AP1-MD2-2012-1-GABARITO

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Primeira Avaliação Presencial de Métodos Determinísticos II 
1º Semestre de 2012 
Resoluções 
 
 
1ª Questão (1,5 pt): Determine a função inversa da função bijetora },3{}2{: −→− IRIRf tal que 
2
13
)(
−
−=
x
x
xf . 
 
Resolução: Considerando que 
2
13
−
−=
x
x
y , façamos uma troca entre as variáveis y e x, obtendo a 
equação 
2
13
−
−=
y
y
x . Assim, temos que: 
2
13
−
−=
y
y
x ⇔ 13)2( −=− yyx ⇔ 132 −=− yxxy ⇔ 123 −=− xyxy ⇔ 12)3( −=− xxy 
⇔ 
3
12
−
−=
x
x
y 
Portanto, },2{}3{:1 −→−− IRIRf tal que 
3
12
)(1
−
−=−
x
x
xf . 
 
2ª Questão (2,0 pts): Considere as funções reais f e g cujas leis de formação são 124)( += xxf e 
)2(log)( 2
1 xxxg x += + , respectivamente. 
a) Determine o domínio da função g. 
b) Calcule 




 −
2
1)3(g
f . 
 
 
Resolução: 
a) Consideremos um número real x, tal que para que exista um número real y, tal que 
)2(log)( 2
1 xxxgy x +== + , as seguintes condições devem ser satisfeitas: 
 * 11≠+x , sendo que 11≠+x se, e somente se, 0≠x ; 
 * 01≠+x , sendo que 01≠+x se, e somente se, 1−≠x ; e 
 * 0)2(22 >+=+ xxxx 
 
 Façamos o estudo de sinais para a expressão x(x + 2): 
 
 
 
 2 
 - - + 
 ° x 
 - + 0 + 
 ° x+2 
 + -2 - + 
 ° ° x (x + 2) 
 -2 0 
Assim, 0)2(22 >+=+ xxxx se, e somente se, ),0()2,( +∞∪−−∞∈x 
 
Resumindo as três condições, temos que Dom(g) = ),0()2,( +∞∪−−∞ 
 
 
b) 




 −
2
1)3(g
f = 
( )





 −++
2
1)3.23(log 2
13f 
 =
( )





 −
2
115log4f 
 =
( )
1
2
115log
2 4
4
+




 −
 
 = ( )( ) 1115log44 +− 
 = 15log44 
 = 15. 
 
3ª Questão (2,0 pts) Determine os seguintes limites: 
 
a) 
1
1
lim
3
1 +
+
−→ x
x
x b) 
4
32
lim
5
4
+
+
+∞→ x
xx
x 
 
Resolução: 
 
a) Observe que 01lim 1 =+−→ xx e 01lim 3
1 =+−→ xx . Assim, podemos aplicar as técnicas de 
simplificação algébrica para tentar contornando a indeterminação encontrada. 
 
13 +x x + 1 Assim, 13 +x =(x2-1)( x + 1). 
- 
x3 + x2 x2 - 1 Então, 
1
1
lim
3
1 +
+
−→ x
x
x = 
1
)1)(1(
lim
2
1 +
+−
−→ x
xx
x = 0111lim 22
1 =−=−−→ xx 
--------- 
 -x2+1 
- 
 -x2 +1 
------ 
 0 
 3 
b) 
4
32
lim
5
4
+
+
+∞→ x
xx
x = 
( )
( ) 




+





+
+∞→
4
5
4
1
4
1
32
lim
x
x
x
xx
x =
x
xx
x 4
1
32
lim
3
+
+
+∞→ 
Temos que: 
- 
nx x
c
+∞→lim = 0, para qualquer número natural não-nulo n e qualquer número real c. 
- cx +∞→lim = c, para qualquer número real c. 
 
Logo, 01
4
1lim ≠=++∞→ xx e 0
32
lim 3 =++∞→ xxx . 
Portanto, 
4
32
lim
5
4
+
+
+∞→ x
xx
x = 0
1
0 = . 
 
 
4ª Questão (2,0 pts): Observe os gráficos das funções f e g e determine os limites indicados, se 
existirem. Justifique suas respostas, tanto nos itens em que o limite existe quanto nos itens em que não 
existe. 
 9 
 
 f(x) g(x) 
 
 
 
 2 
 
 
 -3 -3 
 
 
 
 
 -7 
 
a) )(lim 3 xfx −→ b) )(lim 3 xgx −→ c) [ ])()(lim 0 xgxfx +→ d) 





→ )(
)(
lim 0 xf
xg
x 
 
Resolução: 
 
a) Analisando o gráfico da função real f, temos que os seguintes limite laterais coincidem: 
)(lim
3
xf
x −−→
 = 2 = )(lim
3
xf
x +−→
 
 Portanto, )(lim 3 xfx −→ existe e é igual a 2. 
 
b) Analisando o gráfico da função real g, temos que os seguintes limite laterais são distintos: 
)(lim
3
xg
x −−→
 = 0 e .9)(lim
3
=+−→
xg
x
 
 Portanto, )(lim 3 xgx −→ não existe. 
 
 
c) Temos que )(lim 0 xfx→ = -7 e )(lim 0 xgx→ = 0. 
 4 
Assim, [ ])()(lim 0 xgxfx +→ existe, e 
[ ])()(lim 0 xgxfx +→ = )(lim 0 xfx→ + )(lim 0 xgx→ = -7+0 = -7 
 
d) Novamente como )(lim 0 xfx→ = -7 e )(lim 0 xgx→ = 0, temos que 





→ )(
)(
lim 0 xg
xf
x existe e 






→ )(
)(
lim 0 xf
xg
x = 0
7
0
)(lim
)(lim
0
0 =
−
=
→
→
xf
xg
x
x . 
 
5ª Questão (2,5 pts) Considerando a função real f, cuja lei de formação é 
23
22
)( 2 +−
−=
xx
x
xf , 
detemine: 
 
a) O domínio de f. 
 
b) A(s) assíntota(s) vertical(is) ao gráfico de f. 
 
c) A(s) assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico de f. 
 
 
Resolução: 
a) Temos que 
)1)(2(
22
23
22
)( 2 −−
−=
+−
−=
xx
x
xx
x
xf 
 
Logo, Dom(f) = IR -{1,2}. 
 
b) Observe que para 1≠x , 
2
2
)1)(2(
)1(2
)1)(2(
22
)(
−
=
−−
−=
−−
−=
xxx
x
xx
x
xf 
 
Assim, o )(lim 1 xfx→ existe e igual a -2: 2
2
2
lim)(lim 11 −=
−
= →→ x
xf xx . 
 
Fazendo o estudo de sinais desta expressão, obtemos: 
 
 + + + 
 2 
 - + 
 ° x - 2 
 - 2 + 
 ° 
2
2
−x
 
 2 
 
Assim, −∞=
−−→ 1
2
lim
2 xx
 e +∞=
−+→ 1
2
lim
2 xx
 . 
Portanto, a reta x = 2 é a única assíntota vertical ao gráfico de f. 
 
 5 
b) Ainda de acordo com o estudo de sinais feito no item anterior, 
2
2
lim)(lim
−
= +∞→+∞→ x
xf xx = 
( ) 




−






+∞→
x
x
x
x 1
4
1
2
lim =
x
x
x 4
1
2
lim
−
+∞→ 
Temos que: 
- 0
2
lim =+∞→ xx , 0
4
lim =−+∞→ xx , e- 1lim +∞→x = 1. 
 
Logo, 0
01
0
)(lim =
−
=+∞→ xfx 
De modo análogo, 
2
2
lim)(lim
−
= −∞→−∞→ x
xf xx = 
( ) 




−






−∞→
x
x
x
x 1
4
1
2
lim =
x
x
x 4
1
2
lim
−
−∞→ = 0. 
Assim, a reta y = 0 é a única assíntota horizontal ao gráfico de f.