Áreas de Figuras Planas

Prévia do material em texto

área de algumas 
figuras planas
retângulo
a área A de um retângulo é o produto da medida da base 
pela medida da altura.
b
h
a = b.h
quadrado
O quadrado é um retângulo de lados iguais. Logo, sua área A 
é o produto da medida da base pela medida da altura.
a
a
a = a2
paralelogramo
a área de um paralelogramo de base b e altura h é igual 
à área de um retângulo de base b e altura h. Observe:
b
h
b
h
a = b.h
triângulo
Consideremos um triângulo abC, cuja base AB mede b 
e a altura relativa a essa base mede h. Traçando por C a 
reta r paralela à base, e por B a reta s paralela ao lado AC, 
obtemos o paralelogramo abDC a seguir:
h
A B
D
C
s
b
r
Como o triângulo bCD é congruente ao triângulo abC e a 
área A do triângulo abC é metade da área do paralelogramo, 
então, temos:
a = 
bh.
2 
Ou seja, a área do triângulo é metade do produto da 
medida da base pela medida da altura.
triângulo equilátero
Pelo Teorema de Pitágoras, calcula-se facilmente a medida h 
da altura de um triângulo equilátero de lado , obtendo:


2

2
h
 h =  3
2 
Logo, a área A desse triângulo é:
a = 



.
.
3
2
2
3
2
1
2
2
� � �A
a = 
2 3
4 
Módulo
11
Frente
B
47Bernoulli Sistema de Ensino
MATEMÁTICA
áreas de polígonos
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 47 23/01/2020 10:17:38
hexágono regular
as diagonais de um hexágono regular dividem-no em seis 
triângulos equiláteros. assim, a área A de um hexágono 
regular de lado  é igual a seis vezes a área de um triângulo 
equilátero de lado .






a= 6. 
2 3
4
 ⇒ a = 3 3
2
2

 
trapézio
Traçando uma diagonal de um trapézio de altura h e bases 
b e B, dividimo-lo em dois triângulos de altura h e bases de 
medidas b e B. Observe a figura.
b
B
h
a área A do trapézio é a soma das áreas desses dois 
triângulos. assim, temos:
a = 
B h b h. .
2 2
� � a = ( ).B b h+
2 
Portanto, a área A do trapézio é igual à metade do produto 
da altura pela soma das bases.
losango
Consideremos um losango cujas diagonais medem 
D e d. sabemos que as diagonais de um losango são 
perpendiculares entre si e o ponto em que elas concorrem 
é o ponto médio de cada uma.
Observe, portanto, que a área A do losango é o dobro da 
área do triângulo de base d e altura 
D
2.
Q N D
P
d
M
a = 2.
d D.
2
2 ⇒ a = d D.
2 
Portanto, a área A do losango é metade do produto das 
medidas das diagonais.
ObsErvaçãO
O losango também é paralelogramo. Logo, sua área pode 
ser calculada como a área de um paralelogramo.
expressões da área de 
um triângulo
em função das medidas dos lados – 
teorema de heron
Dado um triângulo abC, com lados de medidas a, b e c, 
sendo o semiperímetro p = a b c+ +
2
,
A
c
B
b 
a C 
 
temos que a área do triângulo abC é:
a = p p a p b p c.( ).( ).( )- - -
 
 
Frente B Módulo 11
48 Coleção 6V
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 48 23/01/2020 10:17:39
em função do semiperímetro e do 
raio da circunferência inscrita
Dado um triângulo abC, com lados de medidas a, b e c, 
com semiperímetro p = 
a b c+ +
2 , e a circunferência inscrita 
de raio r, então a área do triângulo abC é:
a = p.r
Demonstração:
A
c
B
b 
a C 
r r
r o
aD abC = aD bCO + aD aCO + aD abO ⇒
aD abC = 
a r b r c r. . .
2 2 2
+ + ⇒
aD abC = 
a b c r� ��
�
�
�
�
�2
. ⇒ 
aD abC = p.r
em função da medida de dois 
lados e do ângulo compreendido 
entre eles
Dado um triângulo abC, com lados de medidas a, b e c 
e ângulo de medida â, compreendido pelos lados b e c, 
temos que a área desse triângulo é:
a = 
1
2 .b.c.sen A
 
Demonstração:
A
A
b
c
a
B
C
h
A c h
h
b
h b
A b cABC
ABC
�
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
� �
.
sen sen
. .sen2
2
A A
A
em função das medidas dos lados e do 
raio da circunferência circunscrita
Dado um triângulo abC, com lados de medidas a, b e c, 
inscrito em uma circunferência de raio R.
C
A B
R
O
c
a
A
b
a área do triângulo abC inscrito na circunferência é:
a = 
ab c
R
. .
4 
Demonstração:
A b c sen
a
sen
R sen a
R
A a b c
R
ABC
ABC
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
2
2
2
4
. . .
. .
A
A
A
áreas de polígonos 
regulares
Considere um polígono regular a1a2a3a4...an, de n lados 
de medida  e semiperímetro p = 
n
2
, inscrito em uma 
circunferência de centro O e raio R. O polígono pode ser 
dividido em n triângulos isósceles congruentes.





 O
RR
R
A1 A4
A2 A3
A6
An A5
R
R
R
R
R
O
Áreas de Polígonos
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
49Bernoulli Sistema de Ensino
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 49 23/01/2020 10:17:40
Traça-se, em um dos triângulos, o apótema a do polígono.

R R
O
A2 A1
a
a área aT desse triângulo é dada por aT = 
.a
2 .
Como o polígono possui n triângulos, então sua área 
aP é dada por:
aP = n.aT ⇒ aP = n.
.a
2 ⇒ aP = 
n.
2 .a ⇒ 
aP = p.a
exerCíCios resolvidos
01. (UNIFEsP) Dois triângulos congruentes abC e abD, 
de ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como mostra 
a figura, com as hipotenusas ab coincidentes.
A B
CD
se ab = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, 
em centímetros quadrados, é igual a: 
a) 6
b) 4 3
C) 6 3
D) 12
E) 12 3
Resolução:
Dados ab = 12 cm e os ângulos internos dos triângulos 
abC e abD, determinamos as medidas dos outros lados. 
30°
30°
60° 60°
30°
30°
6¹3
A B
CD
E
2¹3
12
6
sen 30° = 
BC
AB
BC BC cm� � � �
1
2 12
6
cos 30° = 
AC
AB
AC AC cm� � � �
3
2 12
6 3
tg 30° = 
CE
BC
CE CE cm� � � �
3
3 6
2 3
Portanto, a área, em cm2, do triângulo abE vale: 
aD abE = aD abC – aD bEC
 ⇒ aD abE = 6 6 3
2
6 2 3
2
. .
- ⇒
aD abE = 12 3
02. (UFv-MG) seja f a função definida por f(x) = sen x, 
x ≥ 0. Num mesmo sistema de coordenadas, considere 
os pontos A B� �
6
0
2
0, , ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� , C e D, em que C e D estão 
sobre o gráfico de f, cujas abscissas são, respectivamente,
π π
2 6
e . Unindo-se esses pontos, obtém-se o quadrilátero 
abCD, cuja área vale: 
a) 
π
4 b) 
π
2 C) 
π
5 D) 
π
3
Resolução:
Temos os pontos A e B� �
6
0
2
0, ,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� . Como os pontos 
C e D pertencem ao gráfico de f(x) = sen x, temos:
C sen C e� � �
2 2 2
1, ,�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� D sen D� � �
6 6 6
1
2
, ,�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
substituindo os pontos A, B, C e D em um mesmo sistema 
de coordenadas, temos:
1
O
D
A B
C
y
x
1
2
π
6
π
2
Logo, temos um trapézio retângulo cuja área vale:
 
A A A�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
� � � �
1
1
2 2 6
2
3
2 3
2 4
� � �
�
.
Frente B Módulo 11
50 Coleção 6V
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 50 23/01/2020 10:17:42
exerCíCios de 
aprendizagem
01. (UEG-GO–2019) De uma chapa de aço quadrada, recorta-se 
um triângulo equilátero, cujo lado tem a mesma medida 
do lado do quadrado. sabendo-se que o lado do quadrado 
é igual a 4 cm, tem-se que
a) a área do triângulo é 16¹3 cm2.
b) a área da chapa que sobra após o recorte é 
(16 – 4¹3) cm2.
C) a área da chapa que sobra após o recorte é 
(16 – ¹3) cm2.
D) se um lado do triângulo coincidir com um lado do 
quadrado, então o perímetro da figura que sobra após 
o recorte é igual a 16 cm.
E) se um lado do triângulo coincidir com um lado do 
quadrado, então o perímetro da figura que sobra após 
o recorte é igual a 16¹3 cm.
02. (Unicamp-sP–2020) a figura a seguir exibe o triângulo 
abC, em que ab = bC e AD é uma altura de comprimento h. 
a área do triângulo abC é igual a
B
A C
Dh
30°
a) h2.
b) ¹2h2.
C) ¹3h2.
D) 2h2.
03. (UErJ) Considere uma placa retangular abCD 
de acrílico, cuja diagonal aC mede 40 cm. Um 
estudante, para construir um par de esquadros, fez 
dois cortes retos nessa placa nas direções aE e aC, 
de modo que DAE = 45° e bAC = 30°, conforme 
ilustrado a seguir:
A
ED C
B
Ø9I7
YJØV
após isso, o estudante descartou a parte triangular CaE, 
restando os dois esquadros.
admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e 
que ¹3 = 1,7, a área, em cm2, do triângulo CaE equivale a 
a) 80.
b) 100.
C) 140.
D) 180.
04. (UFJF-MG–2017)Marcos comprou a quantidade mínima 
de piso para colocar em toda a sua sala que tem o formato 
a seguir e pagou r$ 48,00 o metro quadrado.
4 m 2 m
A
F E
B
C
b
D
2 m6 m
Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? 
a) r$ 288,00
b) r$ 672,00 
C) r$ 1 152,00 
D) r$ 1 440,00 
E) r$ 2 304,00
05. (Mackenzie-sP) a figura a seguir representa as peças 
do tangram – quebra-cabeça chinês formado por 
5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. sendo a área 
do quadrado abCD igual a 4 cm2, a área do triângulo 
sombreado, em cm2, é
A
B C
D
a) 1
6
.
b) 1
8
.
C) 1
9
.
D) 1
2
.
E) 1
4
.
Áreas de Polígonos
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
51Bernoulli Sistema de Ensino
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 51 23/01/2020 10:17:43
06. (FUvEsT-sP) Uma das piscinas do Centro de Práticas 
Esportivas da UsP tem o formato de três hexágonos 
regulares congruentes, justapostos, de modo que cada 
par de hexágonos tem um lado em comum, conforme 
representado na figura a seguir. a distância entre lados 
paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
assinale a alternativa que mais se aproxima da área da 
piscina. 
a) 1 600 m2
b) 1 800 m2
C) 2 000 m2
D) 2 200 m2
E) 2 400 m2
07. (UFG-GO) No trapézio abCD a seguir, o segmento 
AB mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio 
de AD e N é o ponto médio de BC.
A B
CD
M N
b
a
Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios 
MNCD e abNM é igual a
a) 
a b
a b
+
+
2
3 .
b) 
a b
a b
+
+
3
2 .
C) 
a b
a b
+
+
3
3 .
D) 
a b
a b
+
+
2
2 .
E) 
3 2
2 3
a b
a b
+
+ .
ØHND
08. (UFMG) O comprimento de uma mesa retangular é o dobro 
de sua largura. se a mesa tivesse 45 cm a menos de 
comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. 
assim, a área da mesa é de
a) 1,62 m2.
b) 1,45 m2.
C) 1,58 m2.
D) 1,82 m2.
exerCíCios 
propostos
01. (UFrGs-rs–2019) Considere o quadrado abCD da figura 
a seguir, em que G é o ponto médio de CD, F é o ponto 
médio de AC e AE EF AC= =
4
.
D G C
A B
E
F
a razão entre a área do quadrilátero EFGD e a área do 
quadrado abCD é
a) 
1
4 .
b) 1
2
.
C) 
1
3 .
D) 
2
3 .
E) 1.
02. (PUC-Campinas-sP–2017) Os lados de uma folha 
retangular abCD de papel medem 10 cm e 6 cm, como 
indica a Figura 1. Essa folha, que é branca de um dos 
lados e cinza do outro, será dobrada perfeitamente de 
tal forma que o vértice a irá coincidir com o vértice C, 
como mostra a Figura 2.
Figura 1
D DA
B A e C
B
C
6 cm
10 cm
Figura 2
a área do trapézio cinza indicado na Figura 2, em cm2, 
é igual a 
a) 23. b) 30. C) 25. D) 40. E) 45.
PZ66
Frente B Módulo 11
52 Coleção 6V
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 52 23/01/2020 10:17:44
03. (UErJ–2018) Considere na imagem a seguir:
• Os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, 
respectivamente, s1 e s2;
• O triângulo retângulo ABC;
• O trapézio retângulo BCDE, construído sobre a 
hipotenusa bC, que contém o ponto X.
F C
D
E
BAG
I H
X
sabendo que CD = CX e bE = bX a área do trapézio 
bCDE é igual a: 
a) 
S S1 2
2
+
 
b) 
S S1 2
3
+
 
C) S S1 2 
D) ( ) ( )S S1
2
2
2+ 
04. (FUvEsT-sP) a figura representa sete hexágonos regulares 
de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem 
com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, 
a área do pentágono hachurado é igual a: 
a) 3
b) 2 3
C) 
3 3
2
D) 3
E) 
3
2 
85BD
TJHØ
05. (UFJF-MG) a área do hexágono regular abCDEF é 
180 cm2.
A
B
C
D
E
F
Qual é a área do triângulo sombreado, em centímetros 
quadrados?
a) 10
b) 15
C) 20
D) 25
E) 30
06. (UFMG) Observe esta figura.
A B
CD
P
Q
Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; 
o triângulo BPQ é equilátero; e os pontos P e Q 
pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD. assim, 
a área do triângulo bCQ é:
a) 
3 1
2
-
 
b) 
2 3
2
+
 
C) 
2 3
2
-
 
D) 
3 3
2
-
07. (UFMG) Nos triângulos abC e DEF, ab = DE = c, 
aC = DF = b, bâC = α, ED̂F = 2α, e a área do triângulo 
abC é o dobro da área do triângulo DEF. Calcule o valor 
de cos α.
08. (UFMG) Observe a figura. 
A B
CD
E F G s
r
Nessa figura, as retas r, s, e t são paralelas; a distância 
entre r e s é 1; a distância entre s e t é 3; EF = 2 e FG = 5.
Calcule a área do quadrilátero abCD.
F69A
R5M6
Áreas de Polígonos
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
53Bernoulli Sistema de Ensino
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 53 23/01/2020 10:17:46
09. (UFMG) Observe a figura.
A
CB
F
E
BC é a hipotenusa do triângulo retângulo abC, aE = 
1
4ab, 
FC = 
1
4 aC e a área do quadrilátero bCFE é igual a 30 cm2. 
a área do triângulo aEF é igual a
a) 10.
b) 20.
C) 
60
13 .
D) 
80
13 .
E) 
90
13 .
10. (FUvEsT-sP) No retângulo abCD da figura tem-se CD = l 
e aD = 2. além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, 
o ponto F pertence ao lado BC, e EF é perpendicular a BD. 
sabendo que a área do retângulo abCD é cinco vezes a 
área do triângulo bEF, então BF mede:
B F C
DA
E
2

a) 
2
8
b) 
2
4
C) 
2
2
D) 3
2
4

E) ¹2
TM9M
G15I
11. (Fuvest-sP) No quadrilátero abCD a seguir, aBC = 150°, 
aD = ab = 4 cm, bC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, 
respectivamente, os pontos médios de CD e BC. 
a medida, em cm2, da área do triângulo bCD é
A B
C
D
M
N
a) 10.
b) 15.
C) 20.
D) 30.
E) 40.
seção enem
01. (Enem–2017) Uma família possui um terreno retangular 
com 18 metros de largura e 24 metros de comprimento. 
Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, 
na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles 
será para o filho e o outro para os pais. além disso, 
foi demarcada uma área de passeio entre os dois novos 
terrenos para o livre acesso das pessoas.
Os terrenos e a área de passeio são representados na 
figura.
a área de passeio calculada pela família, em metro 
quadrado, é de
a) 108.
b) 216.
C) 270.
D) 288.
E) 324.
4JFV
Frente B Módulo 11
54 Coleção 6V
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 54 23/01/2020 10:17:47
02. (Enem–2017) Um garçom precisa escolher uma 
bandeja de base retangular para servir quatro taças 
de espumante que precisam ser dispostas em uma 
única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com 
suas bases totalmente apoiadas na bandeja. a base e 
a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 
5 cm, respectivamente.
a bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, 
em centímetro quadrado, igual a
a) 192.
b) 300.
C) 304.
D) 320.
E) 400.
03. (Enem–2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja 
comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, 
um para cada filho. Um dos terrenos visitados já 
está demarcado e, embora não tenha um formato 
convencional (como se observa na Figura b), agradou 
ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho 
mais novo possui um projeto arquitetônico de uma 
casa que quer construir, mas, para isso, precisa de 
um terreno na forma retangular (como mostrado na 
Figura a) cujo comprimento seja 7 m maior do que 
a largura.
x
x + 7
Figura A
3 m
21 m
15 m
15 m
Figura B
KIVO
ØDQ8
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa 
encontrar um terreno retangular cujas medidas, em 
metro, do comprimento e da largura sejam iguais a 
a) 7,5 e 14,5.
b) 9,0 e 16,0.
C) 9,3 e 16,3.
D) 10,0 e 17,0.
E) 13,5 e 20,5.
04. (Enem) O Esquema I mostra a configuração de uma 
quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados 
de garrafões, correspondem a áreas restritivas. 
580 cm
360 cm360 cm600 cm
580 cm
Esquema I: área restritiva antes de 2010
600 cm
visando atender às orientações do Comitê Central da 
Federação Internacional de basquete (Fiba) em 2010, 
que unificou as marcações das diversas ligas, foi 
prevista uma modificação nos garrafões das quadras, 
que passariam a ser retângulos, como mostra o 
Esquema II. 
490 cm
580 cm 580 cm
Esquema II: área restritiva a partir de 2010
490 cm
após executadas as modificações previstas, houve 
uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que 
corresponde a um(a)
a) aumento de 5 800 cm2.
b) aumento de 75 400cm2.
C) aumento de 214 600 cm2.
D) diminuição de 63 800 cm2. 
E) diminuição de 272 600 cm2.
áreas de polígonos
m
a
te
m
á
ti
C
a
55Bernoulli Sistema de Ensino
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 55 23/01/2020 10:17:47
gabarito
aprendizagem acertei ______ errei ______
• 01. b
• 02. a
• 03. C
• 04. D
• 05. E
• 06. a
• 07. C
• 08. a
propostos acertei ______ errei ______
• 01. a
• 02. b
• 03. a
• 04. E
• 05. a
• 06. C
• 07. 
1
4
• 08. 
88
3
• 09. E
• 10. E
• 11. C
seção enem acertei ______ errei ______
• 01. a
• 02. C
• 03. b
• 04. a
• 05. E
• 06. C
meu aproveitamento
total dos meus acertos: _____ de _____ . ______ %
05. (Enem) Um forro retangular de tecido traz, em sua 
etiqueta, a informação de que encolherá após a primeira 
lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. a figura a 
seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho 
do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. 
a expressão algébrica que representa a área do forro 
após ser lavado é (5 – x)(3 – y).
5
3
x
y
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira 
lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b) 15 – 3x 
C) 15 – 5y 
D) –5y – 3x
E) 5y + 3x – xy
06. (Enem) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão 
de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes 
no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois 
tipos de aquecedores: modelo a, que consome 600 g/h 
(gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área,
ou modelo b, que consome 750 g/h de gás propano e 
cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor 
deve ser instalado em um ambiente com área menor do 
que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade 
por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. 
a área do salão que deve ser climatizada encontra-se 
na planta seguinte (ambientes representados por três 
retângulos e um trapézio).
II III IV
I
4 m
8 m
14 m
9 m
7 m
5 m
avaliando-se todas as informações, serão necessárias: 
a) quatro unidades do tipo a e nenhuma unidade do 
tipo b. 
b) três unidades do tipo a e uma unidade do tipo b. 
C) duas unidades do tipo a e duas unidades do tipo b. 
D) uma unidade do tipo a e três unidades do tipo b. 
E) nenhuma unidade do tipo a e quatro unidades do 
tipo b. 
frente b módulo 11
56 Coleção 6V
2020_6V_V3_MAT_PR_BOOK.indb 56 23/01/2020 10:17:49