Gráficos de Inequações no Plano

Prévia do material em texto

38 Represente no plano cartesiano o gráfico de cada 
uma das inequações:
a) x > 5
b) x . 5
c) y > 4
d) 5y 1 4 , 0
40 Construa o gráfico cartesiano representado pela 
inequação O2x 2 5O < 1.
41 Represente no plano cartesiano o conjunto dos 
pontos	(x, y) que satisfaçam a inequação, em cada 
um dos casos a seguir:
a)	 (x 2	4)(	y 1 2) . 0
b)	 (x 2	5)(	y 2 4) , 0
c) x 2 3 ______ 
y 2 2
 . 0
42 Construa o gráfico cartesiano de cada uma das 
inequações:
a) y > 2x 2 6
b) y . 2x 2 6
c) 4x 1 2y 2 7 . 0
d) 5x 1 y 2 5 < 0
EXERCÍCIOS pROpOStOS
39 Em cada um dos casos a seguir, represente no pla-
no	cartesiano	o	conjunto	dos	pontos	(x, y) que são 
soluções do sistema:
c) 
x < 7
x . 3
b) 
x . 23
y , 2
a) 
x > 1
y > 3
43 Em cada um dos itens a seguir, desenhe no plano 
cartesiano	a	figura	formada	pelos	pontos	(x, y) que 
são soluções do sistema:
a) 
y > x 2 6
y < 3
b) 
y , 23x 1 3
x , 4
c) 
y > 3x 2 6
y < x 2 4
d) 
y . x 2 5
y , 2x 2 4
Resolva os exercícios complementares 48 a 58.
44 Desenhe a região do plano cartesiano representada 
pelas soluções de cada sistema:
b) 
2x 2 y 1 4 < 0
y , 4x 2 8
x < 8
a) 
2x 1 y 2 4 < 0
x > 5
y < 7
45 Construa o gráfico cartesiano formado pelos pontos 
(x, y) tais que:
a) OxO 2 y 2 2 . 0
b) OxO 1 OyO > 4
 Uma técnica de otimização
Como	obter	o	maior	rendimento	de	uma	máquina	com	o	menor	custo	possível?
Na	fabricação	de	produtos	compostos	pelas	mesmas	matérias-primas,	que	quantidade	de	
cada	produto	deve	ser	fabricada	para	se	obter	o	máximo	de	lucro?
Quais	devem	ser	as	dimensões	de	uma	embalagem	para	que	seja	gasto	o	mínimo	de	material	
em	sua	confecção?
Perguntas	como	essas	são	respondidas	pela	Programação	linear,	um	ramo	da	Matemática	
aplicada	cujo	principal	objetivo	é	a	pesquisa	de	métodos	de	otimização,	 isto	é,	métodos	que	
garantam	o	mínimo	custo	com	o	máximo	rendimento.	Neste	tópico,	apresentaremos,	por	meio	de	
um	exercício	resolvido,	uma	técnica	de	otimização	fundamentada	nas	inequações	de	1o	grau.
EXERCÍCIO RESOlvIDO
132
C
a
p
ít
u
lo
 3
	•	
G
e
o
m
e
tr
ia
	a
n
a
lít
ic
a
:	â
n
g
u
lo
s,
	d
is
tâ
n
ci
a
s,
	á
re
a
s	
e
	in
e
q
u
a
çõ
e
s
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 3.indb 132 04.10.10 14:38:39
Resolução
 Sintetizando os dados desse enunciado em uma tabela, temos:
EXERCÍCIO RESOlvIDO
Óleo de soja Óleo de milho
Tipo I (quantidade por litro) 0,25 0,75
Tipo II (quantidade por litro) 0,50 0,50
Óleo em estoque (em litro) 60.000 90.000
 Sendo x e y	as	quantidades	de	litros	produzidos	das	misturas	do	tipo	I	e	do	tipo	II,	respectivamente,	
a receita z obtida com a venda dessas quantidades é dada por: z 5 3x 1 3y
 Relacionando as informações fornecidas, obtemos o sistema:
0,25x 1 0,50y < 60.000
0,75x 1 0,50y < 90.000
x > 0
y > 0
 ] 
x 1 2y < 240.000
3x 1 2y < 360.000
x > 0
y > 0
 cujas soluções são representadas pela região colorida a seguir.
180.000
120.000
90.000
60.000 120.000 240.000
y
O A
B
C
x
 Demonstra-se que o máximo valor de z é obtido ao se atribuírem às variáveis x e y as coordenadas 
de um determinado vértice do polígono colorido.
 Testando cada um dos vértices, temos:
•	 (0,	0)	 ] z 5 3 3 0 1 3 3 0 5 0
•	 (120.000,	0)	 ] z 5 3 3 120.000 1 3 3 0 5 360.000
•	 (60.000,	90.000)	 ] z 5 3 3 60.000 1 3 3 90.000 5 450.000
•	 (0,	120.000)	 ] z 5 3 3 0 1 3 3 120.000 5 360.000
 Assim, o máximo valor de z	é	obtido	no	ponto	(60.000,	90.000).	Portanto,	para	que	a	indústria	obte-
nha	a	receita	máxima,	deve	produzir	60.000	L	da	mistura	do	tipo	I	e	90.000	L	da	mistura	do	tipo	II.
23 Uma indústria de óleo comestível produz dois tipos de mistura, 
I	e	II,	que	são	vendidos	em	recipientes	de	1	L	ao	preço	de	R$	3,00	
cada	um.	Cada	litro	do	tipo	I	contém	25%	de	óleo	de	soja	e	o	restante	
de	óleo	de	milho,	e	cada	litro	do	tipo	II	contém	50%	de	óleo	de	soja	
e o restante de óleo de milho. Se a indústria possui em seu estoque 
60.000 L de óleo de soja e 90.000 L de óleo de milho, quantos litros de 
cada tipo deve produzir para obter a máxima receita possível com a 
venda de toda a produção?
Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.br
Simulador:	Otimização.
133
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
S
e
ç
ã
o
 3
.4
	•	
R
e
p
re
se
n
ta
çã
o
	g
rá
fi
ca
	d
e
	u
m
a
	in
e
q
u
a
çã
o
	d
o
	1
o
	g
ra
u
CAP 3.indb 133 04.10.10 14:38:41
EXERCÍCIOS COmplEmEntaRES
 Exercícios técnicos
1 No plano cartesiano, um ângulo agudo formado 
por duas retas, r e s, mede 48w. Se a reta r tem 70w 
de inclinação, qual é a inclinação da reta s?
2 Calcule a medida de um ângulo agudo e a de um 
ângulo obtuso formados pelas retas r e s de equa-
ções	(r) y 5 3x 1	7	e	(s) y 5 2x 2 8.
3 	 (Ufac)	A	medida	do	menor	ângulo	entre	as	retas	de	
 equações y 5 
dll 3 x ____ 
3
 e y 5 ax é 30w. Logo, os possíveis 
 valores de a são:
a) a 5 2 dll 3 ou a 5 0
b) a 5 dll 3 ou a 5 0
c) a 5 3 ou a 5 1
d) a 5 21 ou a 5 0
e) a 5 dll 3 ou a 5 1
46 Para a realização de um bazar beneficente, uma 
entidade filantrópica recebeu de uma confecção de 
roupas uma doação de 300 calças e 300 camisas.
47 Uma tecelagem produz apenas dois tipos de tecido 
— brim e algodão —, e os gastos mensais com essa 
produção	não	podem	ultrapassar	R$	54.000,00.	A	
capacidade de produção mensal dessa indústria é de 
8.000 m2 de tecido, e o custo de produção do metro 
quadrado	de	brim	é	R$	3,00	e	o	do	metro	quadrado	
de	algodão	é	R$	4,00.	Indicando,	respectivamente,	
por x e y as quantidades, em metro quadrado, de 
brim e de algodão produzidas mensalmente por 
essa tecelagem, o gráfico que representa todos os 
valores possíveis de x e y é:
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 63 a 71.
a)
48.000
32.000
24.000
54.000
y
x
b)
8.000
8.000
0
y
x
27.000
44.000
23.000
54.000
y
x
c)
12.000
18.000
8.000
18.000
y
x
d)
24.000
18.000
12.000
18.000
y
x
e)
 Os organizadores do evento decidiram embalar essas 
peças em dois tipos de pacote: o do tipo A, formado 
por 2 calças e 3 camisas; e o do tipo B, formado por 
3 calças e 2 camisas. Cada pacote do tipo A será ven-
dido	por	R$	70,00,	e	o	do	tipo	B,	por	R$	90,00	cada	um.	
Quantos pacotes de cada tipo devem ser formados 
para se obter a receita máxima com a venda de todos?
134
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 3.indb 134 04.10.10 14:38:45