exercicio de calculo (51)

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**Explicação:** Encontramos a derivada de \( f(x) \), analisamos os sinais e 
determinamos os intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
65. **Problema 65:** 
 **Questão:** Determine a derivada de \( y = x^{\sin x} \). 
 **Resposta:** \( y' = x^{\sin x} (\sin x \ln x + \cos x) \). 
 **Explicação:** Utilizando a regra do produto e a derivada exponencial, encontramos a 
derivada de \( y \). 
 
66. **Problema 66:** 
 **Questão:** Seja \( f(x) \) uma função contínua em \( [a, b] \) e derivável em \( (a, b) \). 
Se \( f(a) = 0 \) e \( f(b) = 1 \), prove que existe \( c \in (a, b) \) tal que \( f'(c) = 1 \). 
 **Resposta:** Existe \( c \in (a, b) \) tal que \( f'(c) = 1 \). 
 **Explicação:** Aplicando o Teorema de Rolle para derivadas, concluímos que existe tal 
\( c \). 
 
67. **Problema 67:** 
 **Questão:** Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela 
curva \( y = x^2 \) e \( y = 2x \) em torno da linha \( y = 2 \). 
 **Resposta:** \( \frac{8\pi}{3} \). 
 **Explicação:** Usando o método dos discos ou anéis, calculamos o volume do sólido 
de revolução. 
 
68. **Problema 68:** 
 **Questão:** Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada 
pelas curvas \( y = x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), e \( x = 2 \) em torno do eixo \( x \). 
 **Resposta:** \( \pi \left( \int_1^2 x^6 \, dx \right) \). 
 **Explicação:** Usando o método dos discos ou anéis, calculamos o volume do sólido 
de revolução. 
 
69. **Problema 69:** 
 **Questão:** Se \( f(x) \) é contínua em \( [0, 1] \), prove que existe \( c \in (0, 1) \) tal que 
\( f(c) = \frac{1}{c} \int_0^c f(x) \, dx \). 
 **Resposta:** Existe \( c \in (0, 1) \) tal que \( f(c) = \frac{1}{c} \int_0^c f(x) \, dx \). 
 **Explicação:** Aplicando o Teorema do Valor Médio para integrais, concluímos que 
existe tal \( c \). 
 
70. **Problema 70:** 
 **Questão:** Seja \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \). Determine o 
intervalo de convergência de \( f(x) \). 
 **Resposta:** O intervalo de convergência é \( -1 \leq x \leq 1 \). 
 **Explicação:** Aplicando o critério da razão para séries alternadas, encontramos o 
intervalo de convergência de \( f(x) 
 
 \). 
 
71. **Problema 71:** 
 **Questão:** Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela 
curva \( y = e^x \) e \( y = \ln x \) em torno da linha \( x = 1 \). 
 **Resposta:** \( \pi \). 
 **Explicação:** Usando o método dos discos ou anéis, calculamos o volume do sólido 
de revolução. 
 
72. **Problema 72:** 
 **Questão:** Seja \( f(x) = \int_0^x e^{t^2} \, dt \). Encontre \( f''(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = 2xe^{x^2} \). 
 **Explicação:** Calculando as derivadas de \( f(x) \) usando o Teorema Fundamental do 
Cálculo. 
 
73. **Problema 73:** 
 **Questão:** Se \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \), encontre \( f''(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}(1+x)} \). 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e derivando cada função 
componentemente, encontramos \( f''(x) \). 
 
74. **Problema 74:** 
 **Questão:** Seja \( A \) uma matriz \( 2 \times 2 \) tal que \( A^2 = -I \), onde \( I \) é a 
matriz identidade. Encontre \( A \).