3
3
2
21
0
2. Preço de Mercado do Bond
Admitamos um bond com valor de face de $ 1.000
que paga juros semestrais proporcionais a 10% a.a.
A maturity do título é 10 anos. Determinar o valor
do título se:
a) Os investidores aceitam a taxa de 10% (nominal) 
b) O mercado desconta o título a 12% a.a. (nominal)
c) O mercado aceita uma YTM de 9% a.a. após 2 anos da 
data de emissão (nominal)
( ) ( ) ( ) ( ) 




+
+
++
+
+
+
+
+
=
n
nn
K
PC
K
C
K
C
K
C
P
1
...
111
3
3
2
21
0
Preço de Mercado do Bond
( ) ( ) ( ) ( )
000.1$
05,1
100050
...
05,1
50
05,1
50
05,1
50
20320 =




 +
++++=P
( ) ( ) ( ) ( )
30,885$
06,1
100050
...
06,1
50
06,1
50
06,1
50
20321 =




 +
++++=P
( ) ( ) ( ) ( )
17,056.1$
045,1
100050
..
045,1
50
045,1
50
045,1
50
16322 =




 +
++++=P
Relação entre o preço e retorno de um título
•Se o retorno oferecido pelo título é igual ao cupom,
então o título está negociado no mercado AO PAR, ou
seja, o valor de mercado é igual ao valor de face;
•Se o retorno apurado pelo título for inferior a seu
cupom, o título é negociado no mercado com ÁGIO, ou
seja, por um preço superior a seu valor de face;
•SE o retorno do título for superior ao pagamento do
cupom, o preço de mercado do título sofre um
desconto (DESÁGIO), sendo negociado por um valor
inferior ao de face.
Current Yield
Demonstra a rentabilidade periódica de um bond
em relação ao seu preço corrente de mercado,
ou seja:
TítuloeçoMercado
CuponicoJuroPeriód
CYldCurrentYie
Pr
)(
)( =
Current Yield
Admitamos um bond com maturidade de 8 anos que paga
cupom de 10% ao ano, com rendimentos semestrais.
O bond está sendo negociado no mercado pelo preço de
$1.089, sendo seu valor de face $1.000. Determinar o
YTM e CY desse título.
( ) ( ) ( )n
nn
YTM
PC
YTM
C
YTM
C
YTM
C
P
+
+
++
+
+
+
+
+
=
1
...
111
3
3
2
21
0
( ) ( )162
1
1000$50$
...
1
50$
1
50$
089.1
YTMYTMYTM +
+
++
+
+
+
=
Current Yield
( ) ( )162
1
1000$50$
...
1
50$
1
50$
089.1
YTMYTMYTM +
+
++
+
+
+
=
YTM = 4,22% ao semestre ou 8,62% ao ano
CY = $100/$1.089 = 0,0918 ou 9,18% ao ano
Exercício
Admita um título com vencimento de 4 anos e que
paga cupom semestral de 12% a.a. O valor nominal
do título é de R$ 10.000,00, sendo negociado no
mercado com deságio de 5%.
Pede-se determinar o Yield to maturity (YTM) do
título.
Relação entre a taxa de juro e o preço do título
Valor do 
Título ($)
P0 K sobe → P0 cai
K cai → P0 sobe
Taxa de 
Juros (%)
K
3. Duration
Um aspecto relevante na avaliação de títulos de renda 
fixa é a distribuição dos fluxos de caixa no tempo.
Um bond com um único pagamento no final do prazo
possui maturity igual ao prazo do título (zero cupon
bond).
Para um bond que paga cupons intermediários, o
cálculo do prazo é mais adequadamente obtido
considerando-se estes fluxos de caixa intermediário.
O prazo efetivo de um fluxo de caixa com parcelas de 
rendimento intermediárias é aquela que o torna 
indiferente à opção de resgatar o investimento por 
meio de um pagamento único. (Duration)
• O cálculo do duration, representa o prazo médio do título,
levando-se em consideração o valor do dinheiro no
tempo.
• Duration: duração efetiva, reflete mais adequadamente o
tempo da operação.
• Duration de Macaulay: rigor técnico.
• Duration de Assaf: forma simplificada de cálculo, sem o
rigor técnico da formulação de Macaulay. Os resultados
são bastante próximos.
Duration
Cálculo do Duration
( ) 
= =
+=
t
jt
j
n
jj YTMPVVBF
1 1
1
ASSAF
VBF = valor bruto final. Soma simples dos fluxos de caixa.
PV = valor presente do bônus descontado a taxa prometida
n = prazo médio equivalente
YTM = taxa efetiva de retorno oferecida pelo título
( )
0
1
1/
P
YTMC
Duration
n
j
t
t
=
+
=
MACAULAY
Cálculo do Duration (continuação)
Ct = valor do pagamento do título (principal e rendimentos em 
cada momento t).
(t) = tempo decorrido até a data do pagamento.
n = maturidade total do título.
YTM = yield to maturity.
P0 = preço de mercado do título descontado pela YTM
( )

= +
=
n
j
t
t
YTM
C
P
1
0
1
Exemplo
Admita o lançamento de um título a um preço de subscrição de R$ 1.000,00
que promete rendimento linear de 10% a.a., com pagamentos semestrais de
cupons (5% a.s.) e o prazo do título de 3 anos. Qual a duration de Macaulay?
1 2 3 (4) = (3) / Principal 5 = (4) x (1)
Data Rendimento VP Participação em relação ao principal Ponderação
1 50 47,61905 0,047619048 0,047619048
2 50 45,35147 0,045351474 0,090702948
3 50 43,19188 0,04319188 0,12957564
4 50 41,13512 0,041135124 0,164540495
5 50 39,17631 0,039176308 0,195881542
6 1050 783,5262 0,783526166 4,701156999
Total Bruto 1300 Duration 5,329476671
Exemplo
P0 = 1.000 → Título negociado ao par
( )
semestres
xxx
Duration
P
YTMC
Duration
n
j
t
t
33,5
000.1
05,1
6050.1
05,1
150
05,1
150
1/
62
0
1
=
+++
=
+
=

=

00,297.1$)05,1(50)05,1(50)05,1(50 633,5233,5133,5 RFVD =+++= −−− 
( )
n
t
j
t
j
n
jj YTMPVVBFASSAF
)05,01(000.1300.1
1
1 1
+=
+== 
= =
D = 5,38 semestres
Propriedades básicas da duration
• A duration é uma função crescente do prazo de
vencimento do título, ou seja, conforme o prazo de
vencimento se eleva, a duration também cresce.
• A duration mantém uma relação inversa com as taxas de
juros de mercado.
• Quanto maiores forem os juros do cupom, mais
rapidamente o titular o realiza, ou seja, quanto mais
elevado for o cupom, maio o valor presente dos fluxos de
caixa, portanto, menor a duration.
Exemplo de Duration
Admita um título de três anos de maturidade e que oferece
rendimentos de 8% ao ano, pagos semestralmente. Seu valor
de face é de $ 1.000. A taxa de retorno exigida pelos
investidores atinge 10% ao ano. Determinar o preço de
mercado do título e a duration.
$ 1.000,00
1 2 3 4 5 6
$ 40,00 $ 40,00 $ 40,00 $ 40,00 $ 40,00 $ 1.040,00
Exemplo de Duration
Cálculo de Duration de Macauly
𝑃0 =
$ 40,00
1,05
+
$ 40,00
 1,05 2
+
$ 40,00
 1,05 3
+
$ 40,00
 1,05 4
+
$ 40,00
 1,05 5
 +
$ 1.040,00
 1,05 6
 
Preço de mercado do título ( P0)
=
$ 40,00 × 1
1,05
+
$ 40,00 × 2
 1,05 2 +
$ 40,00 × 3
 1,05 3 +
$ 40,00 × 4
 1,05 4 +
$ 40,00 × 5
 1,05 5 +
$ 1.040,00 × 6
 1,05 6
$949,24
 
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 5,43 semestres 
Exercício
• Admita um bônus com as seguintes características:
• Maturidade: 4 anos
• Cupom semestral: 9% a.a. (nominal)
• Rendimento exigido pelo investidor: 10% a.a. (nominal)
• Valor da emissão: R$ 1.000,00
Calcule a duration de Macaulay
( )
0
1
1/
P
YTMC
Duration
n
j
t
t
=
+
=
( )

= +
=
n
j
t
t
YTM
C
P
1
0
1
YTM
MacaulayD
MD
+
=
1
)(
Referências Bibliográficas
Assaf Neto, A. Mercado financeiro, 6ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2005.
Assaf Neto, A. Matemática financeira e suas aplicações, 
11ª ed. São Paulo: Atlas, 2009.