Tema 4- Equações e Sistemas de Equações e Inequação do 1 Grau

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FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA
Tiago Loyo Silveira
Sistemas de equações
Objetivos de aprendizagem
 � Definir sistemas de equações.
 � Reconhecer os diferentes tipos de resolução de sistemas de equações.
 � Resolver problemas envolvendo sistemas de equações.
Introdução
As equações com duas incógnitas e os sistemas determinados por elas 
já eram problemas conhecidos pelos babilônios por volta de 1800 a.C. 
Mesmo na época, já se tinha notícia de soluções propostas para esse 
tipo de situação. 
Hoje, com o desenvolvimento da matemática e da álgebra linear, 
computadores podem resolver, em segundos, sistemas com dezenas de 
incógnitas. Manualmente, esse processo seria longo, cansativo e sujeito 
a muitos erros, porém as formas de resolver grandes sistemas não são 
muito diferentes das utilizadas em sistemas menores. 
Neste capítulo, veremos a caracterização de um sistema de equações 
e alguns métodos de resolução, sendo que cada método pode ser con-
veniente para um determinado sistema.
Sistemas de equações
Para definir os sistemas de equações, tomamos uma situação como exemplo.
Em uma sala de aula, há meninos e meninas, num total de 40 alunos. Se 
atribuirmos a incógnita x aos meninos e y às meninas, teremos a seguinte 
equação:
x + y = 40
Quantos meninos e quantas meninas estão nessa turma?
Alguém poderia dizer 20 meninos e 20 meninas, porém outro poderia 
sugerir 10 meninos e 30 meninas, ou qualquer outra soma de naturais que 
resulte em 40. Dessa forma, mesmo que tentássemos isolar uma das incógnitas, 
não teríamos um resultado numérico.
Qualquer equação com duas ou mais incógnitas apresentaria o mesmo 
problema.
Ainda sobre a mesma situação problema, poderíamos dizer que, se retirar-
mos a quantidade de meninas do dobro da quantidade de meninos, resultaria 
em 14.
2x – y = 14
Da mesma forma que a primeira equação, esta equação sozinha não seria 
capaz de nos dar um resultado numérico para meninos ou meninas.
Porém, as duas equações retratam a mesma situação problema, ou seja, a 
mesma quantidade de meninos x e de meninas y.
Denominamos sistemas de equações o agrupamento de equações que 
tratam das mesmas variáveis.
Genericamente, é um sistema de m equações com n incógnitas, que pode 
ser indicado por sistema m x n (lê-se: m por n). 
Representamos que duas ou mais equações tratam da mesma situação pro-
blema, ou seja, fazem parte do mesmo sistema, usando uma chave à esquerda 
das equações, conforme segue:
x + y = 40
2x – y = 14
Nessa situação problema, os valores que atendem às duas equações simul-
taneamente são x = 18 e y = 22.
A solução de um sistema de equações será o conjunto de valores para 
as incógnitas que satisfaz simultaneamente a todas as equações do sistema.
Denominamos sistema de equações lineares todo sistema que tenha somente 
equações lineares, que são do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = c
onde:
a1, a2, a3,…,an: coeficientes reais, não todos nulos;
x1, x2, x3,…,xn: incógnitas;
c: termo independente.
Sistemas de equações2
Quando o termo independente de uma equação é igual a zero (c = 0), 
dizemos que a equação é homogênea.
Exemplos:
2x – 4y + z = 5
–3x + y = – 2
4x + 3y = 0 (Equação linear homogênea)
1
2
Diremos que um sistema linear é homogêneo quando todas as suas equações 
forem homogêneas e ele
admite a solução nula, chamada de solução trivial, porém esta pode não 
ser necessariamente a única solução para o sistema.
Na manipulação dos sistemas lineares, seja para classificá-los ou determinar suas 
soluções, em diversos momentos, será necessário saber manipular matrizes e determi-
nantes. Convém rever e dominar esses conteúdos. Vamos rever o tema no link a seguir:
https://goo.gl/zoq3Na
Representação de sistemas por meio de matrizes
Consideramos o seguinte sistema.
a1x + b1y = c1
a2x + b2 y = c2
é a matriz incompleta do sistema, composta pelos coeficientes das 
incógnitas.
c1 e c2 são os termos independentes das equações do sistema.
D =
a1 b1
a2 b2
3Sistemas de equações
é o determinante da matriz incompleta.
Dx =
c1 b1
c2 b2
é o determinante da matriz incompleta, onde a coluna dos coeficientes da 
incógnita x é substituída pelos termos independentes.
Dy =
a1 c1
a2 c2
é o determinante da matriz incompleta, onde a coluna dos coeficientes da 
incógnita y é substituída pelos termos independentes.
Há, ainda, uma matriz representativa para os coeficientes e para os termos 
independentes, que chamaremos de matriz estendida do sistema linear.
a1 b1⋮ c1
a2 b2⋮ c2
Os conceitos de representação por meio de matrizes aqui apresentados 
podem ser estendidos a qualquer sistema m x m, ou seja, sistemas que tenham 
o mesmo número de incógnitas e equações, pois, para que seja possível calcular
os determinantes, serão necessárias matrizes quadradas.
Classificação
Podemos classificar os sistemas lineares conforme o número de soluções 
possíveis. 
 � Sistema possível e determinado (SPD): quando apenas um conjunto
de valores solução possível. Nesse sistema, o determinante da matriz
incompleta é diferente de zero (D≠0) .A recíproca é verdadeira, ou seja, 
se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero, o sistema 
terá apenas um conjunto solução.
 � Sistema possível e indeterminado (SPI): quando existem infinitas
soluções.
 � Sistema impossível (SI): quando não apresenta conjunto solução.
Sistemas de equações4
Tipos de resolução de sistemas de equações
Existem diferentes métodos de resolver sistemas lineares, sendo alguns mais 
sofisticados, outros mais simples, que se encaixam a todo sistema, e outros 
mais específicos. Alguns desses métodos são apresentados a seguir.
Método da adição
O método da adição é um dos mais simples para a resolução de sistemas, mas 
permite a resolução de praticamente qualquer sistema, bastando a devida 
manipulação das equações. Além disso, essa técnica, por ser tão básica, será 
empregada no desenvolvimento de outras.
Retomaremos o problema proposto dos alunos em uma sala de aula.
x + y = 40
2x – y = 14
Para executar o método da adição, será necessário que, em uma das equa-
ções, uma incógnita seja simétrica da outra equação.
No problema da sala de aula, o número de meninas y é simétrico nas 
duas equações. Dessa forma, procederemos com a soma dos coeficientes das 
incógnitas de mesma parte literal.
x + y = 40
2x – y = 14
3x + 0y = 54
Podemos omitir y e obter a equação 3x = 54. Observe que essa equação 
tem somente uma incógnita, o que nos permite o seu isolamento.
3x = 54 ⇒ x = ⇒ x = 1854
3
Um sistema é composto por duas ou mais incógnitas, e uma solução deve 
tornar todas as equações verdadeiras. Portanto, determinar somente uma 
incógnita não soluciona o sistema. É necessário retomar esse valor em uma 
das equações e prosseguir até que se tenha o valor de todas as incógnitas.
Observação: independentemente da equação escolhida, o resultado da 
incógnita será o mesmo. Faremos a substituição em ambas para mostrar:
5Sistemas de equações
Para x = 18 
x + y = 40 ⇒ 18 + y = 40 ⇒ y = 40 – 18 ⇒ y = 22
Ou
2x – y = 14 ⇒ 2.18 – 14 = y ⇒ y = 22
Representaremos a solução por meio do par ordenado (18, 22), ou ainda 
V = {(18,22)}.
Sempre será possível aplicar o método da adição, porém, em alguns casos, 
o sistema precisará ser preparado previamente. Observe os seguintes exemplos.
2x + 3y = 1 (I)
2x + 5y = –1 (II)a)
Nesse sistema, não há simétricos, porém existem coeficientes iguais. É 
necessário ressaltar que uma equação pode ser multiplicada ou dividida por 
número real, sem alterar o valor da sua incógnita ou fazer com que a sentença 
deixe de ser verdadeira.
Dessa forma, é possível escolher uma das equações e multiplicá-la por (-1), 
com o objetivo de conseguir o simétrico desejado. Multiplicaremos a equação 
(II) por (-1), obtendo - 2x -5y = 1. Agora, aplicando a soma, temos:
2x + 3y = 1
–2x – 5y = 1
–2y = 2
Logo, y = -1. Retornando o resultado em uma das equações, encontramos 
x = 2. V = {(2,-1)}
5x – 3y = 9 (I)
4x + 2y = 16 (II)
b)
Nessesistema, nenhum dos coeficientes é múltiplo na mesma incógnita. 
Dessa forma, ambas as equações precisarão ser manipuladas. Basta que seja 
escolhida a incógnita a ser eliminada — por exemplo,y. Então, multiplicaremos 
a equação (I) pelo coeficiente de y da equação (II). 
Sistemas de equações6
5x – 3y = 9 ∙ (2) ⇒ 10x – 6y = 18
Agora, faremos o inverso na equação (II), multiplicando pelo coeficiente 
de y da equação (I).
4x + 2y = 16 ∙ (3) ⇒ 12x + 6y = 48
Obtemos o sistema equivalente:
10x – 6y = 18
12x + 6y = 48
que tem como solução V={(3,2)}.
Método da substituição
O método da substituição, assim como o da adição, é simples e será muito 
utilizado no desenvolvimento de outros métodos.
Ele consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituir 
na outra.
Por exemplo:
x + y = 8 (I) 
x – 3y = 0 (II)
Isolaremos x na equação (II): 
x = 3y
Agora, substituiremos na equação (I) e obteremos a seguinte equação: 
3y + y = 8 ⇒ 4y = 8 ⇒ y = 2
Substituindo o valor y = 2 em qualquer das equações, obtemos x = 6. 
Logo, V = {(6,2)}.
Regra de Cramer
A regra de Cramer, um dos métodos de resolver um sistema linear, só poderá 
ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o de 
7Sistemas de equações
incógnitas forem iguais, de forma que seja possível formar matrizes quadradas 
dos coeficientes e calcular seus determinantes.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de equações e incógnitas para 
a sua resolução, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta 
do sistema e, depois, substituir os termos independentes em cada coluna, 
calcular os seus respectivos determinantes e, assim, aplicar a regra de Cramer.
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 =
D1
D
x2 =
D2
D
xn =
Dn
D
(...)
Por exemplo, dado o sistema linear:
x + 2y + z = 8
2x – y + y = 3
3x + y – z = 2
Para resolvê-lo, podemos utilizar a regra de Cramer, pois ele possui 3 
equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número 
de equações.
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear, que cha-
maremos de A.
1 2 1
2 –1 1
3 1 –1
A =
Agora, calculamos o seu determinante, que será representado por D.
D =
1 2 1
2 –1 1
3 1 –1
1 2
2 –1
3 1
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15
Sistemas de equações8
Então, devemos substituir os termos independentes na primeira coluna da 
matriz A, formando, assim, uma segunda matriz, que será representada por Ax.
A =
8 2 1
3 –1 1
2 1 –1
Agora, calcularmos o seu determinante, representado por Dx.
Dx =
8 2 1
3 –1 1
2 1 –1
8 2
3 –1
2 1
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz in-
completa, formando a matriz Ay.
Ay =
1 8 1
2 3 1
3 2 –1
Passamos a calcular o seu determinante Dy.
Dy =
1 8 1
2 3 1
3 1 –1
1 8
2 3
3 2
Dx = –3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da 
matriz incompleta, formaremos a matriz Az.
AZ =
1 2 8
2 –1 3
3 1 2
9Sistemas de equações
Agora, calculamos o seu determinante, representado por Dz.
DZ =
1 2 8
2 –1 3
3 1 2
1 2
2 –1
3 1
Dz = –2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8
Dz = 45
De posse de todos os determinantes, determinaremos o valor das incógnitas 
por Cramer.
x =
Dx
D
= = 1
15
15
y =
Dy
D
= = 2
30
15
z =
Dz
D
= = 3
45
15
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V ={(1,2,3)}. 
Escalonamento
Dada a representação genérica de um sistema linear n x n, com n incógnitas e n 
equações, temos que um sistema escalonado se apresentará da seguinte forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a33x3 + ... + a3nxn = b3
⋮ 
annxn = bn
Dizemos que um sistema, ou uma matriz de coeficientes, está na forma 
escalonada se esse for nulo, ou se, no sentido de cima para baixo, houver 
aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos.
Sistemas de equações10
Por esse motivo, o método de escalonamento também é conhecido como 
método de escada.
Existem definições mais criteriosas e formais para sistemas e matrizes 
escalonadas no estudo de álgebra linear, porém nos ateremos somente a esses 
conceitos.
No capítulo 3 do livro de Lipschutz (ver Leituras recomendadas), você verá conceitos 
mais aprofundados de matrizes e sistemas escalonados e, no capítulo 5, conhecerá as 
transformações lineares que permitem chegar a uma matriz escalonada e à solução 
dos sistemas lineares por meio dessas transformações.
Os sistemas lineares não se apresentam, necessariamente, na forma esca-
lonada. Portanto, mostraremos uma forma de transformar um sistema linear 
na sua forma equivalente escalonada.
É necessário ressaltar que dois sistemas são ditos equivalentes quando 
apresentam o mesmo conjunto solução.
Para escalonar um sistema, utilizaremos, de maneira prática, os seguintes 
passos:
1. Colocar como a primeira equação aquela que tenha 1 como coeficiente
da 1ª incógnita. Caso não haja equação com essa característica, escolher
uma equação de modo conveniente e dividir, membro a membro, todos
os coeficientes de forma a obter 1 como coeficiente da 1ª incógnita.
2. Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita.
Para isso, basta que cada equação seja somada com um produto da 1ª
equação, de forma a obter simétricos na 1ª incógnita. Esse passo é a
reprodução do método da adição em cada uma das equações, sempre
combinadas com a 1ª.
3. Caso existam mais de duas equações, os passos anteriores serão repe-
tidos, de forma que será necessário executar o método da adição entre
as equações a partir da 3ª, combinadas com os múltiplos apropriados
da 2ª equação, para se obter simétricos, e assim sucessivamente.
11Sistemas de equações
Alguns passos podem ser adotados durante um escalonamento, sem que 
isso altere o conjunto solução do sistema. São eles:
 � trocar de posição equações e, ainda assim, ter um sistema equivalente;
 � multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real,
diferente de zero;
 � multiplicar todos os membros de uma equação por um mesmo número
real, que seja diferente de zero, e somar a equação obtida à outra equação
do sistema.
Uma possibilidade que existe no processo de escalonamento é a obtenção 
de uma equação com todos os coeficientes nulos, entretanto com o termo 
independente diferente de zero. Caso isso aconteça, podemos afirmar que o 
sistema é impossível, ou seja, não existe solução que o satisfaça.
Por exemplo, o escalonamento do seguinte sistema de equações lineares:
2x + 3y + 3z = 5
x + y + 2z = 10
y + 2z = 3
Trocaremos a ordem das equações no sistema.
x + y + 2z = 10
2x + 3y + 3z = 5
y + 2z = 3
Multiplicando a 1ª equação por (-2) e somando com a 2ª, obtemos:
x + y + 2z = 10 ∙ (–2) ⇒ –2x – 2y – 4z = –20
–2x – 2y – 4z = –20
2x + 3y + 3z = 5
0x + y – z = –15
A equação obtida será substituída na 2ª equação do sistema.
x + y + 2z = 10
y + z = –15
y + 2z = 3
Sistemas de equações12
Multiplicando a 2ª equação por (-1) e somando com a 3ª, obtemos:
y – z = –15 ∙ (–1) ⇒ –y + z = 15
–y + z = 15
y + 2z = 3
0y + 3z = 18
A equação obtida será substituída na 3ª equação do sistema.
x + y + 2z = 10
y – z = –15
3z = 18
Dessa forma, temos que:
3z = 18 ⇒ z = 6
Substituindo em y – z =-15, temos:
y – 6 = –15 ⇒ y = –9
Por fim, x + y + 2z =10, para y = -9 e z = 6, vem que:
x – 9 + 2.6 = 10 ⇒ x = 7
V = {(7, –9, 6)}
Problemas envolvendo sistemas de equações
Os sistemas de equações lineares apresentam-se em diversas situações práticas 
do cotidiano. Muitas vezes, podemos não perceber, mas uma modelagem 
poderia gerar um sistema, e, assim, uma pessoa atenta poderia determinar 
com precisão a solução para situações reais.
Vejamos algumas situações simplistas, porém próximas de dados reais, 
modeladas para serem resolvidas por meio de sistemas.
13Sistemas de equações
1. Em uma lanchonete,um salgado mais um suco custam R$ 3. Pelo
mesmo preço, dois salgados e três copos de suco custam R$ 7. Qual é
o preço de cada suco e cada salgado?
Solução:
Atribuiremos x para salgado e y para suco. Temos o seguinte sistema:
x + y = 3
2x + 3y = 7
Determinaremos a solução pelos métodos da adição e da substituição.
Método da adição
Trocaremos a 1ª e a 2ª equação de lugar e, em seguida, multiplicaremos a 
equação x + y = por (-2). Obteremos o sistema equivalente:
2x + 3y = 7
–2x – 2y = –6
Fazendo a adição, temos:
2x + 3y = 7
–2x – 2y = –6
 y = 1
Portanto, fazendo a substituição na 1ª ou na 2ª equação, obtemos x = 2. 
V = {(2,1)}
2. Em um grupo de amigos, o número de meninos somado ao dobro das
meninas é igual a 8. Mas a diferença entre o dobro de meninos e o triplo 
de meninas é -5. Qual é a quantidade de meninos e meninas?
Solução:
Usando x para meninos e y para meninas, temos o seguinte sistema:
x + 2y = 8
2x – 3y = –5
Sistemas de equações14
Regra de Cramer
Seja D o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado.
D = 1 2
2 –3
D = –3 – 4 = – 7
Seja Dx o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado, onde 
a coluna dos coeficientes de x foi substituída pelos termos independentes.
Dx =
 8 2
–5 –3
Dx = –24 + 10 = –14
Seja Dy o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado, onde 
a coluna dos coeficientes de y foi substituída pelos termos independentes.
Dy = –5 –16 = –21
Dy =
1 8
2 –5
Calculando o valor das incógnitas, temos:
x =
Dx
D
= = 2
–14
15
y =
Dy
D
= = 3
–21
–7
V = {(2,3)}
3. Somando as idades de Paulo Vitor, Benício e Carlos Eduardo, o resul-
tado é 12 anos. Sabe-se que, subtraindo a idade de Carlos Eduardo do
quádruplo da idade de Paulo Vitor mais o dobro da idade de Benício,
resulta em 10 anos. Por fim, sabemos que a idade de Paulo Vitor, o triplo
da idade de Benício e o dobro da idade de Carlos Eduardo somam 26
anos. Quais são as idades de Paulo Vitor, Benício e Carlos Eduardo?
15Sistemas de equações
Solução:
Atribuiremos P para a idade de Paulo Vitor; B para a idade de Benício; e 
C para a idade de Carlos Eduardo.
Então, temos o seguinte sistema de equações:
P + B + C = 12
4P + 2B – C = 10
P + 3B + 2C = 26
Método do escalonamento
Trocaremos a 1ª e a 3ª equação de lugar e obteremos o sistema:
P + 3B + 2C = 26
4P + 2B – C = 10
P + B + C = 12
Agora, trocaremos a 3ª equação pelo resultado da 1ª menos a 3ª equação:
P + 3B + 2C = 26
–P – B – C = –12
0P + 2B + C = 14
P + 3B + 2C = 12
4P + 2B – C = 10
2B + C = 14
Multiplicaremos a 1ª equação por (-4) e somaremos com a 2ª, substituindo 
o resultado no sistema:
P + 3B + 2C = 26 ∙ (–4) ⇒ –4P – 12B – 8C = –104
–4P + 12B – 8C = –104
4P + 2B – C = 10
0P – 10B – 9C = –94
P + 3B + 2C = 12
–10B – 9C = –94
2B + C = 14
Sistemas de equações16
ANDRINI, Á.; VASCONCELLOS, M. J. Praticando matemática. 3. ed. São Paulo: Editora 
do Brasil, 2012.
HEFEZ, A.; FERNANDEZ, C. S. Introdução à álgebra linear. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
OLIVEIRA, N. C. N. Matrizes e determinantes. c2018. Disponível em: <https://mundoedu-
cacao.bol.uol.com.br/matematica/matriz-determinantes.htm>. Acesso em: 22 nov. 2018.
SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática aula por aula. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.
Leituras recomendadas
Trocaremos a 3ª equação pela soma da 2ª com o quíntuplo da 3ª:
2B + C = 14 ∙ (5) ⇒ 10B + 5C = 70
–10B – 9C = –94
10B – 5C = 70
0B – 4C = –24
P + 3B + 2C = 12
–10B – 9C = –94
–4C = –24
Portanto, temos:
–4C = –24 ⇒ C = ⇒ C = 6
–10B – 9C = –94 ⇒ –10B – 9.6 = –94 ⇒ –10B – 54 = –94 ⇒ –10B = –40 ⇒ B= 4
P + 3B + 2C = 26 ⇒ P + 3.4 + 2.6 = 26 ⇒ P + 12 + 12 = 26 ⇒ P = 2
–24
–4
Dessa forma, Paulo Vitor tem 2 anos; Benício, 4 anos, e Carlos Eduardo, 
6 anos.
17Sistemas de equações