Desvio Absoluto Médio

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Desvio absoluto médio
No fundo de investimento A, a média mensal dos rendimentos nos cinco meses considerados 
na tabela anterior foi 9 reais, e esses rendimentos foram 10, 11, 6, 10 e 8 reais, de janeiro a maio, 
respectivamente.
Para determinar quanto cada rendimento está afastado da média aritmética, basta calcular 
a diferença entre o rendimento e a média aritmética, nessa ordem; essa diferença é chamada 
de desvio do rendimento. Esses desvios são:
10 2 9 5 1 p no mês de janeiro, o rendimento foi 1 real acima da média
11 2 9 5 2 p no mês de fevereiro, o rendimento foi 2 reais acima da média
6 2 9 5 23 p no mês de março, o rendimento foi 3 reais abaixo da média
10 2 9 5 1 p no mês de abril, o rendimento foi 1 real acima da média
8 2 9 5 21 p no mês de maio, o rendimento foi 1 real abaixo da média
O módulo de cada um desses desvios é chamado de desvio absoluto do rendimento corres-
pondente. No caso, temos os seguintes desvios absolutos:
• do rendimento de janeiro: O10 2 9O 5 O1O 5 1
• do rendimento de fevereiro: O11 2 9O 5 O2O 5 2
• do rendimento de março: O6 2 9O 5 O23O 5 3
• do rendimento de abril: O10 2 9O 5 O1O 5 1
• do rendimento de maio: O8 2 9O 5 O21O 5 1
A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de desvio absoluto médio, 
que se indica por Dam. Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo 
A por DamA, temos:
DamA 5 
O1O 1 O2O 1 O23O 1 O1O 1 O21O
 ______________________________ 
5
 5 
1 1 2 1 3 1 1 1 1
 __________________ 
5
 5 1,6
Analogamente, calculamos o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo B, 
DamB:
DamB 5 
O7 2 9O 1 O12 2 9O 1 O8 2 9O 1 O11 2 9O 1 O7 2 9O
 _________________________________________________ 
5
 5 
2 1 3 1 1 1 2 1 2
 __________________ 
5
 5 2
Como o nome sugere, o desvio absoluto médio fornece o afastamento médio dos elementos 
da amostra em relação à média aritmética. Assim, verificamos que, no período de janeiro a 
maio, os rendimentos do fundo A estiveram, em média, 1,6 real acima ou abaixo da média arit-
mética, e os rendimentos do fundo B estiveram, em média, 2 reais acima ou abaixo da média 
aritmética. Como DamA , DamB, concluímos que o fundo A teve desempenho mais regular que 
o fundo B. Por isso, o investidor conservador deve optar pelo fundo A.
Generalizando esses procedimentos para uma amostra numérica qualquer, definimos:
Usando o símbolo de somatório:
Dam 5 
 ∑ 
i 5 1
 
n
 Oxi 2 xO 
 ___________ 
n
 
Sendo x a média aritmética de uma amostra de números x1, x2, x3, ..., xn, chama-se desvio 
absoluto médio, indicado por Dam, o número:
Dam 5 
Ox1 2 xO 1 Ox2 2 xO 1 Ox3 2 xO 1 ... 1 Oxn 2 xO
 ___________________________________________ 
n
 
Nota:
A medida da dispersão dos números de uma amostra, em relação à média aritmética desses 
números, não pode ser calculada pelo desvio médio (média aritmética entre os desvios), porque 
este é sempre igual a zero. Por isso é que se adota o módulo de cada desvio.
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.
CAP_01.indb 37 04.10.10 13:06:21
Indicando, respectivamente, por kA e kB os desvios padrão das amostras de rendimentos dos 
fundos A e B descritos na tabela da página 36, temos:
 Variância
Outra medida que indica o afastamento dos elementos de uma amostra de números em relação 
à média é a variância, representada por k2 (k é a letra grega sigma).
Define-se variância como a média aritmética entre os quadrados dos desvios dos elementos 
da amostra, isto é:
k2 5 
( x1 2 x )
2 1 ( x2 2 x )
2 1 ( x3 2 x )2 1 ... 1 ( xn 2 
_
 x )2
 ______________________________________________ n 
Usando o símbolo de somatório:
k2 5 
 ∑ 
i 5 1
 
n
 ( xi 2 x )
2 
 ____________ 
n
 
Note, portanto, que a variância não expressa o desvio absoluto médio, mas sim a média entre 
os quadrados dos desvios.
Indicando, respectivamente, por k2
A e k2
B as variâncias das amostras de rendimentos dos 
fundos A e B descritos na tabela da página 36, temos:
 k A 
2
 5 
(10 2 9)2 1 (11 2 9)2 1 (6 2 9)2 1 (10 2 9)2 1 (8 2 9)2
 _____________________________________________________ 
5
 5
5 
12 1 22 1 (23)2 1 12 1 (21)2
 ____________________________ 
5
 5 
16
 ___ 
5
 5 3,2
e
 k B 2
 5 
(7 2 9)2 1 (12 2 9)2 1 (8 2 9)2 1 (11 2 9)2 1 (7 2 9)2
 ___________________________________________________ 
5
 5
5 
(22)2 1 32 1 (21)2 1 22 1 (22)2
 _______________________________ 
5
 5 
22
 ___ 
5
 5 4,4
Como k A 
2
 , k B 2
 , concluímos que o fundo de investimentos A teve, no período de janeiro a maio, 
desempenho mais regular que o fundo B.
 Desvio padrão
Na interpretação da variância, pode surgir alguma dificuldade em relação à unidade de medida 
dos elementos da amostra. Por exemplo, quando os elementos da amostra representam capa-
cidades em litro (L), a variância representa um resultado em L2 (litro quadrado — essa unidade 
não existe). Como essa unidade não tem significado físico, não é conveniente utilizar a variância 
nesse caso. Por causa de dificuldades como essa, definimos:
O desvio padrão, representado por k, é a raiz quadrada da variância.
Como kA , kB, concluímos que o fundo de investimento A teve, no período de janeiro a maio, 
desempenho mais regular que o fundo B.
Note que as três medidas, desvio absoluto médio, variância e desvio padrão, conduziram à 
mesma conclusão. Essa é uma observação geral, isto é, a comparação da dispersão de duas 
amostras de números pode ser feita por qualquer um dos três índices.
kA 5 dlll 3,2 * 1,79 e kB 5 dlll 4,4 * 2,10
( x1 2 x )
2 1 ( x2 2 x )
2 1 x ( x3 2 x ) 1 ... 1 ( xn 2 x)2/n
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Nenhum
De 1 a 49
De 51 a 100
De 106 a 226
De 296 a 1.014
Monitoramento orbital de queimadas
Brasil — jun./nov. de 2009
Disponível em: <http://www.queimadas.cnpm.
embrapa.br>. Acesso em: 8 jan. 2010.
31 Considerando a amostra de números 1, 3, 5, 9 e 6, calcule:
a)	 o	desvio	de	cada	elemento	dessa	amostra;
b) a soma dos desvios desses elementos.
34 Qual é o desvio padrão da amostra de números da questão anterior?
35 Para fiscalizar as queimadas provocadas por 
agricultores, os técnicos do Núcleo de Moni­
toramento Ambiental (NMA) dividem o mapa 
do Brasil em quadrículas e estudam em cada 
uma delas os pontos de queimada na região 
correspondente.
 A tabela abaixo mostra a distribuição de pontos 
de queimada detectados em cinco quadrículas:
33 	 Considerando	a	amostra	de	números;	14,	12,	8	e	2,	calcule:
a)	 o	quadrado	do	desvio	de	cada	elemento	dessa	amostra;
b) a média aritmética dos quadrados dos desvios desses elementos.
 (Nota: Como vimos, essa média é chamada de variância.)
32 Considerando a amostra de números 2, 8, 6, 5, 0 e 9, calcule:
a)	 o	módulo	do	desvio	de	cada	elemento	dessa	amostra;
b) a média aritmética entre os módulos dos desvios desses elementos. 
 (Nota: Como vimos, essa média é chamada de desvio absoluto médio.)
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Quadrícula
Número de pontos
de queimada
Q1 845
Q2 446
Q3 936
Q4 461
Q5 672
a) Calcule o número médio de pontos de queimada por quadrícula dessa distribuição.
b) Calcule o desvio absoluto médio dessa distri buição.
c) Se fosse incluída nessa distribuição mais uma quadrícula, com 672 pontos de queimada, o des­
vio absoluto médio da nova distribuição seria maior, menor ou igual ao desvio absoluto médio 
calculado no item b?
36 Em uma fábrica de rolamentos, duas máquinas, A e B, fabricam esferas de aço, projetadas para ter 
10 mm de diâmetro. Uma amostra de 4 esferas de cada máquina foi analisadapara verificar se os 
inevitáveis erros de medida, produzidos no processo de fabricação, são aceitáveis. A tabela abaixo 
mostra as medidas, em milímetro, do diâmetro das esferas dessa amostra.
Máquina
Diâmetro 
das esferas
(em milímetro)
Diâmetro 
médio ( 
__
 x )
(em milímetro)
A 10,6 9,6 10,0 9,4 9,9
B 10,2 10,6 9,6 9,2 9,9
 Qual das duas máquinas apresentou, nessa amostra, maior dispersão de medidas em relação ao 
diâmetro médio?
680 km
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