AP2-ALI-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ 
 2ª Avaliação Presencial –AP2 - 18/07/2004 
 Álgebra Linear I 
GABARITO 
 
 
 1ª Questão. (valor 1,0) Encontre T(x), onde T é definida por T(1) = (2,3). 2ℜ→ℜ:
 
Solução. 
 Se x∈ , x=x.1. Daí, ℜ
 T(x) = xT(1) = x(2, 3). 
 Logo, T(x) = (2x, 3x). 
 
 2ª Questão. (valor 2,0) Encontre uma transformação linear cujo 
 núcleo seja gerado pelo vetor (0,0,1). 
33 ℜ→ℜ:T
 Solução. 
 Vamos primeiramente completar o conjunto {(0,0,1)} para que se torne uma base 
 de de ℜ . Escolha, por exemplo, os vetores (1,0,0) e (0,1,0). O conjunto 
 {(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)} é a base canônica do , 
3
3
0+= yyxzyxT
ℜ
 Sendo a dimensão do núcleo 1, os vetores (1,0,0) e (0,1,0) devem estar fora do 
 núcleo, ou seja, terem imagens não nulas. 
 Definimos T(1,0,0)=(1,0,0) e T(0,1,0)=(0,1,0). 
 Se (x,y,z) ∈ , (x,y,z) = a(0,0,1)+b(1,0,0)+c(0,1,0) e b =x, c= y e a =z. 3ℜ
 (x,y,z) = z(0,0,1)+x(1,0,0)+y(0,1,0) 
 T(x.y.z)= zT(0,0,1) +xT(1,0,0) +yT(0,1,0) 
 T(x,y,z)= z (0,0,0) +x(1,0,0)+y (0,1,0) 
 Assim, uma possível resposta é T(x,y,z)=(x, y,0). 
 3ª Questão. (valor 2,0) Seja a transformação linear definida por 
 . 
33 ℜ→ℜ:T
),,(),,(
(a) Determine, [T], a matriz canônica de T. 
(b) Determine o núcleo de T. T é injetora? 
(c) Determine a imagem de T. T é sobrejetora? 
 
 Solução. 
 (a) 
[ . 







000
010
011
=]T
 (b) T(x,y,z)=(0,0,0) ⇒ 





0=
0=
⇒
0=
0=+
y
x
y
yx
 
 N(T)={(0,0,z)/z∈ }=[(0,0,1)]. Logo, T não é injetora. ℜ
 
 (b)T(x,y,z)=(a,b,c) 
⇒ ImT={(a,b,0)/a,b∈ }=[(1,0,0),(0,1,0)]. 
 Portanto, Im T é um plano no ℜ , isto é, um subespaço de dimensão 2 do . 
 Desse modo esta transformação não é sobrejetora. 



⇒
0=
=
=+
z
by
ayx
3
ℜ
3ℜ
 
 4ª Questão. (valor 1,5) Considere o operador linear, no , definido pela matriz 
 . 
3ℜ










753
432
321
(a) Mostre que este operador não é inversível. 
(b) Determine v ∈ tal que T(v) = (6, 9,15). 3ℜ
 Solução. 
 (a) Como 0=
753
432
321
, T não é inversível. 
 (b) se v=(a, b, c), T(v)= . 










753
432
321










15
9
6
=










7+5+3
4+3+2
3+2+
=










cba
cba
cba
c
b
a
 v=(z, 3 – 2z, z), z∈ . 





15=7+5+3
9=4+3+2
6=3+2+
cba
cba
cba
⇒ ℜ
 
 5ª Questão. (valor 2,0) Determine a expressão e a matriz da transformação linear 
 T: ℜ que representa uma reflexão em torno do eixo dos x, seguida de uma 
 rotação de 45º no sentido anti-horário. 
2ℜ → 2
 
 Solução. 
 A matriz da transformação linear, S1, que representa uma reflexão em torno do eixo 
 dos x é dada por 
 e S





1−0
01
=1][S 1(x,y)=(x,-y) 
 
 A matriz da transformação linear, S2, que representa uma rotação de 45º é dada 
 por 
 






 −
=





4545
45−45
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ºcosº
ººcos
][
sen
sen
S e S2(x,y)=( yxyx
2
2
+
2
2
2
2
−
2
2
, ) 
 
 Logo, T(x,y) = (S2 oS1)(x,y)= S2(S1(x,y)= S2(x,-y)= ( yxyx
2
2
−
2
2
2
2
+
2
2
, ) 
 e sua matriz é dada por 
 
 
 [ ] =T 






 −
2
2
2
2
2
2
2
2






1−0
01
= 





2
2−
2
2
2
2
2
2

 . 
 
 6ª Questão. (valor 1,5) Se é a matriz de mudança da base A para 
a base B, determine [v]






2−5
3−8
=BAI ,][



B, sabendo que [v]A = . 


3
2
 
 Solução. 
 Sabendo que [v]B = ABA vI ][][ ,
 
 [v]B = = . 





2−5
3−8






3
2






4
7