GESTÃO DE ATIVOS E CARTEIRAS

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GESTÃO DE ATIVOS 
E CARTEIRAS
2
Renato José da Silva
São Paulo
Platos Soluções Educacionais S.A 
2023
GESTÃO DE ATIVOS E CARTEIRAS
1ª edição
3
2023
Platos Soluções Educacionais S.A
Alameda Santos, n° 960 – Cerqueira César
CEP: 01418-002— São Paulo — SP
Homepage: https://www.platosedu.com.br/
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Editorial
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)_____________________________________________________________________________ 
 Silva, Renato José da
Gestão de ativos e carteiras/ Renato José da Silva, – 
 São Paulo: Platos Soluções Educacionais S.A. 2023. 
 32 p.
ISBN 978-65-5356-459-6
 1. Ativos e Carteiras 2. Teoria das Carteiras 3. Asset 
Allocation I. Título. 3. Técnicas de speaking, listening e 
writing. I. Título. 
CDU 339
_____________________________________________________________________________ 
Raquel Torres – CRB 8/10534
S586g 
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informação, sem prévia autorização, por escrito, da Platos Soluções Educacionais S.A.
https://www.platosedu.com.br/
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SUMÁRIO
Apresentação da disciplina __________________________________ 05
Principais Classes de Ativos __________________________________ 07
Indicadores estatísticos para mensuração do risco e 
o modelo CAPM ______________________________________________ 21
Diversificação de riscos e a teoria das carteiras 
de Markowitz_________________________________________________ 32
Asset Allocation e Avaliação de Carteiras de 
Investimento _________________________________________________ 46
GESTÃO DE ATIVOS E CARTEIRAS
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Apresentação da disciplina
A disciplina de Gestão de ativos e carteira tem a finalidade de 
proporcionar ao aluno a oportunidade de conhecer os fundamentos e a 
importância da gestão de ativos no mercado financeiro.
Para isso, é preciso diferenciar os principais ativos que são negociados 
nos mercados monetários e de capitais, bem como conhecer os tipos 
de ativos de renda fixa e renda variável. Ainda assim, é necessário o 
conhecimento das medidas estatísticas para avaliação de risco de ativos, 
tais como variância, desvio-padrão e coeficiente de variação no qual 
podem apoiar o investidor no processo de avaliação de riscos.
Quanto à rentabilidade dos investimentos, serão apresentados os 
métodos de cálculo da expectativa de retorno da carteira e do Modelo 
de Precificação de Ativos Financeiros (CAPM), que é um método que 
procura analisar a relação entre o risco e o retorno esperado de um 
investimento.
Todas as decisões de investimentos carregam elementos de risco 
ou incertezas. Logo, apresentaremos na disciplina a importância da 
diversificação dos ativos, considerando os conceitos estatísticos de 
Covariância e Correlação. Ademais, será estudado a teoria do portfólio 
de Markowitz, no qual apresenta uma metodologia para a seleção e 
combinação de diferentes ativos financeiros considerando não apenas 
o retorno esperado dos ativos, mas também a sua volatilidade e a 
correção entre eles.
6
Por fim, aborda-se no material os diferentes perfis de investidor, e a 
sua importância para o processo de formação de carteiras, por meio 
do método chamado Asset Allocation. O índice de Sharpe e o índice de 
Modigliani são apresentados como forma de avaliação do resultado de 
uma carteira de investimentos.
Sendo assim, ao término da leitura deste material, você será capaz de 
atuar no mercado financeiro por meio do entendimento conceitual e 
prático dos métodos relativos à gestão de carteiras de investimento.
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Principais Classes de Ativos
Autoria: Renato José da Silva
Leitura crítica: Alexandre Gustavo Teixeira Moraes
Objetivos
• Compreender os aspectos contextuais e conceituais 
acerca do conceito de ativos reais e financeiros.
• Diferenciar os principais ativos que são negociados 
nos mercados monetários e de capitais.
• Conhecer os tipos de ativos de renda fixa e renda 
variável.
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1. Definindo ativos financeiros
Os ativos financeiros são uma classe de investimentos essenciais para 
o financiamento do setor produtivo de um país. É por meio desses 
ativos que diversos setores da economia captam seus recursos. Mas por 
qual razão os agentes econômicos realizam investimentos em ativos 
financeiros? Para responder a essa questão é importante compreender 
o conceito de investimento.
Segundo Bruni (2018), os investimentos podem ser conceituados como a 
aplicação de algum tipo de capital com o intuito de obter algum retorno 
futuro superior ao aplicado, ou seja, aplicação de recursos no presente 
com a expectativa de colher benefícios no futuro. Por exemplo, um 
investidor pode comprar um lote de ações com a expectativa de que 
no futuro o ativo se valorize e o remunere pelo tempo e o risco do qual 
assumiu ao realizar o investimento. Você mesmo está investindo o seu 
tempo (além do custo financeiro) para estudar esta disciplina, de modo 
que você poderia dedicar o seu tempo de estudos para atividades de 
lazer ou renda extra. No entanto, você renuncia a lazer ou rendimentos 
de trabalho, com a expectativa que sua carreira seja positivamente 
impactada, dado o conhecimento adquirido nos estudos (BODIE; KANE; 
MARCUS, 2014).
Compreendido o conceito de investimentos, pode-se destacar que a 
riqueza material de uma sociedade pode ser determinada pela sua 
capacidade de produzir bens e serviços. No entanto, essa capacidade 
produtiva depende dos ativos reais e dos ativos financeiros.
Mas o que seriam esses ativos?
De acordo com Bodie, Kane e Marcus (2014), os ativos reais estão 
ligados a bens materiais e tangíveis, tais como imóveis, prédios, 
terrenos, equipamentos, fábricas, dos quais são utilizados por 
agentes econômicos para produzir bens e serviços. Perceba que 
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esses ativos estão ligados à economia real, nos quais são necessários 
para o desenvolvimento da infraestrutura de uma sociedade, como a 
construção de casas, prédios, estradas etc.
Como são financiados os ativos reais?
Os ativos reais são financiados por meio da emissão dos ativos 
financeiros. Segundo Bodie, Kane e Marcus (2014, p. 3), os ativos 
financeiros são reivindicações sobre ativos reais ou a renda gerada por 
eles como ações e títulos.
Talvez não possamos ser proprietários de uma fábrica de automóveis 
(ativo real), porém, podemos comprar ações da General Motors ou da 
Tesla (ativos financeiros) e assim financiar sua produção e usufruir dos 
lucros gerados na fabricação de automóveis. Desse modo, o retorno do 
investimento sobre os títulos acionários provém da renda gerada pelos 
ativos reais que foram financiados pelas emissões dos ativos financeiros.
Portanto, os ativos financeiros, como ações e títulos de dívida, são 
emitidos por empresas e governos com o objetivo de captar recursos 
dos investidores. Esses recursos, por sua vez, são utilizados para 
financiar a aquisição ou desenvolvimento de ativos reais, como fábricas, 
imóveis, terras ou outros bens físicos (PINHEIRO, 2019).
Para que esse processo de financiamento ocorra, existe o sistema 
financeiro nacional. Segundo Sinatora (2017, p.11), o sistema financeiro 
nacional é o conjunto de instituições financeiras e instrumentos 
financeiros que visatransferir recursos dos agentes econômicos 
superavitários para os deficitários, conforme podemos observar na 
Figura 1.
10
Figura 1 – Sistema Financeiro Nacional
Fonte: elaborado pelo autor.
Logo, os ativos financeiros são os instrumentos utilizados no 
sistema financeiro nacional para transferir os recursos dos agentes 
superavitários para os agentes deficitários. As instituições financeiras 
surgem para fazer a intermediação entre os
fornecedores de capital (investidores) e os demandantes de capital 
(empresas e governo). Tais intermediários financeiros incluem bancos, 
empresas de investimento, seguradoras e cooperativas de crédito 
(SINATORA, 2017).
Os ativos financeiros podem ser classificados em diversas classes, tais 
como ações, títulos de renda fixa, moedas, commodities etc. Sendo 
assim, segundo Bodie, Kane e Marcus (2014), os investidores precisam 
tomar dois tipos de decisão ao construir suas carteiras de ativos 
financeiros: o montante de recursos para alocação em ativos financeiro 
e quais ativos investir, dado as diversas classes de ativos existentes.
Por exemplo, imagine que um investidor possua todos os seus recursos 
financeiros “parados” em uma conta bancária e decida por investi-
los. Primeiramente, será necessário definir a proporção dos recursos 
que serão alocados em ativos financeiros, tais como ações e títulos de 
dívida. Assim, deve-se definir os aspectos amplos da carteira, ou seja, 
a alocação em ativos. Posteriormente, o investidor deverá selecionar 
dentre as diversas classes de ativos existentes quais deve manter em 
carteira (BODIE, KANE, MARCUS, 2014).
Segundo Pinheiro (2019, p. 26), as funções que costumeiramente pode-
se atribuir aos ativos financeiros são:
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• Transferência de recurso entre os agentes superavitários aos 
deficitários.
• Transferência de risco do emissor ao receptor do ativo.
Ainda segundo o autor, as principais características dos ativos 
financeiros são:
• Liquidez: é a facilidade ou rapidez que o investimento pode ser 
convertido em moeda.
• Risco: é a variabilidade ou instabilidade na rentabilidade esperada.
• Rentabilidade: é o quanto o ativo consegue produzir de juros ou 
outros rendimentos para o investirdor dado o risco assumido e um 
período determinado.
Em geral, a rentabilidade é uma função que depende da liquidez e do 
risco, ou seja:
R = F(L,r)
Em que: R = rentabilidade; L = liquidez; r = risco
Logo, as diferentes modalidades de ativos financeiros geram-se por 
combinações específicas dessas características. Ainda conforme Pinheiro 
(2019, p. 99), os ativos financeiros ainda podem ser divididos em 3 
grandes grupos:
• Títulos de renda fixa: pagam rendimento fixo que podem ser 
taxas prefixadas ou determinado por algum tipo de indicador, ou 
seja, uma taxa pós-fixada.
• Títulos patrimoniais: representam a participação no capital social 
de uma empresa, e o rendimento específico ao acionista advém 
12
dos dividendos que a companhia distribui e a valorização de seus 
ativos.
• Títulos derivativos: o rendimento é determinado ou derivado dos 
preços de outros ativos, como os contratos de opções e de futuros, 
que podem ser emitidos com base em cotações de moedas, 
mercadorias, ações etc.
A partir de agora, vamos conhecer um pouco mais de cada classe de 
ativo.
2. Ativos de Renda Fixa
Os ativos de renda fixa, ou títulos de dívida, são investimentos no 
qual o rendimento do capital aplicado é conhecido no momento da 
aplicação, ou seja, os investidores conhecem antecipadamente os fluxos 
monetários que vão obter.
Na maioria dos casos, esses títulos garantem pagamentos futuros de 
valores específicos em datas estipuladas. Segundo Assaf Neto (2021, p. 
50), os rendimentos dos títulos podem ser:
• Prefixados: quando os juros totais são definidos, na emissão, 
por todo o período da operação, independentemente do 
comportamento da economia.
• Pós-fixados: quando somente uma parcela dos juros é fixa (taxa 
real de juros) e estabelecida na emissão, sendo a outra parte 
definida com base num indexador de preços contratados (IGP-M, 
TR etc.).
Ainda de acordo com Assaf Neto (2021, p. 50): “É importante avaliar que 
os títulos de renda fixa embutem um risco, determinado principalmente 
pela inadimplência do emitente do papel e flutuações nas taxas de 
13
inflação e nas taxas de juros de mercado”. Para o autor, o risco da 
inflação é maior nos títulos prefixados, pois não acompanham a variação 
dos índices de preços enquanto os títulos pós-fixados podem não 
acompanhar possíveis aumentos dos juros quando são estabelecidos 
juntos a algum indexador de inflação.
Já em relação às vantagens dos títulos de renda fixa, Pinheiro (2019, p. 
99) argumenta que as principais são:
• Retorno previamente conhecido.
• Baixo risco.
• Tornar-se credor da instituição emissora.
• Recebimento do rendimento e do montante principal.
É importante destacar que ao realizar um investimento em renda fixa, 
o investidor compra um título de dívida. É um ativo financeiro no qual 
você empresta dinheiro ao emissor da dívida, que em contrapartida, 
lhe paga juros regularmente até uma data específica, ou seja, a data 
do vencimento do ativo. Cabe destacar que no Brasil, a redução dos 
riscos dos títulos de renda fixa é feita pelo Fundo Garantidor de Crédito. 
Segundo Assaf Neto (2023):
[...] O FGC foi constituído na forma de uma associação civil de direito 
privado, sem fins lucrativos, composta pelas instituições financeiras 
e associações de poupança e empréstimos participantes do Sistema 
Financeiro Nacional. Seu objetivo principal é o de oferecer maior garantia 
aos agentes de mercado (depositantes e investidores) com recursos 
depositados/aplicados nas instituições citadas na eventualidade de 
sofrerem intervenção, ser decretada a liquidação extrajudicial ou a sua 
falência. O Fundo garante depósitos à vista, depósitos a prazo, contas de 
poupança, letras de câmbio, letras imobiliárias, letras de crédito imobiliário 
e letras hipotecárias, entre outros. São excluídos dessas garantias as 
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aplicações em fundos de investimentos e os recursos captados no exterior, 
entre outros. (ASSAF NETO, 2023, p. 102)
Atualmente, o valor máximo garantido pelo FGC para cada depositante 
de uma mesma instituição (ou contra todas em caso de conglomerado) 
é de R$ 250.000,00 (duzentos e cinquenta mil reais). A partir de agora, 
serão apresentados os principais ativos de renda fixa.
2.1 Certificado de depósito bancário (CDB)
É um dos principais ativos de renda fixa, dado sua segurança e 
rentabilidade. O (CDB) é um título emitido pelos bancos para captação 
de recursos. Ao investir no CDB, o investidor torna-se credor do banco, 
uma vez que o banco utiliza esse dinheiro para financiar suas atividades 
e emprestar para os agentes deficitários.
2.2 Letra de crédito imobiliário (LCI)
É um investimento de renda fixa também emitido por bancos. A principal 
característica de uma LCI é a não incidência de imposto de renda. Tais 
títulos são emitidos para captar recursos para financiamento do setor 
imobiliário.
2.3 Letra de crédito do agronegócio (LCA)
É um título de renda fixa emitido por instituições financeiras que visam 
captar recursos para financiar atividades do setor do agronegócio. 
Também não há incidência de imposto de renda.
2.4 Certificado de recebíveis imobiliários (CRI)
São papéis de renda fixa destinado ao financiamento do setor 
imobiliário. Ao investir em CRI, um investidor financiará empresas do 
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setor imobiliário que buscam recursos para realizar suas construções. 
Em contrapartida, essas empresas oferecem como garantia o valor dos 
aluguéis que receberão no futuro.
2.5 Certificado de recebíveis do agronegócio (CRA)
São títulos de renda fixa destinados ao financiamento do setor agrícola. 
Parecido com a Letra de Crédito Agrícola (LCA), porém com emissão por 
instituição securitizadora. Não possui proteção do fundo garantidor de 
crédito, mas, possuem isenção de imposto de renda.
2.6 Títulos públicos
É um títulode dívida emitido pelo governo. O recurso captado é utilizado 
para o governo financiar suas atividades e pagar a dívida pública. É 
possível investir em títulos públicos emitidos pela União, por meio 
do programa do Tesouro Direto. Assim, o investidor pode acessar 
diferentes títulos prefixados, pós-fixados ou híbridos com vencimentos 
e características diferentes. Os principais são: Tesouro Selic, Tesouro 
Prefixado, Tesouro IPCA + e Tesouro renda+.
2.7 Debêntures
São títulos emitidos por empresas de capital aberto com o objetivo de 
captar recursos de médio a longo prazo para financiar seus projetos e 
alongar o passivo das suas dívidas. Ao investir em debêntures, o agente 
econômico torna-se credor da companhia, em troca de recebimento 
dos juros, até a data de vencimento do título. Apesar de ser um ativo 
classificado em renda fixa, possui risco de inadimplência da companhia 
ofertante do título e não possui garantia do Fundo Garantido de Crédito 
(FCG).
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3. Ativos de Renda Variável
Segundo Pinheiro (2019), os ativos de renda variável são aqueles que 
não garantem um conhecimento prévio dos rendimentos futuros e a 
liquidação do ativo pode ser de valores superiores, iguais ou menores 
ao valor investido. As ações são os títulos de renda variável de maior 
destaque, popularmente conhecido pelos investidores no mercado 
financeiro. Mas, o que são as ações?
Para Assaf Neto (2021), ações representam a menor parcela do 
capital social de uma empresa e o seu possuidor possui o direito de 
participação em seus lucros. Desse modo, o acionista é proprietário de 
uma pequena parte da companhia correspondente ao número de ações 
no qual possui.
Ainda segundo o autor, as ações podem ser classificadas em:
• Ações ordinárias: direito a voto em assembleias gerais e nas 
convocações especiais com o peso do seu voto correspondente 
à quantidade de ações que possui. Já os dividendos pagos, 
as ações ordinárias são geralmente 10% menores do que as 
ações preferenciais, caso não seja especificado no estatuto da 
companhia.
• Ações preferenciais: o detentor dessas ações possui como 
característica a preferência no recebimento de dividendos, porém 
não possui direito a votos em assembleias.
Conforme apresentado por Assaf Neto (2021), os ganhos com as ações 
podem ser oriundos dos:
• Dividendos: é a parcela do lucro da empresa distribuída aos 
acionistas na proporção da quantidade de ações possuídas.
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• Bonificações: recebimento de um número de ações proporcional 
à quantidade já possuída.
• Valorização do papel: aumento do valor de face do título 
negociado na bolsa de valores.
• Juros sobre capital próprio: são uma forma de remuneração 
acionista da empresa originados pelo lucro retido e períodos 
anteriores.
• Direitos de subscrição: são direitos inerentes a todo acionista de 
adquirir (subscrever) todo aumento de capital na proporção das 
ações possuídas.
Ainda na classe da renda variável, outros ativos podem se destacar como 
os fundos de investimentos.
3.1 Fundos de Investimentos
De acordo com Filho (2019), os fundos de investimentos são:
[...] entidades organizadas sob forma de condomínios destinados 
à aplicação em ativos financeiros sob a responsabilidade de um 
administrador. As aplicações feitas pelos investidores são representadas 
por cotas, cujo valor é apurado periodicamente conforme a rentabilidade 
proporcionada pelos ativos componentes da carteira. (FILHO, 2019, p. 16)
Desse modo, os fundos de investimento tornam-se uma modalidade 
de ativos financeiros muito atrativa para os investidores, com destaque 
para os chamados fundos mútuos. Os fundos mútuos são uma 
modalidade na qual os recursos captados são alocados em um portfólio 
diversificado. O patrimônio do fundo é composto por recurso de 
diversos investidores que são aplicados em uma carteira diversificada. 
A administração do fundo é feita por administradores e gestores 
especializados no mercado (PINHEIRO, 2019). Os fundos de investimento 
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costumeiramente são classificados em diversos tipos, dado a gestão 
estabelecida e os fatores de riscos envolvidos. Os tipos de fundos 
mútuos de investimento mais conhecidos são:
• Fundos de renda fixa.
• Fundos de ações.
• Fundos multimercado.
• Fundos cambiais.
Os fundos de renda fixa possuem como principal característica a 
estratégia de alocação dos recursos em ativos da classe de renda fixa, 
tais como títulos públicos, debêntures, certificado de depósito bancários 
(CDB), letras de crédito imobiliário, entre outros. O objetivo é minimizar 
o risco e conseguir rendimentos acima do CDI (Certificado de Depósito 
Interbancário).
Os fundos de ações têm como característica a alocação de recursos em 
ações negociadas em mercado organizado, cotas de fundos de ações, 
cotas de fundos de índices, Brazilian Depositary Receipts (BDRs), entre 
outros.
Já o fundo multimercado tem como política a aplicação dos recursos em 
diferentes modalidades de investimento, tais como ações, renda fixa e 
câmbio. O objetivo é diversificar os fatores de risco e obter rendimentos 
maiores que a renda fixa, porém, com menor exposição ao risco da 
renda variável.
De acordo com Filho (2019), o fundo cambial tem como característica o 
investimento de no mínimo 80% da carteira em títulos com correção por 
variação de moeda estrangeira ou sintetizadores por via de derivativos, 
sendo o principal fator de risco a variação dos preços da moeda 
estrangeira.
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3.2 Fundos Imobiliários
Os fundos imobiliários pertencem aos chamados fundos estruturados. 
Tais fundos são criados com o objetivo de investir em determinados 
setores da economia. Os fundos imobiliários permitem o investidor 
a obtenção de renda e ganhos de capital de forma diversificada e 
com administração profissional (FILHO, 2019). Os fundos imobiliários 
costumam ser de três tipos:
• Fundos de tijolos: geralmente investem em empreendimentos 
físicos, tais como shopping centers, hospitais, escritórios, galpões, 
entre outros.
• Fundos de papel: investem em títulos de dívida do próprio 
segmento imobiliário.
• Fundos de fundos: são compostos pelas cotas de outros fundos 
imobiliários disponíveis no mercado.
Ao comprar uma cota em um fundo imobiliário, o investidor recebe 
rendimento mensal, ou seja, participação nos aluguéis ou resultados 
advindos do fundo. A vantagem de investir nesses fundos é a não 
incidência de imposto de renda sobre o capital distribuído ao investidor 
(FILHO, 2019), lembrando que as cotas de fundos imobiliários são 
negociadas em bolsa de valores.
Referências
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro.  15. ed. [2ª Reimp.]. Barueri [SP]: Atlas, 
Instituto Assaf, 2023.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2021.
BODIE, Z; KANE, A; MARCUS, A. Fundamentos de Investimentos. 9. ed. Porto 
Alegre: Grupo A, 2014.
BRUNI, A. L. Avaliação de Investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
20
FILHO, B. G. O. Gestão de fundos de investimento: o seu guia para gestão de 
carteiras. São Paulo: Saint Paul Editora, 2019.
PINHEIRO, J. L. Mercado de Capitais. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2019.
SINATORA, J. R. P. Mercado de capitais. Londrina: Editora e Distribuidora 
Educacional S.A., 2017.
.
21
Indicadores estatísticos para 
mensuração do risco e 
o modelo CAPM
Autoria: Renato José da Silva
Leitura crítica: Alexandre Gustavo Teixeira Moraes
Objetivos
• Conhecer as medidas estatísticas para avaliação de 
risco.
• Compreender o cálculo da expectativa de retorno da 
carteira.
• Aplicar o modelo de precificação de ativos (CAPM).
22
1. Medidas estatísticas de posição e dispersão
A estatística é um método que permite ao usuário tomar decisões 
mais assertivas em ambientes de incerteza. O mercado de capitais 
é conhecidamente por ser um ambiente de incerteza, e não se pode 
negligenciar o uso de métodos estatísticos no processo de avaliação 
de riscos dos ativos (ASSAF NETO, 2021). Existem diversas medidas 
estatísticas descritivas, porém, vamos concentrar nossos estudos nas 
medidasde posição ou tendência central e nas medidas de dispersão.
As medidas de posição visam identificar as características de 
concentração de uma amostra, sendo as principais medidas de posição 
a média, mediana, moda, quartis e decis (ASSAF NETO; LIMA, 2017). A 
média é a medida de tendência central mais utilizada. A média simples 
é calculada pela divisão entre a soma do conjunto de informações e o 
número de valores. A fórmula para o cálculo da média é:
em que xi pode variar de 1 até n.
Por exemplificar o uso da média simples, considere a rentabilidade das 
ações da bolsa Brasileira no período de 2018 a 2022 no Quadro 1:
Quadro 1 – Retorno percentual anual do índice Ibovespa (2018-2022)
Ano Retorno
2018 15%
2019 32%
2020 3%
2021 -12%
2022 5%
Fonte: adaptado de https://www.b3.com.br/pt_br/market-data-e-indices/indices/indices-
amplos/indice-ibovespa-ibovespa-estatisticas-historicas.htm. Acesso em: fev. 2023.
23
Com base nos dados do Quadro 1, a média anual de retorno do 
Ibovespa foi:
No entanto, devido à forte variabilidade dos dados, indo de -12% até 
32%, a média aritmética não pode ser considerada como uma medida 
mais rigorosa, capaz de exprimir a tendência central das taxas de 
retorno (ASSAF NETO; LIMA, 2017).
Nesse contexto, de acordo com Assaf Neto (2023), as medidas de 
dispersão indicam como os valores de uma amostra se distribuem em 
relação ao seu eixo central, ou seja, a média. Quanto maior apresentar-
se o intervalo entre os valores extremos de um conjunto de dados, 
menor é a representatividade estatística da média, pois, os valores 
de observação distanciam-se desta medida central. Sendo assim, as 
principais medidas estatísticas de dispersão na avaliação de risco são: 
desvio-padrão, variância e coeficiente de variação.
O desvio-padrão é representado pela letra grega “σ” (sigma) quando 
calculado de dados de uma população, e por “S”, quando calculado da 
amostra. O desvio-padrão mensura a variabilidade ou a dispersão de um 
conjunto de valores em relação à média (ASSAF NETO, 2021).
A variância é uma medida de distribuição que indica a quantidade de 
variação ou de distribuição dos dados em relação à sua média. Essa 
medida mostra “o quão longe” em geral os seus valores se encontram 
do valor esperado. A variância é definida como sendo o quadrado do 
desvio-padrão, identificada por “ e “S²” respectivamente variância de 
população e variância de amostra. De outro modo, pode-se expressar 
que o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância (ASSAF NETO, 2021).
24
2. Medidas estatísticas aplicadas ao 
estudo do risco
Vamos considerar que estamos avaliando o risco de dois investimentos: 
X e Z. Partindo de algumas premissas e projeções econômicas, 
elaboramos a seguinte distribuição de probabilidade dos retornos 
esperados desses investimentos.
Quadro 2 – Probabilidade de retorno dos investimentos X e Z
Investimento X Investimento Z
Retornos Esperados
(R$)
Probabilidade
(%)
Retornos Esperados
(R$)
Probabilidade
(%)
300 10% 150 10%
325 15% 250 20%
350 50% 350 40%
375 15% 450 20%
400 10% 550 10%
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
Inicialmente, devemos calcular o valor esperado de cada distribuição 
de probabilidade. É uma média dos vários resultados esperados, 
ponderada pela probabilidade de ocorrência desses valores. De acordo 
com Assaf Neto (2023), esse cálculo é processado pela multiplicação das 
diversas estimativas, pelas respectivas porcentagens, ou seja:
Em que: retorno (valor) esperado; Pk = probabilidade de 
ocorrência de cada resultado; Rk = valor de cada resultado esperado.
Ao realizar a substituição da expressão acima com os dados do Quadro 
2, temos:
25
Valor Esperado do Investimento X
E (Rx) = (0,10 x 300) + (0,15 x 325) + (0,50 x 350) + (0,15 x 375) + (0,10 x 400)
E (Rx) = R$ 350
Valor Esperado do Investimento Z
E (Rz) = (0,10 x 150) + (0,15 x 250) + (0,50 x 350) + (0,15 x 450) + (0,10 x 550)
E (Rz) = R$ 350
Perceba que as duas opções de investimentos apresentam o mesmo 
retorno esperado R$ 350,00. Logo, o investidor pode ser indiferente na 
escolha desses ativos. Porém, apesar de possuírem o mesmo retorno 
esperado, os investimentos X e Z apresentam graus diferentes de risco. 
Podemos visualizar isso, por meio de um gráfico que apresenta a relação 
entre as probabilidades e os resultados esperados, conforme a seguir:
Figura 1 – Distribuições de probabilidades dos investimentos X e Z.
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
Ao visualizar a Figura 1, percebe-se que apesar dos retornos esperados 
serem iguais, os investimentos apresentam riscos diferentes. Conforme 
26
a Figura 1, existe maior grau de risco no investimento “Z”, dado uma 
maior dispersão na distribuição de probabilidade de seus retornos. 
Sendo assim, podemos concluir a Esperança de Retorno, ou Valor 
Esperado do Investimento não apresenta o risco associado àquela 
proposta de investimento, sendo necessária, assim, a utilização dos 
indicadores de dispersão de risco como o desvio-padrão e a variância. 
Como estamos trabalhando com a probabilidade de retorno de um 
investimento, a fórmula de cálculo do desvio-padrão e da variância são 
dadas respectivamente pelas seguintes expressões:
 
σ = símbolo grego (sigma) representando o desvio-padrão; VAR = 
variância. É o desvio-padrão elevado ao quadrado; Pk = probabilidade 
atribuída a cada resultado; Rk = Retorno médio do ativo K; = E(Rk) = 
retorno esperado do ativo k.
Aplicadas essas identidades, podemos mensurar a variância e o desvio-
padrão para os investimentos “X” e “Z”, nos quadros 03 e 04 a seguir:
Quadro 3 – Variância e Desvio-padrão do Investimento X
Probabilidade Px Retorno Esperado Rx
10% R$ 300,00 R$ 30,00 (R$ 50,00) R$ 2.500,00 R$ 250,00
15% R$ 325,00 R$ 48,75 (R$ 25,00) R$ 625,00 R$ 93,75
50% R$ 350,00 R$ 175,00 - - -
15% R$ 375,00 R$ 56,25 R$ 25,00 R$ 625,00 R$ 93,75
10% R$ 400,00 R$ 40,00 R$ 50,00 R$ 2.500,00 R$ 250,00
 
Desvio-padrão = 
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
27
Quadro 4 – Variância e Desvio-padrão do Investimento Z
Probabilidade Pz Retorno Esperado Rz
10% R$ 150,00 R$ 15,00 (R$ 200,00) R$ 40.000,00 R$ 4.000,00
20% R$ 250,00 R$ 50,00 (R$ 100,00) R$ 10.000,00 R$ 1.000,00
40% R$ 350,00 R$ 140,00 - - -
20% R$ 450,00 R$ 90,00 R$ 100,00 R$ 10.000,00 R$ 1.000,00
10% R$ 550,00 R$ 55,00 R$ 200,00 R$ 40.000,00 R$ 4.000,00
 Var = 
 Desvio-padrão = 
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
A partir dos resultados encontrados, podemos observar que confirmam 
as conclusões da Figura 1, logo que o investimento “Z” apresenta maior 
desvio-padrão, sendo este classificado como o de maior risco. Dessa 
forma, por apresentar o mesmo retorno esperado de “Z”, e assumir 
um nível mais baixo de risco, podemos considerar o investimento 
em “X” como mais atraente, pois, apresenta menor desvio-padrão, e 
consequentemente, menor risco.
Outra medida estatística utilizada para mensuração do risco em gestão 
de ativos é o coeficiente de variação. O coeficiente de variação mostra a 
dispersão relativa em porcentagem, ou seja, o risco por unidade (ASSAF 
NETO e LIMA, 2017). Esse coeficiente é calculado pela relação entre o 
desvio-padrão e a média aritmética da amostra (ou população) dado por:
 
em que: S é o desvio-padrão e é a média aritmética simples ou retorno 
esperado.
Quanto maior se apresentar o coeficiente de variação, mais alto será 
o risco do ativo. Uma forma de compreender a aplicabilidade do 
coeficiente de variação é por meio de um exemplo em que existem duas 
28
alternativas de investimento, porém, que apresentam desvio-padrão 
idênticos, conforme quadro abaixo:
Quadro 5 – Comparativo de investimentos por meio do 
Coeficiente de Variação
Investimento Retorno Esperado Desvio-padrão Coef. Variação
A 18% 10% 0,55
B 22% 10% 0,45
Fonte: Adaptado de ASSAF NETO (2021).
Perceba que o nível de risco medido pelo desvio-padrão é igual para as 
duas alternativas, porém, essa medida não leva em conta o cálculo do 
desviopor unidade de retorno esperado. Pelo critério do coeficiente de 
variação, a alternativa “B” é a que representa a menor dispersão, ou seja, 
um risco de 0,45 para cada unidade esperada de retorno, sendo inferior 
a 0,55 do investimento A. No Quadro 6, podemos observar o mesmo 
cenário de análise, porém, com os ativos possuindo desvio-padrão 
diferentes.
Quadro 6 – Comparativo de investimentos por meio 
do Coeficiente de Variação
Investimento Retorno Esperado Desvio-padrão Coef. Variação
A 18% 10% 0,55
B 22% 17% 0,77
Fonte: adaptado de ASSAF NETO (2021).
Nesse exemplo, o investimento no ativo “A” passa a ser o de menor risco, 
pois agora apresenta o menor coeficiente de variação e o menor retorno 
esperado. Sendo assim, cabe ao investidor escolher o ativo conforme o 
grau de risco que deseja assumir. A escolha do investimento “A” aponta 
menor grau de aversão ao risco; se a decisão recair sobre B, ocorre o 
contrário (ASSAF NETO, 2023).
29
3. Modelo de Precificação de Ativos 
de Capital (CAPM)
Muito bem, agora vamos avançar e conhecer o modelo CAPM. CAPM 
é a sigla que expressa “Capital Asset Pricing Model” em português 
“Modelo de Precificação de Ativos de Capital”. Desenvolvido por Willian 
Sharpe e John Lintner o CAPM permite que se encontre o retorno 
mínimo exigido de um investimento baseado no risco aparente, isto é, 
para qualquer investimento é possível apurar pelo modelo, a taxa de 
retorno que remunera o risco envolvido na decisão (SINATORA, 2017). 
Destaca-se que na formulação matemática desse modelo duas variáveis 
importantes são consideradas: a taxa de juros livre de risco e o prêmio 
pelo risco assumido (ROSS, et al., 2022). A taxa livre de risco, também 
chamada de “risk free” é utilizada como medida de referência para 
se avaliar o prêmio pelo risco pago por um investimento. Em vez de 
investir em determinado projeto ou ativo, o investidor poderá aplicar 
seus recursos em títulos considerados “sem risco” (SINATORA, 2017). No 
Brasil, costuma-se adotara como taxa livre de risco a taxa referencial do 
Sistema Especial de Liquidação e de Custódia (Selic) para títulos públicos 
federais.
As negociações com títulos públicos no mercado monetário brasileiro são 
controladas por um sistema especial de custódia e liquidação conhecido 
por Sistema Especial de Liquidação e Custódia (SELIC). O SELIC opera 
basicamente com títulos emitidos pelo Tesouro Nacional, classificados 
como de risco zero. Conforme comentado, admite-se que é bem difícil que 
o Governo não pague nos respectivos vencimentos os juros e principal 
devidos pela colocação dos títulos, que são, por isso, classificados como 
ativos sem risco no mercado financeiro. (ASSAF NETO E LIMA, 2017, p. 29)
Na prática, taxa livre de risco é a rentabilidade mínima que o investidor 
acredita que pode receber no mercado. Já o prêmio pelo risco assumido 
é o retorno exigido pelo investidor para compensar o risco que está 
assumindo em aplicar no mercado de ações, ou seja, é um retorno 
30
adicional à taxa livre de risco. Nesse contexto, a fórmula do CAPM é 
dada por:
Em que: Ke = taxa mínima de retorno requerida pelos acionistas (custo 
de capital próprio); Rf = taxa de retorno de ativos livres de risco; β = 
coeficiente beta, medida do risco sistemático; Rm = rentabilidade da 
carteira de mercado (índice do mercado de ações).
O coeficiente beta (β) é a medida de risco que aponta o quanto o 
retorno de uma determinada ação pode sofrer de impacto pelo risco 
sistemático. O risco sistemático está ligado à economia de um modo 
geral, por exemplo, o aumento de desemprego, altas taxas de inflação, 
desvalorização de moeda e crise política. Tais fatores podem influenciar 
diretamente os negócios da organização e são mensurados por esse 
coeficiente (ROSS et al., 2022). O Beta pode assumir valores entre 0 e 1, 
que podem assim ser interpretados:
• Beta igual a 1: o título tem seus retornos variando junto com os do 
mercado.
• Beta menor do que 1: os retornos do título variam menos do que 
os do mercado.
• Beta maior do que 1: os retornos do título oscilam mais do que os 
do mercado.
A rentabilidade da carteira de mercado “Rm” representa uma carteira 
teórica de referência na bolsa de valores, que serve como um índice 
representativo do desempenho das cotações das ações da carteira 
(ROSS et al., 2022). No Brasil, o índice mais utilizado é o índice Bovespa 
da bolsa de valores de São Paulo. O prêmio de risco de mercado é dado 
por (Rm – Rf), ou seja, a diferença entre a rentabilidade da carteira de 
referência do mercado e a taxa de retorno de ativos livres de risco. Para 
31
exemplificar a aplicabilidade do modelo CAPM considere o seguinte 
exemplo:
As ações da indústria “ABC” apresentam um coeficiente beta de 1,3, ou 
seja, seu risco sistemático é 30% maior que o risco do mercado de um 
modo geral. A taxa livre de risco é de 4% ao ano e a expectativa dos 
investidores para a carteira de mercado gira em torno de 11% ao ano. 
Utilizando a fórmula temos:
O retorno esperado dessa ação deve ser, no mínimo, igual a 13% ao ano, 
o que representa o custo do capital próprio da indústria “ABC”. Essa taxa 
pode ser utilizada como a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) para os 
investidores.
Referências
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 15. ed. [2ª Reimp.]. Barueri [SP]: Atlas, 
Instituto Assaf, 2023.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2021.
ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Fundamentos de administração financeira. 3. ed. São 
Paulo: Atlas, 2017.
ROSS, S. et al. Fundamentos de administração financeira. Grupo A, 2022.
SINATORA, J. R. P. Mercado de capitais. Londrina: Editora e Distribuidora 
Educacional S.A., 2017.
32
Diversificação de riscos e a teoria 
das carteiras de Markowitz
Autoria: Renato José da Silva
Leitura crítica: Alexandre Gustavo Teixeira Moraes
Objetivos
• Conhecer a importância da diversificação dos ativos.
• Diferenciar os conceitos de Covariância e Correlação.
• Aplicar as técnicas da teoria do portfólio de 
Markowitz. 
33
1. Diversificação de riscos
Todas as decisões de investimentos carregam elementos de risco 
ou incertezas. Considerando que essas decisões se voltam para 
expectativas de retornos futuros, e com a probabilidade de o futuro não 
ocorrer como o planejado, os riscos sempre vão estar presentes. Logo, 
a incerteza é caracterizada pela incapacidade de prever com exatidão 
as chances de sucesso ou fracasso decorrentes de uma decisão. O risco 
conceitua-se, portanto, pela incerteza, e que pode, de algum modo, ser 
quantificável ou mensurável (FILHO, 2019). De acordo com Assaf Neto 
(2021), os ativos financeiros carregam dois componentes de risco: o risco 
sistemático (conjuntural) e o risco não sistemático (risco específico do 
ativo).
O risco sistemático integra todos os ativos financeiros, sendo oriundo 
da natureza econômica, política e social. Recessão econômica, crises 
políticas, guerras, pandemias, conflitos sociais são exemplos de riscos 
sistemáticos. Sendo assim, não existem maneiras de evitar o risco 
sistemático, logo a diversificação do portfólio é uma possibilidade de 
minimizar o impacto desse risco na carteira de investimento. Já o risco 
chamado não sistemático é inerente ao próprio ativo financeiro, não 
tendo capacidade de afetar outros ativos da carteira (ASSAF NETO, 2023). 
Aumento de endividamento da empresa, queda dos lucros e insolvência 
são exemplos de riscos não sistemáticos que podem afetar as ações de 
empresas listadas na bolsa de valores. A eliminação desse risco poderá 
acontecer pela inclusão de ativos que não tenham correlação positiva 
entre si (ASSAF NETO, 2021). Desse modo, o risco total dos ativos 
financeiros pode ser mensurado como:
Risco Total = Risco Sistemático + Risco Não Sistemático (risco 
diversificável)
Mas como minimizar o risco dos ativos financeiros?
34
Por meio da elaboração de uma carteira de investimentos, na qual seja 
composta por ativos diversificados, ou seja, que o retorno dos ativos 
não sejaperfeito e positivamente correlacionado entre si, poderá haver 
redução do risco da carteira, ou seja, com o menor desvio-padrão 
possível (ASSAF NETO; LIMA, 2017). Desse modo, o risco não sistemático 
pode ser total ou parcialmente minimizado pela diversificação dos 
ativos dentro da carteira de investimento, logo, o risco não sistemático 
é chamado de risco diversificável. No entanto, o risco sistemático não 
pode ser eliminado por meio da diversificação, estando sempre presente 
na estrutura da carteira.
2. Covariância e Correlação de Ativos
No processo de composição de uma carteira de investimentos, 
no qual existem ativos financeiros de classes diferentes, e o foco 
é a diversificação dos ativos para reduzir o risco não sistemático, 
é importante calcular a correlação e a covariância desses ativos. 
inicialmente vamos começar pelo conceito de covariância. A covariância 
(COV) busca identificar como determinados ativos se inter-relacionam, 
ou seja, avalia como dois ativos “X” e “Y” afastam-se ao mesmo tempo 
dos seus valores médios (covariam) (ASSAF NETO, 2021). Por exemplo, 
se dois ativos possuem simetria positivas, logo a covariância é positiva 
(COV>0), e assim vão possuir taxas de retorno na mesma tendência. 
Então, se o título “X” valorizar o outro “Y” também vai valorizar, pois, 
são ativos diretamente relacionados. Já a covariância negativa ocorre 
quando dois títulos apresentam relações opostas (COV <0), ou seja, 
quando o ativo “X” valoriza o outro “Y” e se desvaloriza ao mesmo tempo 
(ASSAF NETO, 2021). A fórmula de cálculo da covariância entre dois 
ativos “X” e “Y” pode ser dada por:
35
em que: é o retorno de X subtraído do retorno médio de X; 
é o retorno de Y subtraído do retorno médio de Y; (n) é o número de 
elementos.
Sobre a correlação Assaf Neto e Lima (2017) argumentam que é uma 
métrica estatística que apresenta o relacionamento no comportamento 
de duas ou mais variáveis, ou seja, indica a maneira como ela se move 
em conjunto. Por exemplo, podemos afirmar que existe uma correlação 
positiva entre crescimento econômico e aumento do número de 
empregos ou ainda uma correlação entre o aumento do endividamento 
das famílias e inadimplência. Sendo assim, a mensuração desse 
relacionamento é obtida estatisticamente por meio do coeficiente de 
correlação que pode variar de +1 a -1. Para apresentar o coeficiente de 
correlação entre, por exemplo, “X” e “Y”, apresenta-se a sigla matemática 
(px,y). Quando o coeficiente de correlação for igual a menos um (px,y =–1), 
considera-se que os ativos estão negativamente correlacionados, isto é, 
quando o ativo “X” diminuir o ativo “Y” tende a aumentar. Já quando o 
coeficiente de correlação é igual a mais um (px,y = + 1), pode-se dizer que 
aumentos no ativo “X” determina alterações paralela no mesmo sentido 
no ativo “Y”. Desse modo, o coeficiente de correlação pode variar entre:
Para o foco dos nossos estudos, a expressão utilizada para o cálculo do 
coeficiente de correlação é:
em que: é a covariância entre “X” e “Y”; é o desvio-padrão de “X”; é o 
desvio-padrão de “Y”.
De acordo com Assaf Neto (2021), também pode-se determinar 
covariância de “X” e “Y” pelo produto da correlação e desvio-padrão das 
variáveis, ou seja:
36
em que: p x,y é o coeficiente de correlação; é o desvio-padrão de “X”; 
é o desvio-padrão de “Y”.
Observe que a covariância e a correlação são parâmetros similares, 
uma vez que os dois casos indicam a maneira que duas variáveis 
se relacionam entre si, no entanto, a correlação assume valores 
padronizados entre (+1) e (-1), enquanto a covariância pode assumir 
qualquer valor positivo ou negativo.
3. Teoria do portfólio (teoria das carteiras 
de Markowitz)
A teoria do portfólio de Markowitz é um modelo de análise e gestão 
de investimentos desenvolvido pelo economista Harry Markowitz com 
a publicação de “Portfolio Selection” em 1952. Essa teoria apresenta 
uma metodologia para a seleção e combinação de diferentes ativos 
financeiros com o objetivo de maximizar o retorno do investimento 
e minimizar o risco assumido pelo investidor. Segundo a teoria de 
Markowitz, a escolha de um portfólio ideal deve levar em consideração 
não apenas o retorno esperado dos ativos, mas também a sua 
volatilidade e a correção entre eles. De acordo com Markowitz (1991, 
p. 5, apud FILHO, 2019, p.111), “para reduzir riscos é necessário evitar 
um portfólio onde todos os ativos são altamente correlacionados. Cem 
ações cujos retornos sobem e descem ao mesmo tempo oferecem 
menor proteção do que o retorno incerto de uma única ação”.
Sendo assim, o foco de análise da teoria de Markowitz é a correlação 
dos ativos e o risco da carteira. Ademais, o risco da carteira no modelo 
é determinado pelo desvio-padrão. Logo, de acordo com Assaf Neto 
e Lima (2017), o desvio-padrão de uma carteira formada por diversos 
ativos, conforme a teoria de Markowitz, é função do desvio-padrão 
37
de cada ativo (σj); percentual da carteira aplicado em cada ativo (Wj); 
coeficiente de correlação dos ativos (CORRi,j ou ρi,j), ou covariância (COVi,j).
Por exemplo, o risco (desvio-padrão) de uma carteira composta por dois 
ativos “i” e “j”, baseando-se no modelo de portfólio de Markowitz é dada 
por:
em que: é a proporção de recursos em “i” elevado ao quadrado; é o 
desvio-padrão de “i” elevado ao quadrado; é a proporção de recursos 
em “j” elevado ao quadrado; é o desvio-padrão de “j” elevado ao 
quadrado; é a proporção de recursos em “i”; é a proporção de recursos 
em “j”, é o coeficiente de correlação; é o desvio-padrão de “i”; é o 
desvio-padrão de “j”.
3.1 Efeito da correlação sobre a carteira de 
investimentos
Para compreender melhor os efeitos das correlações sobre o retorno 
dos ativos de um portfólio, conforme explicitado na teoria do portfólio 
de Markowitz, considere uma carteira formada por dois ativos (A e B) 
com as seguintes informações:
Quadro 1– Retorno e risco esperado
Portfólio (p) Retorno (E)Rp Risco σp
Ação A 10% 16%
Ação B 20% 23%
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
Inicialmente, adota-se a hipótese de que a carteira será formada com 
80% dos recursos sendo alocados na ação “A” e 20% na ação “B”. Desse 
modo, o retorno esperado dessa carteira será de:
38
Ainda para essa carteira, adotando a hipótese de correlação positiva e 
igual a um (pA,B = + 1) entre os ativos, o risco (desvio-padrão) calculado 
conforme o modelo de Markowitz será de:
 
Considere que para essa mesma composição de carteira, e assumindo 
a hipótese e que a correlação fosse negativa em menos um (pA,B =–1), o 
risco da carteira (desvio-padrão) conforme o modelo de Markowitz será 
de:
 
Agora admita a hipótese que 60% dos recursos serão alocados na ação 
“A” e 40% na ação “B”. Logo, o retorno esperado desta carteira será de:
R(E)p = (10% x 60%) + (20% x 40%) = 14%
Ainda para essa carteira, o risco calculado conforme o modelo de 
Markowitz e adotando a hipótese de correlação positiva e igual a um 
(pA,B = + 1) entre os ativos, será de:
 
Considere que para essa mesma composição de carteira e assumindo a 
hipótese e que a correlação fosse negativa em menos um (pA,B =–1), o 
risco da carteira conforme o modelo de Markowitz será de:
39
Uma vez realizados os cálculos, pode-se organizar as informações no 
quadro abaixo:
Quadro 2 – Composição de carteira e riscos possíveis
Composição da Carteira Risco da Carteira
Ação A Ação B E (Rp) Correlação Correlação 
80% 20% 12% 17,40% 8,2%
60% 40% 14% 18,80% 0,4%
Fonte: elaborado pelo autor.
Conforme pode-se visualizar no Quadro 2, quando se assume a hipótese 
de correlação negativa entre os ativos, o risco da carteira é menor. 
Quando a premissa é de correlação positiva, o risco da carteira aumenta. 
Logo, a essência da teoria do portfólio de Markowitz é diversificar a 
carteira com ativos com correlação negativa.
3.2 Risco e retorno esperado de um portfólio
Considere ilustrativamente dois ativos (X e Y) que para cada cenárioeconômico considerado apresentam os seguintes retornos:
Quadro 3 – Retorno dos ativos X e Y, dado cenário econômico
Cenário Probabilidade Pj (E)Rx (E)Ry
Recessão 10% - 4% 1%
Médio 35% 8% 8%
Bom 45% 20% 15%
Excelente 10% 45% 20%
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
O retorno esperado de cada ativo, considerando todos os cenários é 
dado por:
40
Utilizando quatro casas decimais, o desvio-padrão (risco) de cada ativo é 
dado por:
 
Encontrado o retorno esperado e o risco de cada ativo, apresenta-se no 
Quadro 4 a covariância entre os dois ativos.
Quadro 4 – Cálculo da covariância entre os ativos X e Y
Cenário Probabilidade 
(Pj) Rx Ry Pj
Recessão 10% - 4% 1% -20% -11% 0,212%
Médio 35% 8% 8% -8% -4% 0,101%
Bom 45% 20% 15% 4% 3% 0,062%
Excelente 10% 45% 20% 29% 8% 0,243%
 = 16% =12% COV X,Y = 0,618%
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
A covariância calculada é positiva, associando retornos no mesmo 
sentido na carteira composta por esses dois ativos. Já o coeficiente de 
correlação entre os dois ativos é dado por: 
 
A correlação entre os ativos é menor que um (0,1226). Logo, conforme 
a teoria do portfólio de Markowitz, poderá haver redução do risco na 
carteira, pois, os ativos não são altamente correlacionados.
A partir de agora, pode-se calcular a formação de uma carteira (portfólio) 
com os ativos “X” e “Y” e aplicar a fórmula do cálculo do risco da carteira 
de Markowitz. Incialmente, considere uma carteira em que os recursos 
41
financeiros são alocados totalmente no ativo “X” ou totalmente no ativo 
“Y”. Nesse caso, teríamos:
Quadro 5 – Composição da carteira de investimentos 
sem diversificação
Proporção do Ativo 
X no portfólio (Wx)
Proporção do Ativo Y 
no portfólio (Wy)
Retorno Esperado 
do portfólio E(Rp)
Risco do Portfólio 
(σp)
Carteira 01 0% 100% 12% 14%
Carteira 02 100% 0% 16% 36%
Fonte: elaborado pelo autor.
Perceba que os dados apresentados na tabela acima correspondem 
aos mesmos que calculamos anteriormente, pois não estávamos 
considerando a diversificação dos ativos no portfólio. Porém, agora 
vamos considerar que tenhamos a participação dos dois ativos na 
carteira.
Considere uma carteira que tenhamos as seguintes proporções de 
aplicação de recursos: 25% no Ativo X (Wx = 25%) e 75% no ativo Y 
(Wy=75%). Considerando a correlação de 0,1226 entre os ativos, o risco 
dessa carteira (σp), será de:
 
Agora considere as seguintes possibilidades:
Ativo X (Wx = 50%); Ativo Y (Wy=50%). O risco dessa carteira (σp) será de:
 
Ativo X (Wx = 75%); Ativo Y (Wy=25%). O risco dessa carteira (σp), será de:
42
 
No Quadro 6 é apresentado o retorno esperado para essas combinações 
do portfólio.
Quadro 6 – Conjuntos possíveis de carteira e retornos esperados
Composição da carteira Retorno Esperado
(Wx = 25%) e (Wy=75%) E (Rp) = (25% x 16%) + (75% x 12%) = 13%
(Wx = 50%) e (Wy=50%) E (Rp) = (50% x 16%) + (50% x 12%) = 14%
(Wx = 75%) e (Wy=25%) E (Rp) = (75% x 16%) + (25% x 12%) = 15%
Fonte: elaborado pelo autor.
O Quadro 7 apresenta o retorno e risco dos ativos “X” e “Y” em um 
conjunto de carteiras possíveis. Repare que o aumento do retorno 
esperado acompanha um aumento do risco, verificando-se uma 
correlação positiva entre risco e retorno.
Quadro 7 – Risco e retorno esperado para diferentes 
composições de carteira
Wx Wy E (Rp) Risco (σp)
Carteira 01 0% 100% 12% 14,00%
Carteira 02 25% 75% 13% 14,64%
Carteira 03 50% 50% 14% 20,09%
Carteira 04 75% 25% 15% 27,65%
Carteira 05 100% 0% 16% 36,00%
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2021).
Essas diversas combinações sugeridas no Quadro 7 podem descrever 
uma curva que retrata o conjunto possível de combinações de uma 
carteira. Essa representação gráfica descreve as possíveis alternativas 
43
que se apresentam ao investidor de modo que possa combinar a 
participação dos ativos “X” e “Y” no contexto de uma carteira, conforme 
apresentado na Figura 1.
Figura 01 – Linha de Conjunto de combinações.
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2023, p. 292).
Na Figura 1 pode-se visualizar o formato de um triângulo formado 
pelos pontos KWZ. A curva inserida dentro do triângulo (linha 
laranja) apresenta os possíveis resultados de risco e retorno de 
carteira constituída por ativos considerados como não perfeitamente 
correlacionados (ASSAF NETO, 2023). A reta KW apresenta os possíveis 
resultados dos ativos, caso possuíssem uma correlação perfeitamente 
positiva (px,y = +1). A curva entre KMW (linha laranja) está à esquerda 
da reta KW, o que mostra o efeito da diversificação da carteira. A reta 
ZW apresenta uma correlação perfeitamente negativa, porém, pouco 
comum na prática.
O ponto “M” representa uma carteira de ativos que apresenta o menor 
risco possível. Segundo Assaf Neto (2023), esse ponto é conhecido como 
a “carteira de variância mínima”. Quanto mais uma carteira se distancia 
desse ponto de menor desvio-padrão, maior risco que apresenta e 
44
consequentemente também mais elevado é o seu retorno esperado 
(ASSAF NETO, 2021). Para dois ativos “X” e “Y” a carteira de variância 
mínima pode ser dada pela seguinte expressão:
 
Para ilustrar a aplicabilidade do conceito, vamos utilizar os dados do 
exemplo anterior no qual: σ(x) = 36%; σ(y) = 14%; E(Rx) = 16%; E(Ry) = 
12% e px,y = 0,1226
Substituindo esses valores na fórmula da variância mínima, têm-se:
 
 
Sabendo que:
Portanto, na carteira “M”, 9,8% dos recursos são alocados no ativo “X” e 
90,2% em “Y”. Logo, o retorno esperado e o desvio-padrão dessa carteira é:
 
 
A carteira “M”, de variância mínima, possui um retorno esperado de 
12,40% e um risco (desvio-padrão) de 13,52%.
Referências
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 15. ed. [2ª Reimp.]. Barueri [SP]: Atlas, 
Instituto Assaf, 2023.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2021.
45
ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Fundamentos de administração financeira. 3. ed. São 
Paulo: Atlas, 2017
FILHO, B. G. O. Gestão de fundos de investimento: o seu guia para gestão de 
carteiras. São Paulo: Saint Paul Editora, 2019.
PINHEIRO, J. L. Mercado de Capitais. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2019.
46
Asset Allocation e Avaliação de 
Carteiras de Investimento.
Autoria: Renato José da Silva
Leitura crítica: Alexandre Gustavo Teixeira Moraes
Objetivos
• Conhecer os diferentes tipos de perfil de investidor.
• Compreender o modelo de formação de carteiras 
por meio do Asset Allocation.
• Saber avaliar carteiras de investimentos. 
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1. Perfil do investidor
O mercado de capitais é geralmente considerado um ambiente de risco 
para o investidor, pois os preços dos ativos financeiros, como ações, 
títulos e fundos de investimento, podem flutuar significativamente ao 
longo do tempo. Essas flutuações de preços podem ser causadas por 
diversos fatores, como mudanças nas condições econômicas mundial, 
políticas governamentais, desempenho da empresa, e outros fatores 
imprevisíveis.
Nesse contexto, é essencial que os investidores façam uma análise 
cuidadosa dos riscos envolvidos antes de investir em qualquer ativo 
financeiro, diversifiquem sua carteira de investimentos e tenham uma 
estratégia de investimento clara e consistente para alcançar seus 
objetivos financeiros de longo prazo.
Sendo assim, uma forma de minimizar os impactos dos riscos do 
mercado de capitais é o agente conhecer o seu perfil de investidor. Mas, 
o que vem a ser esse perfil?
De acordo com Assaf Neto (2023), conhecer o perfil do investidor é 
fundamental para se compreender os objetivos daqueles que decidem 
realizar investimentos e direcionar a formação de suas carteiras de 
ativos. Ainda segundo o autor:
[...] alguns investidores decidem investir com o intuito de realizarem 
grandes retornos e, talvez, fazerem grandes fortunas; outros, para ter um 
fluxo de renda que permita sua estabilidade financeira (aposentadoria); e 
outros ainda visam tão somente preservar seu patrimônio. (ASSAF NETO, 
2023, p. 280)
Logo, constata-se que um portfólio de investimentos deve possuir ativosfinanceiros compatíveis aos objetivos e perfil do investidor, e que atenda 
às suas expectativas de risco e retorno. Porém, para isso é importante 
48
que se conheça o nível de tolerância do investidor perante o risco, 
disponibilidade de capital e seus objetivos.
De acordo com Assaf Neto (2021), os investidores podem ser 
classificados conforme o seu grau de tolerância ao risco, conforme 
apresentado na Figura 1.
Figura 1 – Classificação do investidor, conforme tolerância ao risco
Fonte: elaborado pelo autor.
A partir de agora, vamos apresentar as características de cada 
classificação.
O investidor denominado “conservador” possui o objetivo de preservar 
o seu capital e assim opta por investir em ativos mais seguros, ou seja, 
de menor risco, mesmo que isso leve a um menor retorno da carteira de 
investimentos.
Desse modo, os ativos financeiros mais procurados por essa classe de 
investidores são:
• Tesouro Selic.
• Certificado de Depósito Bancário (CDB).
• Letras do Crédito do Agronegócio/Imobiliário (LCA, LCI).
• Fundos de Renda Fixa.
O investidor classificado como “moderado” possui a característica de 
ser um “conservador”, porém, aceita expor uma pequena parcela de seu 
49
portfólio em ativos de maiores riscos com expectativa de retorno em 
médio e longo prazo. Logo, o investidor desse perfil procura equilibrar 
rentabilidade versus risco, e costumam aplicar nas seguintes classes de 
ativos:
• Tesouro Selic.
• Certificado de Depósito Bancário (CDB.)
• Letras do Crédito do Agronegócio/Imobiliário (LCA, LCI).
• Certificado de Recebíveis Imobiliários/Agronegócio (CRI/CRA).
• Fundos de Renda Fixa.
• Fundos Multimercado.
• Fundos Imobiliários.
• Fundos de Ações.
Já o investidor classificado no perfil “agressivo” é definido como 
aquele que procura focar suas decisões na taxa de retorno, aceitando 
propostas que prometem maiores ganhos, mesmo que incorra em 
maiores riscos (ASSAF NETO, 2023). Mesmo sendo arrojado em seus 
investimentos, destaca-se que esse investidor ainda pode manter uma 
parcela do seu portfólio em ativos de renda fixa, principalmente para 
formação de reserva de emergência e formação de caixa para eventuais 
oportunidades de ativos de renda variável. No entanto, expressiva 
parcela da carteira vai estar exposta em ativos de maiores riscos (renda 
variável), tais como:
• Fundos Multimercado.
• Fundos Imobiliários.
50
• Fundos de Índices (ETFs).
• Debêntures.
• Fundos de Ações.
• Ações.
• Derivativos.
• Moedas (Dólar, Euro, Libra etc.).
Agora, você pode se perguntar: Qual é o meu perfil de investidor?
Bom, para isso, as instituições financeiras e corretoras de valores 
imobiliárias aplicam um questionário ao investidor, que ao final, 
poderá classificá-lo segundo a tolerância ao risco e aos objetivos dos 
investimentos.
2. Asset Allocation (Alocação de Ativos)
Asset Allocation ou Alocação de Ativos é uma estratégia de investimento 
utilizada no mercado financeiro para alocar recursos em diferentes 
classes de ativos, como ações, títulos, fundos imobiliários, commodities 
e outros, ajustado aos objetivos, limitações orçamentárias e tolerância 
ao risco do investidor (ASSAF NETO; LIMA, 2017).
A alocação de ativos é baseada na premissa de que diferentes classes 
de ativos têm diferentes níveis de risco e retorno, e que a combinação 
desses ativos em um portfólio pode ajudar a reduzir o risco geral do 
investimento, proporcionando um retorno melhor em relação ao risco 
assumido. Por exemplo, se um investidor tem uma aversão ao risco 
mais elevado, ele pode optar por investir uma parte maior do seu capital 
51
em títulos de renda fixa, que apresentam um risco menor, e uma parte 
menor em ações, que apresentam um risco maior.
No entanto, para a realização da estratégia de Asset Allocation, alguns 
passos são importantes, no quais serão apresentados a partir de agora.
2.1 Análise do perfil do investidor
Em primeiro lugar, para realizar o Asset Allocation, é essencial analisar o 
perfil do investidor. Para isso, segundo Souza (2018):
[...] a partir de janeiro de 2010, as instituições financeiras passaram a 
aplicar um procedimento denominado análise do perfil dos investidores 
para os clientes interessados em adquirir produtos com maior risco, 
como fundos multimercado, fundos de ações e fundos com risco de 
crédito privado. O conceito, já adotado em economias mais desenvolvidas, 
determina que as instituições realizem as vendas de produtos financeiros 
de acordo com as necessidades, os interesses e os objetivos dos clientes. 
Ou seja, o banco faz uma avaliação do perfil do cliente e, com base nas 
respostas obtidas, faz uma recomendação de qual produto financeiro 
ou carteira é mais apropriada para o cliente atingir seus objetivos de 
investimento. (SOUZA, 2018, p. 27)
2.2 Horizonte do tempo
Uma vez compreendido o perfil do investidor, é importante conhecer os 
objetivos financeiros e os prazos das aplicações. Se o objetivo for para 
investimentos a longo prazo, o portfólio será diferente de quem possui 
objetivos voltados para o curto prazo.
2.3 Estratégia de alocação
Existem diversas estratégias de elaborar a alocação de ativos, como a 
diversificação, a alocação baseada em metas de longo prazo, a alocação 
52
tática baseada em ciclos de mercado e a alocação estratégica de acordo 
com as condições atuais. Cada possibilidade é definida conforme 
os objetivos e o perfil do investidor a fim de oferecer os melhores 
resultados.
A diversificação é a estratégia mais comumente utilizada na alocação de 
ativos, em que o investidor aloca seus recursos em diferentes classes de 
ativos para reduzir o risco do portfólio e obter um retorno mais estável 
a longo prazo. Esta estratégia é baseada no princípio de que diferentes 
classes de ativos têm diferentes níveis de risco e retorno, e que a 
combinação desses ativos em um portfólio pode ajudar a reduzir o risco 
geral do investimento, proporcionando um retorno melhor em relação 
ao risco assumido.
A alocação baseada em metas de longo prazo é uma estratégia de 
alocação de ativos que envolve a definição de metas financeiras 
específicas a longo prazo e a alocação de ativos com base nessas metas. 
Por exemplo, um investidor pode definir uma meta de poupança para a 
aposentadoria e, em seguida, alocar seus recursos em diferentes classes 
de ativos com base nessa meta.
A alocação tática baseada em ciclos de mercado envolve a alocação de 
ativos de acordo com as condições atuais do mercado. Por exemplo, se 
um investidor acredita que as ações estão sobrevalorizadas e que uma 
recessão pode estar a caminho, ele pode reduzir sua alocação em ações 
e aumentar sua alocação em títulos e outros ativos de baixo risco.
A alocação estratégica de acordo com as condições econômicas 
atuais envolve a alocação de ativos de acordo com as condições 
macroeconômicas atuais, como taxas de juros enfrentadas e 
crescimento econômico. Por exemplo, se as taxas de juros estão baixas, 
um investidor pode aumentar sua alocação em ações e outros ativos de 
maior risco que tendem a se beneficiar de taxas de juros mais baixas.
53
3. Indicadores de Avalição de Carteira de 
Investimentos
Sabe-se que os investimentos em fundos de investimentos têm 
se tornado cada vez mais populares no Brasil. Ao mesmo tempo, 
investidores individuais elaboram seus próprios portfólios, por meio 
de estratégias de asset allocation e esperam atingir a rentabilidade 
esperada.
Nesse sentido, a avaliação do desempenho de um fundo ou de portfólios 
torna-se essencial. Uma das maneiras de avaliar o desempenho de 
uma carteira é por meio do índice de Sharpe. Esse índice foi criado por 
Willian Sharpe em 1966, utilizado para a avaliação do desempenho de 
fundos com o objetivo de que investidores ajustem o retorno ao risco na 
avaliação de fundos de investimentos (SINATORA, 2017).
Segundo Filho (2019), esse índice mede o retorno excedente da carteira 
em relação à taxa livre de risco, também chamado de prêmio de risco, 
comparado como risco total do portfólio medido pelo seu desvio-
padrão. Logo, o índice de Sharpe também é conhecido como índice de 
recompensa pela variabilidade, pois mensura o retorno do portfólio, 
relacionada ao risco, medido pelo desvio-padrão.
A fórmula do índice de Sharpe é:
 
Em que: E (Rp) é o retorno esperado do portfólio; Rf é o retorno do ativo 
livre de risco; σp é o desvio-padrão do retorno do portfólio
O resultado apresenta o prêmio oferecido por um ativo para cada 
percentual adicional de risco assumido (desvio-padrão). Também pode 
54
ser interpretado da seguinte forma: “Quanto maior o índice, melhor o 
portfólio” (SINATORA, 2017).
Para compreender a aplicabilidade do índice de Sharpe vamos supor 
que um investidor queira avaliar o seu portfólio no qual vamos 
denominar de fundo (X) e comparar com a performance de outros 
fundos no mercado. No Quadro 1 apresenta-se os dados do retorno 
médio esperado pela carteira do fundo (X), bem como dos fundos (Z) 
e (Y). Também se apresenta o retorno livre de risco do mercado e o 
desvio-padrão de cada carteira.
Quadro 1– Riscos e retornos dos portfólios
Fundos X Z Y
E(Rp) 18% 16% 20%
Rf 13% 13% 13%
σp 7% 8% 9,9%
Fonte: Adaptado de Sinatora (2017).
Cálculo do índice de Sharpe para a carteira X:
O resultado indica que o ativo com risco apura 0,71% de prêmio de risco 
para cada 1% de risco adicional incorrido no período.
Cálculo do índice de Sharpe para a carteira Z: 
 
O resultado indica que o ativo com risco apura 0,37% de prêmio de risco 
para cada 1% de risco adicional incorrido no período.
Cálculo do índice de Sharpe para a carteira Y:
55
O resultado indica que o ativo com risco apura 0,70% de prêmio de risco 
para cada 1% de risco adicional incorrido no período.
Agora podemos analisar o índice de Sharpe e apresentar o ranking.
Quadro 2 – Classificação do Índice de Sharpe
Fundo IS Classificação
X 0,7142 1º
Y 0,7070 2º
Z 0,3750 3º
Fonte: elaborado pelo autor.
Conforme o Quadro 2, dentre os três fundos analisados, o fundo X 
apresenta a melhor avaliação, ou seja, é o que melhor remunera o 
investidor, dado o risco exposto.
A partir de agora, vamos conhecer outro indicador alternativo para 
avaliar o retorno de uma carteira de investimentos. De acordo com Assaf 
Neto (2023), o índice de Modigliani considera também a relação entre 
o retorno e o risco do portfólio de investimento. Elaborado por Franco 
Modigliani e Leah Modigliani (1997), o índice de Modigliani, baseia-se na 
Linha de Mercado de Capitais e permite ajustar o risco do portfólio ao 
risco do benchmark, utilizando como conceito de risco o desvio-padrão 
(FILHO, 2019).
A fórmula do índice de Modigliani (IM) é dado por:
Em que:
σm = Desvio-padrão da carteira de mercado;
σp = Desvio-padrão do portfólio;
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Rp = Retorno do portfólio;
Rf = Retorno do ativo livre de risco.
Para exemplificar o uso do índice de Modigliani, vamos considerar os 
mesmos dados utilizados no exemplo anterior e incluir o desvio-padrão 
do mercado, que será hipoteticamente de 6%.
Índice de Modigliani na Carteira X: 
 
O resultado indica que se o risco da carteira X fosse igual ao risco de 
mercado, o fundo performaria 17,28%.
Índice de Modigliani na Carteira Z: 
 
O resultado indica que se o risco da carteira X fosse igual ao risco de 
mercado, o fundo performaria 15,25%.
Índice de Modigliani na Carteira Y: 
 
O resultado indica que se o risco da carteira Y fosse igual ao risco de 
mercado o fundo performaria 17,24%.
Referências
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 15. ed. [2ª Reimp.]. Barueri [SP]: Atlas, 
Instituto Assaf, 2023.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2021.
57
FILHO, B. G. O. Gestão de fundos de investimento: o seu guia para gestão de 
carteiras. São Paulo: Saint Paul Editora, 2019.
SINATORA, J. R. P. Mercado de capitais. Londrina: Editora e Distribuidora 
Educacional S.A., 2017.
SOUSA, A. F. D. Planejamento financeiro pessoal e gestão do patrimônio. 2. ed. 
—Barueri, SP: Editora Manole, 2018.
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BONS ESTUDOS!
	Sumário
	Apresentação da disciplina
	Principais Classes de Ativos
	Objetivos
	1. Definindo ativos financeiros
	2. Ativos de Renda Fixa
	3. Ativos de Renda Variável
	Referências 
	Indicadores estatísticos para mensuração do risco e o modelo CAPM
	Objetivos
	1. Medidas estatísticas de posição e dispersão 
	2. Medidas estatísticas aplicadas ao estudo do risco
	3. Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM)
	Referências
	Diversificação de riscos e a teoria das carteiras de Markowitz
	Objetivos
	1. Diversificação de riscos
	2. Covariância e Correlação de Ativos 
	3. Teoria do portfólio (teoria das carteiras de Markowitz)
	Referências
	Asset Allocation e Avaliação de Carteiras de Investimento.
	Objetivos
	1. Perfil do investidor
	2. Asset Allocation (Alocação de Ativos) 
	3. Indicadores de Avalição de Carteira de Investimentos
	Referências