Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II
ANDRÉ SILVEIRA
 Unidade de Ensino: 2
 Competência da Unidade: Conhecer conceitos e técnicas relativas às integrais 
de funções de uma variável e suas aplicações.
 Resumo: Nesta aula iremos aprender a aprender métodos de integração.
 Palavras-chave: Integrais definidas, integrais indefinidas, método da substituição, 
método da integração por partes, substituição trigonométrica
 Título da Aula: Técnicas avançadas de integração
 Aula nº: 6
Métodos de 
Integração: 
integração por 
partes
3
Na integração por partes, aprenderemos a lidar 
com integrais de produtos de funções, do tipo: 
න𝑎 𝑥 𝑏(𝑥) 𝑑𝑥
A regra de integração por partes diz que dadas 
duas funções deriváveis a e b, então:
න𝑎 𝑥 𝑏′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 − න𝑎′ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
න𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න𝑣 𝑑𝑢
 Vamos calcular a integral da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑒3𝑥:
න𝑥2𝑒3𝑥 𝑑𝑥
 Escolher a e b entre as funções da integral.
𝑎 𝑥 = 𝑥2, 𝑏′ 𝑥 = 𝑒3𝑥
 Determinar 𝑎’(𝑥)
𝑎 𝑥 = 𝑥2 → 𝑎′ 𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥
 Determinar 𝑏(𝑥)
𝑏′ 𝑥 = 𝑒3𝑥
𝑏 𝑥 = න𝑒3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒3𝑥
3
Resolve 
pelo 
método de 
mudança 
de variável
Substituindo as funções na regra da integração por 
partes:
න𝑎 𝑥 𝑏′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 − න𝑏 𝑥 𝑎′ 𝑥 𝑑𝑥
න𝑥2𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ⋅
𝑒3𝑥
3
− න
𝑒3𝑥
3
⋅ 2𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥2 ⋅
𝑒3𝑥
3
−
2
3
න𝑒3𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥
Ainda é 
necessário 
aplicar o 
método
Escolher a e b entre as funções da integral.
𝑎 𝑥 = 𝑥, 𝑏′ 𝑥 = 𝑒3𝑥
 Determinar 𝑎’(𝑥)
𝑎 𝑥 = 𝑥 → 𝑎′ 𝑥 = 1𝑑𝑥
 Determinar 𝑏(𝑥)
𝑏′ 𝑥 = 𝑒3𝑥
𝑏 𝑥 = න𝑒3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒3𝑥
3
Resolve 
pelo 
método de 
mudança 
de variável
න𝑥2𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ⋅
𝑒3𝑥
3
−න
𝑒3𝑥
3
⋅ 2𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥2 ⋅
𝑒3𝑥
3
−
2
3
න𝑒3𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥2 ⋅
𝑒3𝑥
3
−
2
3
𝑥 ∙
𝑒3𝑥
3
−න
𝑒3𝑥
3
𝑑𝑥
=
𝑥2𝑒3𝑥
3
−
2𝑥𝑒3𝑥
9
+
2
3
∙
𝑒3𝑥
9
+ 𝐶
=
𝑥2𝑒3𝑥
3
−
2𝑥𝑒3𝑥
9
+
2𝑒3𝑥
27
+ 𝐶
Resolve pelo 
método de 
mudança de 
variável
Métodos de 
Integração: 
substituição 
trigonométrica
9
Esse método é utilizado para calcular integrais que 
envolvem radicais do tipo
𝑎2 − 𝑥2, 𝑥2 + 𝑎2, 𝑥2 − 𝑎2 ,
Vamos calcular a integral da função 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2
න 4 − 𝑥2 𝑑𝑥
Primeiro temos que realizar a substituição:
𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑑𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑑𝜃
Temos que:
4 − 𝑥2 = 4 − (2𝑠𝑒𝑛 𝜃 )2 = 4 − 4𝑠𝑒𝑛2 𝜃
= 4(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 4 cos2 𝜃 = 2 cos θ
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = cos2 𝜃
න 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = න2cos(𝜃) ⋅ (2 cos 𝜃 ) 𝑑𝜃
= න4 cos2(𝜃) 𝑑𝜃
= 4න
1
2
+
1
2
cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 4
1
2
𝜃 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐶
= 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 + 𝐶
cos2 𝜃 =
1
2
+
1
2
cos 2𝜃
නcos(2𝜃) 𝑑𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐶
Precisamos retornar o resultado para a variável 𝑥. Sabemos 
que
𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑥
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
4 − 𝑥2 = 2 cos(𝜃)
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = (1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos(𝜃)
Utilizando essas informações teremos:
2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 + 𝐶 = 2𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos(𝜃) + 𝐶
= 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+
1
2
𝑥 4 − 𝑥2 + 𝐶
EXERCÍCIO
15
Cálculo 
de área
Suponha que você esteja construindo um jardim e 
separou uma parte circular para plantar flores. 
Sabendo que a equação da circunferência dessa 
região é dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 36. Sabendo que o raio 
dessa circunferência é 6 𝑚 determine a área dessa 
região.
Temos que a equação da circunferência é dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 36. Para o cálculo 
área iremos dividir a circunferência em duas semicircunferência e calcular a área 
de uma delas, depois multiplicamos a área encontrada por 2.
 Isolar y
𝑥2 + 𝑦2 = 36
𝑦2 = 36 − 𝑥2
𝑦 = ± 36 − 𝑥2
 Vamos calcular a área da semicircunferência superior, em que 
− 6 ≤ 𝑥 ≤ 6
Assim precisaremos resolver a seguinte integral:
𝐴 = න
−6
6
36 − 𝑥2 𝑑𝑥
Para resolvermos essa integral precisaremos utilizar o método de 
substituição trigonométrica. Como temos um radical do tipo 𝑎2 − 𝑥2
utilizamos a substituição trigonométrica 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 .Logo,
𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 6 cos(𝜃)
Temos que:
36 − 𝑥2 = 36 − (6𝑠𝑒𝑛 𝜃 )2 = 36 − 36𝑠𝑒𝑛2 𝜃
= 36(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 36 cos2 𝜃 = 6 cos θ
Como nossa integral é definida temos que mudar os limites de integração 
utilizando a substituição dada e o fato de que −6 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜃
−6 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜃
= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −1
𝜃 = −
𝜋
2
𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜃
6 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜃
= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1
𝜃 =
𝜋
2
cos2 𝜃 =
1
2
+
1
2
cos 2𝜃
නcos(2𝜃) 𝑑𝜃
=
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐶
𝐴 = න
−6
6
36 − 𝑥2 𝑑𝑥 = න
−
𝜋
2
𝜋
2
(6 cos θ) ∙ 6 cos θ𝑑𝜃
න
−
𝜋
2
𝜋
2
36 cos2 (θ) 𝑑𝜃 = 36න
−
𝜋
2
𝜋
2 1
2
+
1
2
cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 36
1
2
𝜃 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
−
𝜋
2
𝜋
2
= 36
1
2
𝜋
2
+
1
4
𝑠𝑒𝑛 2
𝜋
2
−
1
2
−
𝜋
2
+
1
4
𝑠𝑒𝑛 −2
𝜋
2
= 36
𝜋
4
+
𝜋
4
= 36
2𝜋
4
= 18𝜋
Como calculamos a área de apenas uma semicircunferência 
a área total será dada por 36𝜋.
Coordenadas 
Polares
22
Sistema de coordenadas polares: 
 Polo: origem (O)
 Eixo polar: desenhado horizontalmente para a direita a partir 
de O.
 R: é a distância de um ponto P
qualquer até O.
 ϴ: ângulo entre o eixo polar 
e a reta OP
Fonte: STEWART, J. Cálculo II, 2016, p. 593
Fonte: STEWART, J. Cálculo II, 2016, p. 593
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 ou 𝑡𝑔𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑟
↔ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑟
↔ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
Relação entre coordenada cartesiana e 
coordenada polar
Quais são as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto B, sabendo que 
suas coordenadas cartesianas são 𝐵(−3,−3 3)?
 Sabemos que 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = −3 2 + −3 3
2
= 9 + 27 = 36 = 6
 Sabemos que 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 →
𝑥
𝑟
= cos(𝜃) → 𝜃 = arccos
𝑥
𝑟
 Sabemos que y = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 →
𝑦
𝑟
= 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃 = arcsen
𝑦
𝑟
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −
3
6
= (−
1
2
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −
3 3
6
= (−
3
2
)
𝜃 =
4𝜋
3
Considere a região 𝑅 limitada, no primeiro quadrante, pelo eixo 𝑥 (representado por 𝑦 =
0), pela reta 𝑦 = 𝑥 e pelo círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1, cuja representação gráfica é dada.
Assinale a alternativa que indica corretamente a representação da região R de acordo
com o sistema de coordenadas polares:
a) R = r, ϕ ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ Τπ 2 .
b) R = r, ϕ ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ ϕ ≤ π .
c) R = r, ϕ ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ ϕ e 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
d) R = r, ϕ ∈ ℝ2; −ϕ ≤ r ≤ ϕ e 0 ≤ ϕ ≤ Τπ 2 .
e) R = r, ϕ ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ Τπ 4
Dúvidas
Recapitulando
Nessa aula aprendemos:
https://bit.ly/3113iIx
(acesso 13 jul. 2020)
Método de 
integração por 
mudança de 
variável
න𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = න𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 + 𝐶
Método de 
integração por 
partes
න𝑎 𝑥 𝑏′(𝑥) 𝑑𝑥
= 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 − න𝑎′ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
න𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න𝑣 𝑑𝑢
https://bit.ly/3113iIx
Substituição Trigonométrica
https://bit.ly/3113iIx
(acesso 14 jul. 2020)
https://bit.ly/3113iIx