AP1 - Metodos Deterministicos II - 2024-1 - GABARITO

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP1 – Métodos Determinísticos II – 1/2024
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [1,0 pto] Encontre o domínio da função g (x) =
√
x
x +1
, justificando todos os cálculos efetuados.
Solução: Observe que na expressão de g (x) temos uma raiz quadrada, donde devemos ter
x
x +1
≥ 0. Resol-
vendo esta inequação, obtemos:
x
x +1
≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ou x ≤−1.
Além disso, também devemos ter x ̸= −1 para que o denominador do quociente
x
x +1
não se anule.
Portanto, Dom(g ) = (−∞,−1)∪ [0,+∞). Alternativamente, podemos escrever:
Dom(g ) = {x ∈R; x <−1 ou x ≥ 0}.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 2 A 4.
Considere as funções f (x) = ex e g (x) = 7x +12.
Questão 2 [1,0 pto] Encontre a expressão de (g ◦ f ).
Solução: Como Dom( f ) =R e Dom(g ) =R, não há restrições para o cálculo de (g ◦ f )(x). Dessa forma,
(g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g (ex ) = 7ex +12.
Logo, (g ◦ f )(x) = 7ex +12.
Questão 3 [1,0 pto] Calcule (g ◦ f )(0), caso exista.
Solução: Pelo que vimos na questão anterior, temos que (g ◦ f )(x) = 7ex +12. Logo:
(g ◦ f )(0) = 7e0 +12 = 7 ·1+12 = 19.
Portanto, (g ◦ f )(0) = 19.
Questão 4 [1,0 pto] Encontre a expressão de g−1(x).
Solução: A função g é inversível, pois é bijetiva de R em R. Logo, é possível encontrar a lei de formação de
g−1(x). Assim,
x = 7y +12 ⇒ 7y = x −12 ⇒ y = x −12
7
.
Portanto, g−1(x) = x −12
7
.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Calcule os limites abaixo, caso existam, apresentando todos os cálculos desenvolvidos. Caso algum limite
abaixo não exista, explique o porquê.
Questão 5 [1,0 pto] lim
x→4
x −4
x3 −64
.
Solução: lim
x→4
x −4
x3 −64
= lim
x→4
x −4
(x −4)(x2 +4x +16)
= lim
x→4
1
x2 +4x +16
= 1
48
.
Questão 6 [1,0 pto] lim
x→−1
x2 −1
x2 +3x +2
.
Solução: lim
x→−1
x2 −1
x2 +3x +2
= lim
x→−1
(x +1)(x −1)
(x +1)(x +2)
= lim
x→−1
x −1
x +2
=−2.
Questão 7 [2,0 pts] Determine as assíntotas verticais do gráfico de f (x) = x2
x −6
, caso existam.
Solução: Como Dom(h) = R− {6}, significa que a reta x = 6 é candidata a assíntota vertical do gráfico de f ,
caso exista. Para verificar isso, basta calcular os limites:
lim
x→6+ f (x) e lim
x→6− f (x).
Logo,
lim
x→6+ f (x) = lim
x→6+
↗36︷︸︸︷
x2
x −6︸ ︷︷ ︸
↘0+
=+∞.
e também
lim
x→6− f (x) = lim
x→6−
↗36︷︸︸︷
x2
x −6︸ ︷︷ ︸
↘0−
=−∞.
Dessa forma, a reta x = 6 é a única assíntota vertical do gráfico de f .
Questão 8 [2,0 pts] Determine as assíntotas horizontais do gráfico de h(x) = 3x +|x|
7x −5|x| , caso existam.
Solução: Para encontrar assíntotas horizontais do gráfico de h, caso existam, basta calcular os limites:
lim
x→+∞h(x) e lim
x→−∞h(x).
Assim,
lim
x→+∞h(x) = lim
x→+∞
3x +|x|
7x −5|x| = lim
x→+∞
3x +x
7x −5x
= lim
x→+∞
4x
2x
= 2.
E também,
lim
x→−∞h(x) = lim
x→−∞
3x +|x|
7x −5|x| = lim
x→−∞
3x −x
7x −5(−x)
= lim
x→+∞
3x −x
7x +5x
= lim
x→−∞
2x
12x
= 1
6
.
Dessa forma, as retas y = 2 e y = 1
6
são as assíntotas horizontais do gráfico de h.
2